4 часть (Ефимов А.В., Поспелов А.С. - Сборник задач по математике для втузов), страница 11

18.218 (продолжение). В условиях эксперимента предыдущей задачи найти вероятности событий: С = 1все билеты в театр эстрады распроданы), Р = 1билет в театр комедии куплен раньше, чем в театр эстрады). 18.219, За некоторый промежуток времени амеба может погибнуть с вероятностью 1/4, выжить с вероятностью 1/4 и разделиться на две с вероятностью 1/2. В следующий такой же промежуток времени с каждой амебой независимо от ее «происхождения» происходит то же самое.

Сколько амеб и с какими вероятностями может существовать к концу второго промежутка времени? 18.220* 1задача о рассеянной секретари»е). Некая секретарша написала н деловых писем, вложила их в конверты и по рассеянности написала адреса случайным образом. Какова вероятность р„того, что хотя бы одно письмо попадет по назначению? Опенить р„для и = 5 и и = 10. 18.221. Раскрывается определитель и-го порядка и наудачу выбирается слагаемое. Какова вероятность, что данное слагаемое не содержит элемента главной диагонали? 18.222.

Жюри состоит из трех судей. Первый и второй судьи принимают правильное решение независимо друг от друга с вероятностью р, а третий судья для принятия решения бросает монету. Окончательное решение жюри принимает по большинству голосов. Какова вероятность того, что жюри примет правильное решение? 18.223 (продолжение). Все трое членов жюри принимают независимо друг от друга правильное решение с вероятностью р. Каким должно быть р, чтобы данное жюри принимало правильное рещение с большей вероятностью, чем жюри из предыдущей задачи? Гл.18. Теория вероятностей 48 Р (А) = ~~, Р (Нь) Р (А/Нь) ь=! (14) События Нь принято называть гипотеза ии по отношению к событию А. Безусловные вероятности Р (Нь) трактуются как доопытные (априорные) вероятности гипотез.

Пример 16. Партия транзисторов, среди которых 10% дефектных, поступила на проверку. Схема проверки такова, что с вероятностью 0,95 обнаруживает дефект (если он есть), и сушествует ненулевая вероятность 0,03 того, что исправный транзистор будет признан дефектным. Какова вероятность того, что случайно выбранный нз партии транзистор будет признан дефектным? э Из условия задачи очевидно, что с рассматриваемым событием А = (случайно выбранный транзистор признан дефектным) тесно связаны две гипотезы: Н! — — (поступивший на проверку транзистор дефектный), Нэ — — Н! — — (поступивший на проверку транзистор исправный).

Безусловные априорные вероятности этих гипотез легко вычисляются по классической формуле: Р (Н!) = 0,1, Р (Нэ) = 0,9. Условные вероятности определены в условии задачи: Р(А/Н!) = 0,95, Р(А/Нэ) = 0,03. Применяя формулу полной вероятности (14), получим Р(А) = 0,1 0,95+0,9 0,03 = 0,122. !> 18.225. Прибор, установленный на борту самолета, может работать в двух режимах: в условиях нормального крейсерского полета и в условиях перегрузки при взлете и посадке. Крейсерский режим полета осуществляется в 80% всего времени полета, условия перегрузки — в 20% Вероятность выхода прибора из строя за время полета в нормальном режиме равна 0,1, в условиях перегрузки — 0,4.

Вычислить надежность прибора за время полета. 18.228. В продажу поступают телевизоры трех заводов. Продукция первого завода содержит 20% телевизоров со скрытым дефектом, второго — 10% и третьего — 5% Какова вероятность приобрести исправный телевизор, если в магазин поступило 30% телевизоров с первого завода, 20% — со второго и 50% — с третьего? 18.224 (продолжение). Первые двое судей из жюри принимают решение так же, как в условиях задачи 18.222, а третий судья поступает следующим образом: если двое первых судей принимают одинаковые решения, то он к ним присоединяется, если же решения двух первых судей разные, то третий судья бросает монету. Какова вероятность правильного решения у такого жюри? 9.

Формула полной вероятности. Пусть Н„Нэ, ..., ̈́— наблюдаемые события для даннога эксперимента, причем система множеств Н!, Нэ, ..., Н„) образует разбиение множества й. Для любого налюдаемого в эксперименте события А имеет место следуюшая формула полной ееролтности: 3 1. Случ йиые события 18.227. Два цеха штампуют однотипные детали. Первый цех дает сг % брака, второй в Д %. Для контроля отобрано п1 деталей из первого цеха и пт из второго. Эти п1 + пч деталей смешаны в одну партию, и из нее наудачу извлекают одну деталь. Какова вероятность того, что она бракованная? 18.228.

Производится и независимых выстрелов зажигательными снарядами по резервуару с горючим. Каждый снаряд попадает в резервуар с вероятностью р. Если в резервуар попал один снаряд, то горючее воспламеняется с вероятностью р1, если два снаряда — с полной достоверностью. Найти вероятность того, что при и выстрелах горючее воспламенится. 18.229. При переливании прови пало учитывать группу крови донора и больного. Человеку, имеющему четвертую группу крови, можно перелить кровь любой группы; человеку со второй или третьей группой крови можно перелить кровь либо той же группы, дибо первой; человеку с первой группой крови можно перелить только кровь первой группы.

Среди населения 33,7% имеют первую, 37,5% — вторую, 20,9% — третью и 7,9% — четвертую группы крови. Найти вероятность того, что случайно взятому больному можно перелить кровь случайно взятого донора. 18.230. В условиях эксперимента, описанного в задаче 18.202, сигналы 0 и 1 передаются с равной вероятностью. Вычислить вероятность события С = (принято два одинаковых символау. 18.231. На рис. б изображена схема дорог.

Туристы выходят иа пункта П1, выбирая каждый раз на развилке дорог дальнейший путь наудачу. Какова вероятность, что они попадут в пункт Пг? П2 Рис. б 18.232. Три стрелка, вероятности попадания которых при одном выстреле в мишень в неизменных условиях постоянны и соответственно Равны Р1 = 0,8, Рг = 0,7, Рз = О,б, делают по одномУ выстрелу в одну и ту же мишень. Вычислить вероятность события 4 = (в мишени окажется ровно две пробоиныу, приняв в качестве гипотез элементарные исходы данного эксперимента. 50 Гл. 18.

Теория вероятностей 18.233. В ящике лежат 20 теннисных мячей, в том числе 15 новых и 5 играных. Для игры наудачу выбираются два мяча и после игры возвращаются обратно. Затем для второй игры также наудачу извлекаются еще два мяча. Какова вероятность того, что вторая игра будет проводиться новыми мячами? 18.234.

Из десяти студентов, пришедших сдавать экзамен по теории вероятностей и взявших билеты, Иванов и Петров знают 20 билетов из 30, Сидоров плохо занимался весь семестр и успел повторить только 15 билетов, остальные студенты знают все 30 билетов. По прошествии отведенного времени на подготовку экзаменатор наудачу вызывает отвечать одного из студентов. Какова вероятность того, что вызванный сдал экзамен, если знание билета гарантирует сдачу экзамена с вероятностью 0,85, а при незнании билета можно сдать экзамен лишь с вероятностью 0,1? 18.235. Шесть шаров, среди которых 3 белых и 3 черных, распределены по двум урнам.

Наудачу выбирается урна, а из пеев один шар. Как нужно распределить шары по урнам, чтобы вероятность события А = (вынутый шар белый) была максимальной? 18.236*. Для поиска месторождения нефти на заданной территории организовано п геологоразведочных партий, каждая из которых независимо от других обнаруживает залежь с вероятностью р. После обработки и анализа сейсмографических записей вся территория была поделена на два района. В первом районе нефть может залегать с вероятностью рм а во втором — с вероятностью 1 — р~. Как следует распределить п геологоразведочных партий по двум районам, чтобы вероятность обнаружения нефти была максимальной? В ряде случаев выбор системы гипотез не определяется однозначно условиями эксперимента. В таких случаях предпочтение следует отдавать той системе, для которой условные вероятности вычисляются наиболее просто.

Пример 17. Из полной колоды в 52 карты наудачу последовательно и без возвращения выбирают две карты. Какова вероятность того, что второй картой можно покрыть первую? (Это значит, что вторая карта должна быть более старшей картой той же масти.) а Пусть А — интересуюшее нас событие. В качестве первой попытки выберем следующие гипотезы: Нь = (в составе двух вынутых карт равно й картинок),?с = О, 1, 2 (к «картинкам> относятся валет, дама, король и туз каждой масти). Ясно, что (Нь) (/с = О, 1, 2) — разбиение множества й, твк как выполнены все три условия, сформулированные в определении разбиения множества (проверьте!).

Кроме того, нетрудно вычислить безусловные вероятности гипотез Р (Нь). Однако вычисление условных вероятностей Р(А/Нь) оказывается делом не менее трудным, чем ответ на первоначально поставленный вопрос о вероятности события Р (А). Это объясняется тем, что связь со- Э 1. Случайные события 51 бытия А с данными гипотезами Нь не может быть достаточно просто описана на языке алгебраических операций. Рассмотрим более удачный для решении задачи вариант разбиения (Нь) (й = 2, 3, ..., 14), где Нь = (перван вытянутан карта оценивается в й очков), при этом значению )с = 2 соответствует двойка, и = 3 — тройка, ..., й = 11 — валет, й = 12 — дама, й = 13 — король и й = 14— туз.

Вычислим условные вероятности, применяя метод вспомогательного эксперимента. Р(А/Нь) = Р (вторая вытянутая карта той же масти, причем ее 14 — )с достоинство оцениваетсн не ниже, чем в Й + 1 очко) = 51 в силу формулы классической вероятности. Безусловные вероятности гипотез 1 Р(Нь) = — в силу равновероятности событий Нь — — (вытянуть карту 13 произвольной масти, оцениваемую в я очков). Применяя формулу полной вероятности (14), получим Р (А) = ~ ~Р (Нь) Р (А/Нь) = — ~~ 1 14 — /с 2 э=э э=э Еще более простой путь решения получается, если ввести следующее разбиение множества й в данном эксперименте: (Нь) (й = 1, 2), где Нг —— (обе вынутые карты одной масти), Нэ = (две карты разной масти). Очевидно, что Р (А/Нэ) = О, поэтому вторая гипотеза исключается 12 4 вз формулы полной вероятности и Р (Нэ) = — = — (первая карта мо- 51 17 жет быть произвольной масти, вторая должна быть той же масти, что н первая).