3 - Ориентация базиса, правые и левые тройки векторов. Векторное произведение двух векторов, его механический и геометрический смысл (Канатников А.Н., Крищенко А.П. - Конспект лекций)

ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12Московский государственный технический университетимени Н.Э. БауманаФакультет «Фундаментальные науки»Кафедра «Математическое моделирование»À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. ÊðèùåíêîÃÅÎÌÅÒÐÈßÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12Äëÿ ñòóäåíòîâ âñåõ ñïåöèàëüíîñòåéÌÃÒÓÊîíñïåêò ëåêöèéÔÍ-12ÀÍÀËÈÒÈ×ÅÑÊÀßÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12Москва2009ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓЛекция 3ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВÌÃÒÓОриентация базиса, правые и левые тройки векторов. Векторное произведение двух векторов,его механический и геометрический смысл. Свойства векторного произведения.

Вычислениевекторного произведения в координатной форме в ортонормированном базисе. Смешанноепроизведение трех векторов и его геометрический смысл. Объем тетраэдра. Свойства смешанного произведения. Вычисление смешанного произведения в ортонормированном базисе.Условие компланарности трех векторов.3.1. Векторное произведениеВекторное произведение вводится для двух векторов из V3 . Оно опирается на следующеепонятие.ÌÃÒÓОпределение 3.1. Упорядоченную тройку некомпланарных векторов a, b, c называютправой, если направление вектора a совмещается с направлением вектора b при помощикратчайшего поворота вектора a в плоскости этих векторов, который со стороны вектора cсовершается против хода часовой стрелки (рис. 3.1).

В противном случае (поворот по ходучасовой стрелки) эту тройку называют левой.ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓcРис. 3.1Так как упорядоченная тройка некомпланарных векторов образует базис в V3 , то такжеговорят о правых и левых базисах.

Каждый базис является либо правым, либо левым, т.е.все базисы в V3 разделяются на два класса: класс правых базисов и класс левых базисов. Класс,к которому относится фиксированный базис, называют его ориентацией.ÔÍ-12cbaРис. 3.2ÔÍ-1220ÌÃÒÓÔÍ-12Определение 3.2. Векторным произведением неколлинеарных векторов a и b называют такой вектор c, который удовлетворяет следующим трем условиям:1) вектор c ортогонален векторам a и b;2) длина вектора c равна |c| = |a| |b| sin ϕ, где ϕ — угол между векторами a и b;3) упорядоченная тройка векторов a, b, c является правой (рис.

3.2).ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓaÔÍ-12ÔÍ-12bÔÍ-12ÌÃÒÓЕсли векторы a и b коллинеарны, то |a| |b| sin ϕ = 0. Поэтому дополним определение 3.2,полагая, в соответствии с условием 2, что векторное произведение двух коллинеарных векторовесть нуль-вектор.Векторное произведение векторов a и b далее будем обозначать a×b, хотя в литературевстречается и обозначение [a, b].Векторное произведение используют, например, в механике.

Так, момент силы F , прило−−→женной к точке M , относительно некоторой точки O равен OM ×F (рис. 3.3). Рассмотримсвойства векторного произведения.OM´FFOMÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓ21ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓ ВЕКТОРОВÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 3. ВЕКТОРНОЕИ СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯJ Необходимость. Если векторы коллинеарны, то их векторное произведение равно нульвектору согласно определению. Докажем достаточность.

Если a×b = 0, то |a×b| = 0, т.е.|a| |b| sin ϕ = 0, где ϕ — угол между векторами a и b. Но тогда выполнено, по крайней мере, одно из трех равенств: |a| = 0, |b| = 0 или sin ϕ = 0. Каждое из этих равенств влечетколлинеарность векторов a и b. IСледующее свойство выражает геометрический смысл модуля векторного произведения.2◦ . Если векторы a и b неколлинеарны, то модуль |a×b| их векторного произведения равенплощади параллелограмма, построенного на этих векторах как на смежных сторонах (рис. 3.4).ÌÃÒÓÌÃÒÓ1◦ .

Для того чтобы два вектора были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы ихвекторное произведение равнялось нуль-вектору.ÔÍ-12ÔÍ-12Рис. 3.3J Свойство объясняется тем, что модуль векторного произведения и площадь параллелограммапо двум смежным сторонам и углу между ними вычисляют по одной и той же формуле какпроизведение длин векторов (сторон параллелограмма) на синус угла между ними. I3◦ .

Важнейшими свойствами векторного произведения являются следующие три:– свойство антикоммутативности a×b = −b×a;– свойство ассоциативности совместно с умножением на число (λa)×b = λ(a×b);– свойство дистрибутивности относительно сложения (a + b)×c = a×c + b×c.ÔÍ-12J Доказывая свойство антикоммутативности, заметим, что если векторы a и b коллинеарны,то в обеих частях равенства a×b = −b×a в соответствии со свойством 1◦ стоит нулевой вектор.Если же векторы a и b неколлинеарны, то существует плоскость, которой они параллельны.В силу первого условия определения 3.2 векторного произведения векторы a×b и b×a перпендикулярны этой плоскости и, следовательно, коллинеарны.

Ясно, что и длины векторов a×b иb×a равны, поскольку совпадают с площадью одного и того же параллелограмма (свойство 2◦ ).Остается доказать, что векторы a×b и b×a имеют противоположное направление. Это следуетиз того, что если тройка векторов a, b, a×b правая, то тройка b, a, a×b — левая. Поэтому, заменив в последней тройке третий вектор на противоположный, получим правую тройку векторовb, a, −a×b, причем вектор −a×b коллинеарен вектору b×a и имеет ту же длину. СогласноÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓРис.

3.4ÌÃÒÓÔÍ-12aÔÍ-12ÔÍ-12bÌÃÒÓопределению 3.2, это означает, что вектор −a×b равен векторному произведению векторов b иa, т.е. a×b = −b×a.Свойство ассоциативности доказывается аналогично. В случае коллинеарных векторов a иb, а также при λ = 0 векторы (λa)×b и λ(a×b) равны нуль-вектору, поскольку каждый из нихявляется или векторным произведением коллинеарных векторов, или произведением вектора начисло, равное нулю.

Следовательно, в рассматриваемых случаях равенство (λa)×b = λ(a×b)выполнено.Предположим теперь, что векторы a и b неколлинеарны, а λ 6= 0. Покажем сначала, что влевой и правой частях доказываемого равенства стоят коллинеарные векторы, равные по длине.Действительно, если считать, что векторы a, b и λa имеют общее начало, то пары a, b и λa,b неколлинеарных векторов порождают одну и ту же плоскость, которой перпендикулярныих векторные произведения a×b и (λa)×b. Поэтому векторы λ(a×b) и (λa)×b коллинеарны.Вычисляя их длины, убеждаемся, что эти длины равны, так какÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓ22ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓ ВЕКТОРОВÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 3.

ВЕКТОРНОЕИ СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯЗамечание 3.1. Доказанные свойства ассоциативности и дистрибутивности векторногопроизведения объединяют, аналогично случаю скалярного произведения, в свойство линейности векторного произведения относительно первого сомножителя.

В силу свойстваантикоммутативности векторного произведения векторное произведение линейно и относительно второго сомножителя:Пример 3.1. Найдем площадь S треугольника, построенного на векторах a = 3c − 2d иb = c + d при условии, что |c| = 1, |d| = 4, а угол ϕ между векторами c и d равен 30◦ .Для решения задачи воспользуемся формулойИспользуя алгебраические свойства векторного произведения, находим, чтоa×b = (3c − 2d)×(c + d) = 3c×c + 3c×d − 2d×c − 2d×d = 3c×d + 2c×d = 5c×d.ПоэтомуS = 0,5 |a×b| = 0,5 |5c×d| = 2,5 |c| |d| sin ϕ = 5. #ÔÍ-12S = 0,5 |a×b| .ÌÃÒÓa×(λb) = −(λb)×a = −λ(b×a) = λ(a×b),a×(b + c) = −(b + c)×a = −(b×a + c×a) = a×b + a×c.ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12где ψ — угол между векторами λa и b и использовано равенство sin ψ = sin ϕ, выполненное привсех λ 6= 0.Два коллинеарных вектора, равные по длине, либо совпадают, либо являются противоположными друг другу.

Нам достаточно исключить последнюю возможность, доказав, чтовекторы (λa)×b и λ(a×b) являются однонаправленными.Если λ > 0, то векторы a и λa однонаправлены. Следовательно, векторы (λa)×b и a×bтоже являются однонаправленными. А поскольку векторы a×b, λ(a×b) тоже однонаправлены,то однонаправлены и векторы (λa)×b и λ(a×b).Если λ < 0, то векторы a и λa являются противоположно направленными. Следовательно,векторы (λa)×b и a×b тоже являются противоположно направленными.

Умножение вектораa×b на отрицательное число λ меняет его направление на противоположное. Поэтому векторы(λa)×b и λ(a×b) имеют одинаковое направление.Доказательство свойства дистрибутивности будет дано позже (см. 3.2).ÔÍ-12ÌÃÒÓ|(λa)×b| = |λa| |b| sin ψ = |λ| |a| |b| sin ψ = |λ| |a| |b| sin ϕ,ÌÃÒÓÔÍ-12где ϕ — угол между векторами a и b, аÔÍ-12ÔÍ-12|λ(a×b)| = |λ| |a×b| = |λ| |a| |b| sin ϕ,ÌÃÒÓÌÃÒÓАлгебраические свойства позволяют вычислить векторное произведение через координатывекторов и векторные произведения векторов, образующих базис. Наиболее просто соответствующие формулы выглядят в ортонормированном базисе.Рассмотрим правый ортонормированный базис i, j, k. Векторные произведения всевозможных пар векторов базиса (всего 9 пар) выглядят следующим образом:i×j = k,j×i = −k,j×k = i,k×j = −i,k×i = j,i×k = −j.(3.1)jÔÍ-12Векторные произведения базисных векторов на себя не приведены, так как все они равны нульвектору.Таблицу произведений (3.1) удобно трактовать как правило циклической перестановки: произведение двух базисных векторов равно третьему, причем знак плюс выбирается, если тройкавекторов (первый сомножитель, второй сомножитель, произведение) получается из исходногобазиса i, j, k циклической перестановкой.

На рис. 3.5 этот порядок соответствует движениюпротив хода часовой стрелки. При движении на рис. 3.5 от первого сомножителя ко второму походу часовой стрелки в правых частях соответствующих равенств (3.1) появляется знак минус.ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ23ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓ ВЕКТОРОВÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 3. ВЕКТОРНОЕИ СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯkРис. 3.5Рассмотрим два вектора a и b, заданных своими координатами в правом ортонормированномбазисе i, j, k: a = {xa ; ya ; za }, b = {xb ; yb ; zb }. Тогда имеют место разложения этих векторовa×b = (xa i + ya j + za k)×(xb i + yb j + zb k) == xa xb i×i + xa yb i×j + xa zb i×k ++ ya xb j×i + ya yb j×j + ya zb j×k ++ za xb k×i + za yb k×j + za zb k×k == (ya zb − yb za )i + (za xb − zb xa )j + (xa yb − xb ya )k = ya za xa za xa ya k.=i−j+yb zb xb zb xb yb ÔÍ-12Чтобы упростить полученную формулу, заметим, что она похожа на формулу разложенияопределителя третьего порядка по 1-й строке, только вместо числовых коэффициентов стоят векторы.

Поэтому можно записать эту формулу как определитель, который вычисляетсяпо обычным правилам. Две строки этого определителя будут состоять из чисел, а одна — извекторов. При вычислении определителя, умножение векторов на числа и сложение вектороввыполняются по обычным правилам, введенным для этих линейных операций в гл. 1. Итак,формулу вычисления векторного произведения в правом ортонормированном базисе i, j, k можно записать в виде i j k a×b = xa ya za .(3.2) xb yb zb ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓИсходя из этих представлений и алгебраических свойств векторного умножения, получаемÌÃÒÓÔÍ-12b = xb i + yb j + zb k.ÔÍ-12ÔÍ-12a = xa i + ya j + za k,ÌÃÒÓÌÃÒÓiÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12n1 = {3; 1; −2} и n2 = {1; −1; 1}.Отметим, что векторы n1 и n2 неколлинеарны, так как их координаты непропорциональны,например:316=.1−1Совместим начала этих векторов в некоторой точке. Тогда существует единственная плоскость,содержащая эти векторы.