11 - Обратная матрица. Теорема о ее единственности. Критерий существования обратной матрицы. Присоединенная матрица (Канатников А.Н., Крищенко А.П. - Конспект лекций)

ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12Московский государственный технический университетимени Н.Э. БауманаФакультет «Фундаментальные науки»Кафедра «Математическое моделирование»À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. ÊðèùåíêîÃÅÎÌÅÒÐÈßÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12Äëÿ ñòóäåíòîâ âñåõ ñïåöèàëüíîñòåéÌÃÒÓÊîíñïåêò ëåêöèéÔÍ-12ÀÍÀËÈÒÈ×ÅÑÊÀßÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12Москва2009ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓЛекция 11Обратная матрица. Теорема о ее единственности. Критерий существования обратной матрицы.

Присоединенная матрица. Вычисление обратной матрицы с помощью присоединеннойматрицы и с помощью элементарных преобразований. Матрица, обратная произведению двухобратимых матриц. Решение матричных уравнений вида AX = B и XA = B с невырожденной матрицей А. Формулы Крамера.11.1. Обратная матрица и ее свойстваОпределение 11.1. Пусть A — квадратная матрица порядка n. Квадратную матрицу Bтого же порядка называют обратной к A, если AB = BA = E, где E — единичная матрицапорядка n.ÌÃÒÓJ Н е о б х о д и м о с т ь. Пусть A−1 — матрица, обратная к А. Тогда det(AA−1 ) = det E = 1,но, согласно свойству определителей, det(AA−1 ) = det A det A−1 . Поэтому det A det A−1 = 1 и,следовательно, det A 6= 0.Д о с т а т о ч н о с т ь. Пусть det A 6= 0.

Обозначим через Aij алгебраическое дополнениематрицы А, соответствующее элементу aij , т.е. Aij = (−1)i+j Mij , где Mij — минор этого жеэлемента.Раскрывая определитель матрицы A по i-й строке, получаем равенстваi = 1, n.j=1По свойствам определителей, для любых индексов k 6= i выполнено равенствоnXaij Akj = 0.j=1ÔÍ-12105ÔÍ-12ÔÍ-12aij Aij = det A,ÌÃÒÓnXÌÃÒÓÌÃÒÓТеорема 11.2. Для того чтобы квадратная матрица A порядка n имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы det A 6= 0.ÔÍ-12Квадратная матрица не всегда имеет обратную.

Установить, имеет ли данная матрицаобратную, позволяет следующий критерий.J Предположим, что матрица A имеет две обратные матрицы В и В 0 . Тогда, согласно определению 11.1 обратной матрицы, выполнены, в частности, равенства AB 0 = E и BA = E. Используяассоциативность умножения матриц, получаем B = BE = В (AB 0 ) = (BA)В 0 = EB 0 = B 0 , т.е.матрицы B и B 0 совпадают.

IÌÃÒÓТеорема 11.1. Если квадратная матрица А имеет обратную матрицу, то обратная матрицаединственная.ÔÍ-12Обратную матрицу обозначают A−1 . Она позволяет определить целую отрицательную степень матрицы A. А именно, для n > 0 полагают A−n = (A−1 )n .ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓОБРАТНАЯ МАТРИЦАÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓAjiРассмотрим теперь квадратную матрицу В порядка n с элементами bij =. Матрицаdet AC = AB имеет элементы(nnnXX1, k = i,1 XAkj=aij Akj =cik =aij bjk =aijdet Adet A j=10, k 6= i,j=1j=1т.е. C — единичная матрица.Аналогично матрица C 0 = BA имеет элементыc0kj =nXbki aij =i=1nXi=1nAik1 Xaij=aij Aik =det Adet A i=1(1, j = k,0, j =6 k,следовательно, матрица C 0 также является единичной.Согласно определению 11.1, матрица B является обратной для A: B = A−1 .

IСледствие 11.1. Если квадратная матрица A имеет обратную, то det A−1 = (det A)−1 .J Действительно, det A−1 det A = det(A−1 A) = det E = 1. IКвадратную матрицу с ненулевым определителем называют невырожденной или неособой. В противном случае, когда определитель матрицы равен нулю, ее называют вырожденной. Итак, для существования обратной матрицы A−1 необходимо и достаточно, чтобыматрица A была невырожденной.J В соответствии с определением 11.1 обратной матрицы достаточно доказать два равенства:(AB)B −1 A−1 = E, (B −1 A−1 )(AB) = E. Используя ассоциативность умножения матриц (см.10.4), получаемÌÃÒÓТеорема 11.3. Если квадратные матрицы A и B порядка n имеют обратные матрицы, тои их произведение имеет обратную матрицу, причем (AB)−1 = B −1 A−1 .ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓ106ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 11.

ОБРАТНАЯМАТРИЦАТеорема 11.4. Если матрица A порядка n имеет обратную, то и транспонированная маттттрица A имеет обратную, причем (A )−1 = (A−1 ) .ттт тJ Нужно убедиться, что A (A−1 ) = E и (A−1 ) A = E. Используя свойство произведенияматриц относительно операции транспонирования, имеемттттA (A−1 ) = (А−1 A) = E = E,т ттт(A−1 ) A = (AA−1 ) = E = E.I11.2. Вычисление обратной матрицыÔÍ-12Применяют два основных метода вычисления обратной матрицы. Первый вытекает из теоремы 11.2 и состоит в следующем. Пусть дана квадратная матрица A порядка n.

Матрицу A∗ ,транспонированную к матрице (Aij ) алгебраических дополнений, называют присоединенной.Как следует из доказательства теоремы 11.2, если A — невырожденная матрица, то обратнаяк ней имеет вид A−1 = det1 A A∗ .Таким образом, чтобы для квадратной матрицы порядка n найти обратную матрицу, надовычислить один определитель порядка n и составить присоединенную матрицу, т.е. вычислитьn2 определителей порядка n − 1.

Метод присоединенной матрицы эффективен при n = 2 илиn = 3, но при росте n становится слишком трудоемким.ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓIÌÃÒÓÔÍ-12(B −1 A−1 )(AB) = B −1 (A−1 A)B = B −1 EB = B −1 B = E.ÔÍ-12ÔÍ-12(AB)(B −1 A−1 ) = A(BB −1 )A−1 = AEA−1 = AA−1 = E,ÌÃÒÓМы рассмотрим два вида матричных уравнений относительно неизвестной матрицы X:AX = B и XA = B, где A и B — известные матрицы, причем матрица A квадратная и невырожденная. Некоторую матрицу называют решением матричного уравнения относительнонеизвестной матрицы X, если при ее подстановке вместо X матричное уравнение превращаетсяв тождество.ÔÍ-1211.3.

Решение матричных уравненийÌÃÒÓПример 11.2. Продемонстрируем изложенный метод нахождения обратной матрицы дляматрицы из примера 11.1. Для этого записываем матрицу (A|E) и выполняем элементарныепреобразования ее строк в следующем порядке:12 1 01 2 1 0∼ (2) → (2) − 3(1) ∼∼ (1) → (1) + (2) ∼3 4 0 10 −2 −3 110 −2 11 0 −21∼∼ (2) → −0,5(2) ∼.0 −2 −3 10 1 1,5 −0,5−21−1Таким образом, A =.1,5 −0,5ÔÍ-12Второй метод вычисления обратной матрицы состоит в преобразовании исходной матрицык более простому виду с помощью элементарных преобразований строк.

Чтобы найти матрицу A−1 , обратную к A, фактически надо решить матричное уравнение AX = E. Отметим,что если над матрицей A выполняется какое-либо элементарное преобразование строк, то этоже преобразование осуществляется и над матрицей AX, поскольку любое элементарное преобразование строк матрицы эквивалентно умножению ее слева на соответствующую матрицуспециального вида (см. 10.5). Таким образом, если в уравнении AX = E над матрицами A иE одновременно выполнить какое-либо элементарное преобразование строк, т.е. домножить эторавенство слева на некоторую матрицу специального вида, то в результате получится новое матричное уравнение A1 X = B1 .

Оба эти матричные уравнения имеют одно и то же решение, таккак любое элементарное преобразование строк имеет обратное элементарное преобразованиестрок. Последовательность элементарных преобразований строк надо подобрать так, чтобы наs-м шаге матрица А превратилась в единичную матрицу. В результате этих s шагов получается уравнение As X = Bs , где As = E, т.е.

X = Bs . Итак, поскольку A−1 является решениемуравнения AX = E, которое эквивалентно X = Bs , то A−1 = Bs .Чтобы синхронно выполнять преобразования над матрицами в левой и правой частях матричного уравнения AX = E, записывают блочную матрицу (A | E) и выполняют такие элементарные преобразования строк этой матрицы, чтобы вместо A получить единичную матрицу E.ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓОтметим, что для квадратной матрицы A второго порядка присоединенная матрица A∗ получается перестановкой в A диагональных элементов и изменением знака двух других.Проверка ответа выполняется в соответствии с определением 11.1 обратной матрицы: 1 2−211 0−211 21 0−1−1AA ==, A A==.

#3 41,5 −0,50 11,5 −0,53 40 1ÔÍ-12ÔÍ-121 2Пример 11.1. Выясним, имеет ли матрица А =обратную и если имеет найдем ее.3 4Поскольку det A = −2, матрица A является невырожденной и, согласно теореме 11.2, имеетобратную. Для ее вычисления последовательно находим 14 −34 −24 −2−21∗−1∗т, A =, A =−A ==.−21−3111,5 −0,52 −3ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ107ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 11. ОБРАТНАЯМАТРИЦАÌÃÒÓВоспользуемся методом элементарных преобразований.

Для этого запишем матрицу (A|B) ивыполним те же элементарные преобразования ее строк, что и в примере 11.2 (так как матрицыA и цели преобразований совпадают): 12 510 −3 −41 0 −3 −461 2 5 6∼∼∼.53 4 7 80 −2 −8 −100 −2 −8 −100 1 4Матричное уравнение XA = B также можно решить двумя способами. Если известнаматрица A−1 , то умножаем справа на A−1 матричное уравнение XA = B и после очевидныхпреобразований (XA)A−1 = BA−1 , Х (AA−1 ) = BA−1 , XE = BA−1 получаем ответ в видепроизведения двух матриц X = BA−1 .ÌÃÒÓПример 11.4. Найдем решение матричного уравнения XA = B, имеющего вид 1 25 6X=.3 47 8ÔÍ-12−3 −4Итак, X =.45Проверка ответа выполняется подстановкой найденного решения в исходное уравнение: 1 2−3 −45 6=. #3 4457 8Другой метод решения матричного уравнения XA = B состоит в транспонировании еготтт ттлевой и правой частей (XA) = B , A X = B . После введения новой неизвестной матритттцы Y = X получаем уравнение вида A Y = B , которое решается методом элементарныхпреобразований.ÔÍ-12Поскольку обратная матрица A−1 известна (см.

пример 11.2), то 5 6−21−1 2X==. #7 81,5 −0,5−2 3ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12Пример 11.3. Найдем решение матричного уравнения AX = B, имеющего вид5 61 2X=.3 47 8ÌÃÒÓÌÃÒÓНачнем с уравнения AX = B и изложим два метода его решения.Первый метод предполагает вычисление обратной матрицы A−1 (например, при помощиприсоединенной матрицы) и дает запись решения матричного уравнения в виде X = A−1 B.Действительно, подставляя X = A−1 B в уравнение AX = B, получаем A(A−1 B) = B, т.е.B = B, и X = A−1 B является решением матричного уравнения AX = B.

Более того, эторешение единственно, так как для любого другого решения X 0 выполнено тождество AX 0 = B,после умножения которого слева на A−1 оказывается, что A−1 (AX 0 ) = A−1 B, т.е. (A−1 A)X 0 = Xи, следовательно, X 0 = X.Второй метод основан на элементарных преобразованиях строк блочной матрицы (A | B)и имеет своей целью преобразование ее к виду (E | B1 ), в котором вместо матрицы A стоитединичная матрица E. Тогда матрица B1 и будет решением уравнения.