1 - Скалярные и векторные величины. Понятие геометрического вектора (направленного отрезка). Нуль-вектор, единичный вектор (орт) (Канатников А.Н., Крищенко А.П. - Конспект лекций)

ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12Московский государственный технический университетимени Н.Э. БауманаФакультет «Фундаментальные науки»Кафедра «Математическое моделирование»À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. ÊðèùåíêîÃÅÎÌÅÒÐÈßÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12Äëÿ ñòóäåíòîâ âñåõ ñïåöèàëüíîñòåéÌÃÒÓÊîíñïåêò ëåêöèéÔÍ-12ÀÍÀËÈÒÈ×ÅÑÊÀßÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12Москва2009ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-121.1. Векторные и скалярные величиныВ прикладных науках оперируют величинами различного характера. В качестве примераобратимся к величинам, встречающимся в физике и механике. Такие величины, как массу иобъем, характеризуют количественным значением, которое по отношению к некоторому эталону(единице измерения) задают действительным числом. Поэтому их называют скалярными.Напротив, скорость, ускорение, сила характеризуются не только количественным значением,но и направлением.

Их называют векторными величинами.Определение 1.1. Геометрическим вектором (также направленным отрезком)называют любой отрезок, на котором выбрано одно из двух возможных направлений (рис. 1.1).ÌÃÒÓÔÍ-121ÔÍ-12Любой отрезок однозначно определяется своими концами,поэтому одно из двух возможных направлений для данного отрезка можно задать, указав порядок концов, т.е.

от какого концаBотрезка следует начать движение в заданном направлении, длятого чтобы, двигаясь по отрезку, попасть в его другой конец.Это позволяет определить геометрический вектор просто какупорядоченную пару точек: первую точку в паре называют наAчалом геометрического вектора, а вторую — его конРис. 1.1цом. Начало геометрического вектора называют также точкой его приложения.Обозначение: если точка A является началом геометрического вектора, а точка B — его−→концом, то геометрический вектор обозначают AB или AB.−→Важной характеристикой геометрического вектора AB является его модуль, или длина.−→Модуль вектора |AB| равен длине |AB| отрезка, соединяющего его начало A и конец B.

Геометрический вектор называют ненулевым, если его длина положительна. Длина, равная нулю,соответствует ситуации, когда начало и конец геометрического вектора совпадают. В этом случае геометрический вектор называют нулевым или нуль-вектором и обозначают 0. Еслидлина геометрического вектора равна единице, его называют ортом или единичным вектором.Для нуль-вектора понятие направления теряет смысл, так как начало и конец у него совпадают. Однако такому геометрическому вектору удобно приписать произвольное направление,которое устанавливают в зависимости от конкретной ситуации.ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓСкалярные и векторные величины. Понятие геометрического вектора (направленного отрезка). Нуль-вектор, единичный вектор (орт).

Коллинеарные и компланарные векторы.Равенство векторов. Связанные, скользящие, свободные векторы. Линейные операции надвекторами, свойства этих операций. Ортогональная проекция векторов на направление. Теоремы о проекцияхÔÍ-12ÔÍ-12ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИНАД ВЕКТОРАМИÌÃÒÓÌÃÒÓЛекция 1ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓОпределение 1.3.

Три геометрических вектора называют компланарными, если этивекторы лежат на прямых, параллельных некоторой плоскости.CACDDABаBбРис. 1.2Определение 1.4. Два геометрических вектора называют равными, если:– они коллинеарны и однонаправлены;– их длины совпадают.Говоря, что геометрический вектор лежит на прямой, мы подразумеваем очевидную ситуацию, когда началои конец вектора лежат на этой прямой.ÔÍ-121ÌÃÒÓВ соответствии с определением 1.4 равные геометрические векторы могут иметь различныеточки приложения, но задают одно и то же направление и имеют одинаковые длины. В этомслучае, т.е. когда заданы направление и длина, но не фиксируется точка приложения, говорят,что задан свободный вектор. Термин подчеркивает, что точка приложения геометрическоговектора может меняться произвольно.

В дальнейшем для удобства свободные векторы мы будемназывать просто векторами. Векторы обозначают одной строчной буквой с дополнительной→чертой или стрелкой вверху: a или −a . Распространенным является также обозначение вектораполужирным шрифтом a, которое в дальнейшем мы и будем использовать.Разный характер действия векторов в прикладных задачах приводит к необходимости рассматривать другие типы векторов. Например, вектор угловой скорости и вектор силы, действующей на абсолютно твердое тело, можно перемещать только вдоль прямых, на которыхони находятся. Такие векторы называют скользящими векторами.

Наконец, геометрические векторы, точка приложения которых не может изменяться, называют еще связаннымивекторами. К ним относятся, например, скорости в потоке жидкости или газа.ÔÍ-12Это определение теряет смысл, если его сформулировать для двух геометрических векторов,потому что любые два геометрических вектора лежат на прямых, параллельных некоторойплоскости. Однако можно говорить о четырех компланарных геометрических векторах или обих большем числе.ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12Про пару коллинеарных геометрических векторов иногда говорят, что один из них коллинеарен другому.Все пары коллинеарных геометрических векторов можно разделить на две группы:– однонаправленные (или сонаправленные) коллинеарные геометрические векторы, имеющие совпадающие направления;– противоположно направленные коллинеарные геометрические векторы,имеющие противоположные направления.По определению считаем, что нуль-вектор коллинеарен любому другому.

Определение 1.2распространяется очевидным образом на любое число геометрических векторов.ÌÃÒÓÌÃÒÓОпределение 1.2. Два геометрических вектора называют коллинеарными, если онилежат на одной прямой1 или на параллельных прямых.ÌÃÒÓÔÍ-121.2. Типы векторови их взаимное расположениеÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓ2ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 1. ЛИНЕЙНЫЕОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИÌÃÒÓОпределение 1.5. Суммой a + b двух векторов a и b называют вектор c, построенныйпо следующему правилу треугольника.

Совместим начало вектора b с концом вектора a.Тогда суммой этих векторов будет вектор c, начало которого совпадает с началом a, а конец —с концом b (рис. 1.3).bÔÍ-12Замечание 1.2. Наряду с правилом треугольника существует правило параллелограмма. Выбрав для векторов a и b общее начало, строим на этих векторах параллелограмм.Тогда диагональ параллелограмма, выходящая из общего начала векторов, определяет их сумму(рис. 1.4). Отметим, что если векторы a и b коллинеарны, то их сумму по правилу параллелограмма определить нельзя, а правило треугольника применимо и в этом случае.caaРис. 1.3Рис.

1.4Замечание 1.3. В определении 1.5 существует произвол в выборе точки приложения векторов, но результаты, получаемые с различными точками приложения, равны между собой. #J Если складываемые векторы неколлинеарны, то свойство непосредственно вытекает из правила параллелограмма, так как в этом правиле порядок векторов не играет роли.

Если жевекторы коллинеарны, то их сложение сводится к сложению или вычитанию их длин в зависимости от того, являются ли складываемые векторы однонаправленными или противоположнонаправленными. IÔÍ-121◦ . Сложение векторов коммутативно: a + b = b + a.ÌÃÒÓbÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓОбсуждение векторных операций начнем с двух из них — сложения векторов и умножениявектора на число. Эти операции часто объединяют общим термином линейные операции.ÌÃÒÓÔÍ-121.3. Линейные операции и их свойстваÔÍ-12Замечание 1.1. Многие понятия, связанные с геометрическими векторами, переносятсяи на свободные векторы. Так, говорят о начале (точке приложения) вектора, концевектора, модуле (длине) вектора. Рассматривают векторы ненулевые (включая единичные, или орты) и нулевые (нуль-векторы), векторы коллинеарные и векторыкомпланарные.

Коллинеарные векторы могут быть однонаправленными (сонаправленными) и противоположно направленными.ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓ3Пример 1.1. В зависимости от учета тех или иных конкретных условий одну и ту жевекторную величину иногда удобно рассматривать как свободный, скользящий или связанныйвектор. Например, вектор ускорения земного притяжения является связанным вектором, поскольку его модуль и направление зависят от расположения точки приложения относительноцентра Земли. Поэтому при расчете траектории полета, например с Земли на Луну, его считают связанным вектором. Однако в задаче о движении снаряда при стрельбе на небольшуюпо сравнению с радиусом Земли дальность изменения вектора ускорения земного притяжениявдоль траектории снаряда незначительны и его принимают постоянным по модулю и направленным вертикально вниз, т.е.

считают свободным вектором. Учет кривизны поверхностиЗемли приведет к необходимости считать этот вектор уже скользящим, т.е. постоянным приперемещениях лишь вдоль радиуса к центру Земли.cÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 1. ЛИНЕЙНЫЕОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИÌÃÒÓÌÃÒÓ42◦ . Сложение векторов ассоциативно: (a + b) + c = a + (b + c).J Доказать это свойство проще всего при помощи правила треугольника. Выберем в качестве−→начала вектора a точку A (рис. 1.5), и пусть a = AB. Совместим начало вектора b с точкой−−→B, и пусть b = BC.

Наконец, начало вектора c совместим с концом C вектора b, и пусть тогда−−→c = CD.ÌÃÒÓaDÌÃÒÓ(a + b) + ca + (b + c)a+bcb+AcCbBРис. 1.5Непосредственно из построения получаем−−→ −→ −−→ −→−−→ −−→AD = AB + BD = AB + (BC + CD) = a + (b + c),−−→ −→ −−→−→ −−→−−→AD = AC + CD = (AB + BC) + CD = (a + b) + c,−−→т.е. геометрический вектор AD изображает и левую часть доказываемого равенства, и правую. IÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 1. ЛИНЕЙНЫЕОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИÔÍ-124◦ .

Для любого вектора a существует такой вектор b, что a + b = 0.J Действительно, таким является вектор (−a), противоположный к вектору a, т.е. вектор,коллинеарный a, той же длины, что и a, но противоположно направленный. Если в качестветочки приложения этого вектора выбрать конец вектора a, то конец противоположного векторасовпадет с началом вектора a. Согласно правилу треугольника, суммой векторов a и (−a)будет вектор с совпадающими началом и концом, т.е. нулевой вектор.

I5◦ . Для любых векторов a и b существует такой вектор x, что a + x = b. При этом векторx определен однозначно.J Указанному условию удовлетворяет вектор (−a) + b, так как с учетом свойств 2◦ –4◦a + x = a + (−a) + b = a + (−a) + b = 0 + b = b.ÌÃÒÓЕсли вектор x удовлетворяет равенству a+x = b, то, прибавив слева к обеим частям последнего равенства вектор (−a), получим с учетом свойств 1◦ , 2◦ , что x = (−a)+b. Действительно,(−a) + a + x = (−a) + a + x = 0 + x = x = (−a) + b.ÔÍ-12ÌÃÒÓJ Действительно, непосредственной проверкой можно убедиться, что указанному условию удовлетворяет нулевой вектор. Проверку удобно проводить при помощи правила треугольника.