Черногоров Е.П. - Малые колебании механических систем, страница 2

Разлагая A в окрестности q  0 в степенной ряд, имеемn 2 A  q2 A A  q   A0    q   2  ... .qq2 00Здесь и дальше индекс 0 означает, что соответствующие величины следуетвычислять при q  0 .Для получения в разложении кинетической энергии слагаемых не вышевторого порядка по отношению кq и q достаточно из разложения A  q  взятьтолько постоянное значение А0. которое обозначим а.

При учете других7слагаемых из разложения A  q  появляются члены третьего и более высокогопорядков.Итак, выражение кинематической энергии с можно представить в виде1T  aq 2 .2Положительная постоянная a называется коэффициентом инерции. Обычнопо размерности коэффициент инерции является или массой, или моментоминерции.Потенциальная энергия системы  для стационарного силового поля истационарных связей является функцией только обобщенной координаты q .Разлагая ее в степенной ряд в окрестности q  0 , получаем  2   q 2   3  q 3    q   0   3  ...

. q 2 qq2!q3!000Потенциальную энергию  0 в положении равновесия при q  0 примемравной нулю. Величина  q 0есть значение обобщенной силы Q вположении равновесия системы, равное нулю.Будем считать, что в положении равновесия потенциальная энергия имеетминимум. Это является достаточным условием устойчивости положенияравновесия системы. В этом случае величина 2 q 2 0 положительна.Обозначим ее с. Постоянную с называют коэффициентом жесткости илипросто жесткостью.Таким образом, отбрасывая слагаемые третьего и более высокого порядков,имеем12  0   cq 2 .Подставляя эти значения производных в уравнение Лагранжа, получимследующее дифференциальное уравнение малых собственных колебанийсистемы с одной степенью свободы:aq  cq  0 .8Интегрирование дифференциального уравнения собственных колебаний.Если разделить обе части уравнения на а и обозначить положительную величинуc a  k 2 то получим дифференциальное уравнение собственных линейныхколебаний системы с одной степенью свободы в окончательной форме:q  k 2q  0 .(1)Постоянная величина k называется круговой (или циклической) частотойколебаний.Размерность круговой частоты  k   c1 .Круговая частота выражается в тех же единицах, что и угловая скорость.Дифференциальное уравнение (1) является однородным линейнымуравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

Его решениеможно искать в виде q  et . После подстановки этого выражения в (1) получаемхарактеристическое уравнение.2  k 2  0 .Это квадратное уравнение имеет два чисто мнимых корня:1,2   ki .На основе теории дифференциальных уравнений решение уравнения (1)можно представить в видеq  C1cos kt  C2 sin kt(2)и для обобщенной скоростиq  C1k sin kt  C2 k cos ktПроизвольные постоянные С1 и С2 определяются из начальных условий:t  0, q  q0 , q  q0 .Используя эти выражения, получаем C1  q0 , C2 q0.kПодставляя их значения в (2), имеемq  q0sin kt q0cos kt .kПредставим выражение для q в другой, так называемой амплитудной,форме:9q  Asin  kt    .(3)Из сравнения этого выражения с ( 2 ) для новых постоянных получимформулыq02qkA  q  2 ; tg   0 .kq020Величину A считают положительной и называют амплитудой колебаний.Она определяет наибольшее отклонение обобщенной координаты от положенияравновесия, соответствующего значению q0  0 .

Обобщенная координата изменяется в пределах  A  q  A .Безразмерная постоянная  называется начальной фазой колебаний. Онаявляется значением фазы колебаний  k t    при t  0 . Начальная фаза можетизменяться в пределах от 0 до 2 .Движение системы, определяемое (2) или эквивалентной ему амплитуднойформой ( 3 ) , называется гармоническим. Гармоническими называются такиеколебания, при которых обобщенная координата изменяется с течением временипо закону синуса или косинуса (рис. 2.1).Рис. 2.1Собственные линейные колебания системы с одной степенью свободыявляются гармоническими.

Гармонические колебания полностью определяютсяамплитудой колебаний, периодом и начальной фазой. Значение п е р и о д ак о л е б а н и й τ получим из условия102a. 2kcпериоду   1 /  ,Величина, обратнаяназывается ч а с т о т о йк о л е б а н и й . Частота колебаний обычно определяется числом колебаний всекунду или в герцахКруговая частота k выражается через период колебаний и частоту в формеk2 2 .Собственные колебательные движения, кроме графика колебаний, можноизобразить на фазовой плоскости – плоскости переменных q, q которыеназываются фазовыми переменными. Построим фазовый портрет гармоническихколебаний точки (рис.

2.2). Имеемq  Asin  kt    , q  Ak cos  kt    .Исключая из этих уравнений время, получаем на фазовой плоскостисемейство эллипсов:qq21A2 k 2 A2Рис. 2.2Эти кривые, зависящие от параметра A , называют фазовыми траекториями.Семейство фазовых траекторий зависти от амплитуды колебаний, которая, всвою очередь, определяется начальными условиями. Каждой фазовой траекториисоответствует пара начальных значений q0 , q0 .Положению равновесия точки на фазовой плоскости соответствует началокоординат. Каждому моменту времени на фазовой плоскости соответствуетопределенное положение изображающей точки.

Каждой фазовой траекториисоответствует определенное значение полной механической энергии.11aq 2 cq 2 1E T    aq 2  cq 2   const .222В тех случаях, когда дифференциальное уравнение колебательного движенияявляется нелинейным, исследование движения с помощью фазовых траекторий –один из часто применяемых методов.3. ЛИНЕЙНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕИ ДИССИПАТИВНАЯ ФУНКЦИЯЕсли на точки системы с одной степенью свободы кроме потенциальных силдействуют еще силы сопротивления, то дифференциальное уравнение Лаграпжавыразится в формеd  T  T Q  Q R .dt  q  qгде Q П  П q обобщенная сила потенциальных сил; QRобобщеннаясила сил сопротивления.Рассмотрим случай линейного сопротивления, когда силы сопротивленияF Rknточек системы линейно зависят от скоростей этих точек, т.

е.FkR  k rk .где  k – постоянный коэффициент сопротивления.Вычислим обобщенную силу сопротивления. Согласно определениюобобщенной силы, имеемn rkrQ  F   k rk k .qqk 1k 1nRRkДля дальнейшего преобразования используем первое тождество Лагранжаn rk  rk rk n  k rk 2R, получим Q    k (rk.)= qqqq2k 1k 1Введем обозначение: k rk 2R.2k 1nФункцию R называют диссипативной функцией или функцией Релея. Этафункция по своей структуре аналогична кинетической энергии системы, только в12нее вместо массы точек входят коэффициенты сопротивления.Выразим функцию R через обобщенные скорости.

Учитывая, чтоrk  rkq , получаемq22n r  1 2  rk 1 2 n,гдеR  q  k BqBk .2 k 1  q 2qk 1Функция В зависит только от q и не зависит от q .Джон Уильям Стретт, третий барон Рэлей, Лорд Рэлей(Рэйли) (John Strutt, 3rd Baron Rayleigh) (1842 – 1919) –британский физик, открывший (с Уильямом Рамзаем) газ аргон иполучивший за это Нобелевскую премию по физике в 1904 году.Стретт в 1861 году поступил в Тринити-колледжКембриджского университета для изучения математики. В 1865году он получил степень бакалавра и в 1868 – магистра. Послеэтого он был принят на работу сотрудником факультетаТитул лорда Рэлея Стретт получил в 1873 году, послесмерти его отца, Джона Стретта, второго барона Релея. В этомже году стал членом Лондонского королевского общества.После смерти Джеймса Максвелла в 1879 году стал вторымКавендишским профессором этого университета и директоромКавендишской лаборатории.Для выяснения физического смысла диссипативной функции получимэнергетическое соотношение, которому она удовлетворяет.

Для этого умножимна q уравнение Лагранжа: d  T  T q   Qq . dt  q  q Но Qq  W  WeidTR. В свою очередь qQ  qq.dtqq12RBqqИмеемследовательно,2RR B  q  q; q B  q  q 2  2R .qqПотенциальная энергия для случая стационарного потенциального полязависит от времени только через координату q .13Следовательно,q d .qdtПолучимdTddE 2 R или 2 R .dtdtdtОкончательно имеем энергетическое соотношение.Это соотношение показывает, что диссипативная функция Rхарактеризует скорость убывания полной механической энергии системывследствие действия сил линейного сопротивления.Разложим диссипативную функцию в ряд в окрестности положенияравновесия системы. Имеем 2 B  q2 B B  q   B  0    q   2  ...

.qq2 001 2Подставляя это разложение в R  Bq и оставляя в нем только B  0   21 2получаем R   q .2Положительная постоянная величина  называется обобщеннымкоэффициентом сопротивления.4. ВЛИЯНИЕ ЛИНЕЙНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ НАМАЛЫЕ СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫС ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫВблизи положения равновесия системы имеем следующие выражения длякинетической и потенциальной энергий и диссипативной функции:aq 2cq 2 q2T; ; R.222Подставляя их в уравнение Лагранжа, получаем:TTd  T R 0; aq;aq;cq; q .qqd t  q qq14В итоге имеем aq  q  cq  0Это приближенное уравнение.

При его получении отброшены все слагаемыевторого и более высокого порядков.Если разделить обе части уравнения на а и ввести обозначенияk 2  c a, 2n   a то получим дифференциальное уравнение движения системыв окончательной форме:q  2nq  k 2 q  0 .(4)Постоянная k является круговой частотой собственных колебаний системыбез учета сопротивления.