Черногоров Е.П. - Малые колебании механических систем

Федеральное агентство по образованиюЮжно-Уральский государственный университетКафедра теоретической механики и основ проектирования машинЧерногоров Е.П.ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА.Малые колебаниямеханических системКурс лекцийЧелябинск2011МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯМЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМРассмотрим основные свойства малых колебаний механических систем содной и двумя степенями свободы. Механическая система может совершатьмалые колебания только вблизи устойчивого положения равновесия.Обобщенные координаты системы в положении равновесия принимают равныминулю, т. е.

отсчитывают их от положения равновесия. Тогда колебательнымдвижением механической системы в общем случае считают всякое ее движение,при котором все обобщенные координаты или часть из них изменяются немонотонно, а имеют колебательный характер, т.е. принимают нулевые значенияпо крайней мере несколько раз.1. УСТОЙЧИВОСТЬ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯДля наглядности рассмотрим положение равновесия на примере одноготвердого тела (рис. 1.1). Пусть таким телом является стержень с горизонтальнойосью вращения, проходящей через точку О. Стержень имеет два положенияравновесия при   0 и   180 . В положении равновесия силы,приложенные к стержню, составляют уравновешенную систему сил.Рис.

1.1Чтобы установить, будет ли рассматриваемое положение равновесиястержня устойчивым, следует дать стержню достаточно малое начальноеотклонение от положения равновесия, а в общем случае сообщить ему ещедостаточно малую начальную угловую скорость и рассмотреть его последующее1движение.Если существует такое достаточно малое начальное отклонение стержня отположения равновесия, при котором силы стремятся вернуть стержень вположение равновесия, то такое положение равновесия считается устойчивым.Положение равновесия стержня при   0 (рис. а) является устойчивым,так как при начальном ею отклонении на малый угол силы, действующие настержень, стремятся вернуть его в положение равновесия.В том случае, когда силы еще дальше отклоняют стержень от положенияравновесия, положение равновесия является неустойчивым.Положение равновесия стержня при   180 может служить примеромнеустойчивого положения равновесия (рис.б).Если стержень, получив любое малое начальное отклонение от положенияравновесия, остается в равновесии в новом отклоненном положении, то такоеположение равновесия называется безразличным.Строгое определение понятия устойчивости положения равновесия былодано в конце прошлого века в работах русского ученого А.М.Ляпунова.Приведем это определение для системы с любым конечным числом степенейсвободы s .Условимся обобщенные координатыq j sотсчитывать от положенияравновесия системы, т.

е. принимать их равными нулю в положении равновесия.Начальное возмущение системы состоит в общем случае из начальных значений  , и начальных обобщенных скоростей q  .обобщенных координат q j 0j0 ssПо Ляпунову, равновесие системы называется устойчивым, если длялюбого достаточно малого   0 можно выбрать два других таких малыхчисла 1  0 и 2  0 , что при удовлетворении начальными значениямиобобщенных координат и скоростей неравенств q j 0  1 q j 0  2 в любоймоментвременивсеобобщенныекоординатыподчиняютсяусловиямq j  t   .Таким образом, но Ляпунову, положение равновесия считается устойчивым,если можно задать достаточно малую область изменения начальных значенийобобщенных координат в окрестности положения равновесия и областьначальных обобщенных скоростей, для которых величины обобщенныхкоординат при последующем движении системы ограничены заданной ε2окрестностью вблизи положения равновесия.Ляпунóв Александр Михайлович, род.

25.5(6.6).1857,Ярославль - ум. 3.11.1918, Одесса.Русский математик и механик, академик Петербургской АН (c06.10.1901; чл.-корр. c 02.12.1900). Ученик П.Л.Чебышѐва. В 1880окончил Петербургский университет. С 1885 доцент, с 1892профессор Харьковского университета; с 1902 работал в Петербурге.Ляпунов создал современную строгую теорию устойчивостиравновесия и движения механических систем, определяемыхконечным числом параметров. Основным трудом в этой областиявляется докторская диссертация Ляпунова "Общая задача обустойчивости движения" (1892).Большой цикл исследований Ляпунова посвящен теории фигурравновесия равномерно вращающейся жидкости, частицы которой взаимно притягиваются позакону всемирного тяготения.Небольшим по объѐму, но весьма важным для дальнейшего развития науки был циклработ Ляпунова по некоторым вопросам математической физики.В теории вероятностей Ляпунов предложил новый метод исследования (метод"характеристических функций"), замечательный по своей общности и плодотворности;обобщая исследования П.Л.Чебышева и А.А.Маркова, Ляпунов доказал так называемуюцентральную предельную теорему теории вероятностей при значительно более общихусловиях, чем его предшественники.

В целом ряде работ Ляпунова содержится большое числопринципиально новых понятий математического анализа. Язык и расуждения Ляпуноваотличаются большой точностью, и высказываемое мнение о трудности чтения его работ оченьчасто объясняется только особой сложностью рассматриваемых проблем. Все исследованияЛяпунова являются источником новых работ во многих направлениях математики.Теорема Лагранжа – ДирихлеВ положении равновесия механической системы каждая обобщенная силаQ j равна нулю. Для случая потенциального силового поля обобщенные силычерез потенциальную энергию вычисляются по формуламQj  Π, j  1,s.q jСледовательно, в положении любого равновесияΠ 0 , поэтомуq jпотенциальная энергия при этом может достигать своего экстремальногозначения.Малые колебания системы могут длительно совершаться только вокрестности устойчивого положения равновесия системы.

Поэтому важноезначение имеет теорема Лагранжа – Дирихле, устанавливающая достаточныеусловия устойчивости положения равновесия системы.3Теорема:Для устойчивости положения равновесия системы, подчиненнойголономным, идеальным, стационарным и неосвобождающим связям инаходящейся в стационарном потенциальном силовом поле, достаточно, чтобыпотенциальная энергия в положении равновесия имелаизолированныйотносительный минимум.Рис. 1.2Принимаем эту теорему без доказательства.В положении равновесия потенциальная энергия имеет экстремум.Согласно теореме Лагранжа-Дирихле если этот экстремум представляетминимум, то положение равновесия устойчиво.  2 2 q j  0 .0Знак равенства относится к случаю, когда о наличии минимумапотенциальной энергии приходится судить по производным высших порядков.Таким образом:   Равновесие консервативной  q  0   j   голономной системы  2  с идеальными связями  2  0  qустойчивоj 4ЗадачаОпределить, при каких условиях маятник длиной l будет находиться вустойчивом равновесии.

Масса маятника m, жесткость пружины c (рис. 1.3).Рассмотрим движение маятника вблизи положения,определяемого углом   0 . s  1; q   .Заданные силы:lP; P  mg. F ; F  c  .2Эти силы потенциальны.Потенциальная энергия:  пр  м .Рис. 1.3c   lc  l 2 c   0,5l  пр ,228 2 м  mgz  mgl cos =mgl 1   .2 22Поскольку при малых углах2cos   1  sin   1    1 2 .22Рис.

1.4Имеем2l2 2mgl 2mgl 2  cl 22l  c  mgl    c mgl   mgl .  mgl  822 2 48Чтобы маятник был устойчивым, достаточно чтобы в положении равновесия cl 21) 0   mgl   0    0. 4 2cl 24mg0mgl0c.2)24l52. КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮСВОБОДЫМеханическая система с одной степенью свободы имеет одну обобщеннуюкоординату q , и ее движение описывается одним уравнением Лагранжаd  T  TQdt  q  qОбобщенную силу Q можно считать состоящей из трех частей:Q  QП  QR  QВ .Здесь Q П обобщенная сила потенциальных сил. Q П  П q .В Q R включим ту часть обобщенной силы, которая получается от действиясил сопротивления. В дальнейшем рассматриваемся случай линейногосопротивления, когда силы сопротивления точек системы пропорциональныскоростям этих точек и направлены в стороны, противоположные скоростям.Часть обобщенной силы Q B получается от так называемых вынуждающих,или возмущающих сил, зависящих прежде всего от времени.

Ниже рассмотренслучай гармонической возмущающей силы, когда Q B изменяется с течениемвремени по синусоидальному закону. В общем случае зависимости Q B отвремени ее можно разложить в ряд Фурье и рассматривать дифференциальныеуравнения движения для каждого из синусоидальных слагаемых.Собственные линейные колебания системыРассмотрим малые колебания системы с одной степенью свободы поддействием одних потенциальных сил. т. с.

когда Q  Q П  П q .Такие колебания называются собственными или свободными. Колебаниясчитаются малыми, если при движении системы обобщенные координата,скорость и ускорение достаточно малы и в уравнении Лагранжа можнопренебречь всеми слагаемыми второго и более высокого порядков относительноq, q и q , т. е. слагаемыми, в которые входят квадраты этих величин,произведения и т. д. В случае малых колебаний системы получается линейноедифференциальное уравнение для обобщенной координаты q . Колебания, длякоторыхдифференциальноеуравнение6являетсялинейным,называютсялинейными.

Малые колебания принадлежат к числу линейных. Но линейнымимогут быть не обязательно малые колебания.Дифференциальное уравнение собственных линейных колебанийсистемы. Для вывода уравнения малых собственных колебаний следуеткинетическую и потенциальную энергии разложить в ряды в окрестностиположения равновесия системы, где q  0 .Пусть система, на которую наложены голономные, идеальные,неосвобождающие и стационарные связи, состоит из n точек и движется вблизиположения равновесия. Еѐ кинетическая энергия1 nT   mk rk2 .2 k 1При сделанных допущениях о стационарности связей радиус-вектор каждойточки системы зависит от времени только через обобщенную координату,следовательно,rk rkq.qПодставляя это в выражение кинетической энергии, получаем2 r 1 n1T   mk  k  q 2  Aq 2 ,2 k 1  q 22 r где A   mk  k  .k 1 q Величина A , как и rk , может зависеть только от q и не может зависеть отq .