Черногоров Е.П. - Малые колебании механических систем (1079986), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

5.5BB01 p1  k2называют коэффициентом динамичности. Коэффициент динамичностипоказывает, во сколько раз амплитуда вынужденных колебаний пригармоническом воздействии больше статического смещения.23z  p k – коэффициент расстройки, или относительная частота возмущающейсилы. Получаем11 z2.Этот результат не следует переносить на реальные системыРезонанс. БиенияВ случае совпадения частоты возмущающей силы с частотой свободныхколебаний (собственной частотой) возникает явление резонанса.При отсутствии сил вязкого сопротивления в случае резонанса амплитудавынужденных колебаний, нарастая во времени, стремится к бесконечности. Этообъясняется тем, что, если колебания происходят с собственной частотой, тоинерционные силы уравновешиваются квазиупругими при любых амплитудахколебаний.

Возмущающая сила оказывается при этом неуравновешенной иувеличивает амплитуду колебании.Рассмотрим случай, когда возмущающая сила изменяется по законуQ  H cos pt , тогда уравнение вынужденных колебаний будет иметь вид:q  A sin  kt    hcos pt.k 2  p2Определяя A и  при нулевых начальных условиях, получимh, A 2.2k  p2В итогеq k  p  t sin  k  p  t .h2hcosptcosktsin22k 2  p2k 2  p2Обозначим A'  t  k  pt k  pt .2h2hsinsin22 k  p  k  p k 2  p2Теперь24q  A'  t  sinПри p  k  A'  t  kpt22hkp kpsin t , где  k.и2k 22Получаемq  A'  t  sin ktАнализируя решение, можно сделать вывод, что получили наложениевынужденных колебаний с довольно малой частотой δ на собственные колебанияс частотой k .

Движение можно представить как колебания с частотойpkk2и амплитудой A'  t  , которая является периодической функцией с периодом' 22  значительно большим периода собственных колебаний. Этоkт.н. биения.h  1k  1  0.1A( t) 2 h2 k  sin(  t)q(t)  A(t) sin(k t)105A( t )sin( k t )0q( t )5 100204060tРис. 5.62580100При резонансеhthtsin t  ;0 k tklim A'  t   limp kq t  htsin kt .kС одной стороны, вынужденные колебания при резонансе смещены по фазеот возмущающей силы на π/2.

С другой стороны, можно заметить, чтовынужденные колебания при резонансе происходят с нарастающейпропорционально времени амплитудой.B( t) h tkq(t)  B(t) sin(k t)4020q( t )B( t )0sin( k t ) 20 4001020304050tРис. 5.7Отметим, однако, что в реальной колебательной системе, во-первых, всегдаимеется сопротивление, во-вторых, при достижении больших амплитудколебаний нарушается допущение об их малости и становятся существенныминелинейные восстанавливающие силы. Все это приводит к тому, что амплитудаколебаний при резонансе в реальной колебательной системе хотя и можетдостигать больших значений, но не является неограниченно возрастающей.Резонанс, сопровождающийся нарастанием амплитуды колебаний пусть до26конечных, но больших значений, может стать причиной разрушенияконструкции или возникновения опасных напряжений, сокращающих срок ееслужбы.

Поэтому при проектировании машиностроительных конструкций надо,по возможности, избегать резонанса.6. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯПРИ НАЛИЧИИ ВЯЗКОГО СОПРОТИВЛЕНИЯПри гармоническом возбуждении дифференциальное уравнение движенияимеет видaq  q  cq  H sin  pt    ,илиq  2nq  k 2 q  h sin  pt    ,где 2n  2 cH, k  , h .aaaРешение будем искать в виде суммы общего решения однородногоуравнения q  2nq  k q  0 и частного решения неоднородного.2q  q1  q* .Было показано, что общее решение однородного уравнения q1 может бытьпредставлено в зависимости от соотношения между n и k в одной из трех форм:q1  e nt  C1cos k1t  C2sin k1t  при n  k ;q1  e nt  C1ek2t  C2ek2t  при n  k ;q1  e nt  C1t  C2  при n  k .Частное решение уравнения представим в видеq*  B sin  pt      .Постоянные B и  определяют, подставляя q*, q* и q* в исходноедифференциальное уравнение.В итоге получим27Bhk2p22; tg   4n 2 p 22np.k 2  p2Структура общего решения неоднородного уравнения такова, что прилюбых отличных от нуля значениях  с течением времени из-за наличия ntмножителя eоно стремится к нулю, и в решении остается только частноерешение.

В этом случае говорят об установившихся вынужденных колебаниях.На основании решения можно сформулировать основные свойстваустановившихся вынужденных колебаний: это незатухающие колебания; они длятся так долго, как долгодействует возмущающая сила; эти колебания не зависят от начальных условий; при гармоническом возбуждении они происходят с частотойвозмущающей силы; эти колебания отстают по фазе от возмущающей силы на величину  ,изменяющуюся, как будет показано ниже, от 0 до π.Амплитуда B установившихся вынужденных колебаний и сдвиг по фазе зависят от соотношения между частотами p и k и от коэффициента затуханияn . Проанализируем эти зависимости, называемые амплитудно-частотной ифазочастотной характеристиками.Для большей общности результатов перейдем к безразмерным параметрам.Безразмерным коэффициентом затухания d называют отношениеd  2n / k .Еслиn  k , следовательно,   1 , то безразмерный коэффициентзатухания можно связать с логарифмическим декрементом колебаний:d2n 1  2n1     .k  12 1  1 Добротностью Д называют величину, обратную d: Д  1 / d  k / 2n .Очевидно, что при малом затухании добротность, как и безразмерныйкоэффициент затухания, может быть выражена через логарифмическийдекремент колебаний: Д   /  .Исследуем амплитуду B и сдвиг по фазе  вынужденных колебаний.28Bhk2 p22h= 4n 2 p 2k21  p2/ k22. 4n 2 p 2 / k 4Обозначим:p– коэффициент расстройки, или относительная частота;kh B0 – статическое смещение, смещение системы под действием2kпостоянной возмущающей силы, равной по модулю амплитуде возмущающейсилы.ОтношениеB  – коэффициент динамичности при наличии вязкогоB0сопротивления.Исследуем зависимость коэффициента динамичности  от z и d,представляющую собой амплитудно-частотную характеристику системы вбезразмерном виде:при z     0;при z  1  1 Д.dТаким образом, добротность Д представляет собой значениекоэффициента динамичности при резонансе; она показывает, во сколько разамплитуда колебаний при резонансе отличается от статического смещения.

Вотличие от случая отсутствия вязкого сопротивления, амплитуда при резонансеимеет конечное значение.Если частота р изменения возмущающей силы мала по сравнению счастотой со свободных колебаний, т. е. p  k , то амплитуда вынужденныхколебаний близка к статическому смещению, а коэффициент динамичностиблизок к единице. Если же p  k , то колебательная система ведет себя какфильтр, т. е. практически не воспринимает возмущения с частотами,существенно превышающими собственную частоту.Выражение для коэффициента динамичности показывает, что при малыхзначениях d вязкое сопротивление становится существенным лишь в достаточно2 2узкой зоне в окрестности резонанса, когда величина d z29становитсясоизмеримой с 1  z2 . Это же демонстрирует график (рис.

5.8). Поэтому при2определении амплитуды вынужденных колебаний в реальных системах с малымвязким сопротивлением последнее можно не учитывать, если известно, чточастота р возмущающей силы далека от собственной частоты k .Рис.5.8Рис.5.9Для исследования фазочастотной характеристики в безразмерном виде2разделим числитель и знаменатель аргумента арктангенса на k :  arctg2np2dzarctg.222k p1 zУчтем, что производная   z  no z независимо от значения d (кроме d = 0)положительна при всех значениях z, т. е.

  z  представляет собой монотонновозрастающую функцию. Тогдапри z  0    arctg  0   0;;2при z      arctg  0   .при z  1    arctg    30Отметим, что при резонансе фазовое запаздывание  независимо от2значения коэффициента d, характеризующего вязкое сопротивление.На рисунке 5.9 представлены кривые, характеризующие зависимость   z при различных значениях d . При d = 0 (отсутствие вязкого сопротивления)   z представляет собой разрывную функцию.

Отметим, что с ростом d меняетсяхарактер фазовой кривой, она трансформируется из кривой с двумя перегибами вкривую с одним перегибом.ОГЛАВЛЕНИЕМАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ ..............................................................................11. УСТОЙЧИВОСТЬ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ ...............................................................................12. КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ .......................................................63. ЛИНЕЙНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ И ДИССИПАТИВНАЯ ФУНКЦИЯ .......................................

124. ВЛИЯНИЕ ЛИНЕЙНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ НА МАЛЫЕ СОБСТВЕННЫЕКОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ .................................................................... 145. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮСВОБОДЫ....................................................................................................................................................................... 196. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПРИ НАЛИЧИИ ВЯЗКОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ ............

2731.

Характеристики

Список файлов книги