Черногоров Е.П. - Малые колебании механических систем (1079986), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Величина n называется коэффициентом затухания. Ееразмерность такая же, как и у круговой частоты. Вместо n иногда употребляютвеличину 0  1 n , которая называется постоянной времени затухания и имеетразмерность времени.Дифференциальное уравнение (4) является однородным линейнымуравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Его решениеследует искать в формеq  et , где постоянная  определяется изхарактеристического уравнения   2n  k  0 , которое получается послеподстановки решения в дифференциальное уравнение.Характеристическое уравнение имеет два корня:221,2  n  n2  k 2 .(5)Могут представиться три случая:1) Затухающие колебания. Если n  k то величина под знаком квадратногокорня (5) отрицательна. Обозначим k1 k 2  n2 . Тогда из (5) получимследующие значения для корней характеристического уравнения:1,2  n  k1iСоответственно общее решение дифференциального уравнения (4) зависящееот двух произвольных постоянных, выразится в видеq  e nt  C1cos k1t  C2sin k1t  ,где С1 и С2 произвольные постоянные.Решение (6) можно также представить в другой, амплитудной, форме:q  Ae nt sin  k1t    ,15(6)где А и α тоже произвольные постоянные.

Раскрывая синус суммы, получимC1  A sin ; C2  A cos ; A  C12  C22 ; tg   C1 C2 .Постоянные определяются из начальных условий.Величина А положительна. Она не является амплитудой. Начальная фаза αможет иметь значения в пределах от 0 до 2π.Для выяснения изменения функции построим ее график (рис. 4.1).Рис.

4.1Из графика функции следует, что величины последовательных наибольшихотклонений q от положения равновесия уменьшаются с увеличением времени,стремясь к нулю при неограниченном возрастании времени. В соответствии сним движение, определяемое (6), называют затухающими колебаниями.Условным периодом затухающих колебаний (или периодом) называютпериод: sin  k1t    . Он является периодом прохождения системы черезположения равновесия.Следовательно, 1 2.k1Период затухающих колебаний величина постоянная, не зависящая отначальных условий. Он больше периода собственных колебаний при отсутствиисопротивления  2.kВ действительности функция q  t  не является периодической. ntПеременную величину Aeназывают условной амплитудой затухающихколебаний.

Она не является максимальным значением функции.16Декрементом колебаний  называют отношение двух последовательных(взятых через условный период 1 ) максимальных значений обобщеннойкоординаты. Пусть для ti qmax i  Aeпериодузатухающихqmax i1  Ae n ti 1  nti.

Через промежуток времени, равный1 ,колебанийвмоментti  1 , Ae nti e n1 .qmax iqmax  i1 en1 .Логарифмическим декрементом колебаний логарифм от декремента колебаний:называют натуральный  ln =n1 .Таким образом, из проведенного исследования можно заключить, что малоелинейное сопротивление незначительно увеличивает период колебаний посравнению со случаем отсутствия сопротивления, но сильно уменьшаетпоследовательные точения условных амплитуд, которые уменьшаются стечением времени по экспоненциальному закону.2) Затухающие движения.

Рассмотрим случай, когда п>к (случай большогосопротивления). Корни характеристического уравнения в этом случае имеютзначения1,2  n  n2  k 2  n  k2 .гдевведеноновоеобозначениедляположительнойвеличиныk2  n 2  k 2 .Оба корня характеристического уравнения действительны и отрицательны,так как k2  n . Следовательно, общее решение дифференциального уравнения(4) имеет видq  e nt  C1ek2t  C2ek2t  ,где C1 и C2 – произвольные постоянные, которые можно определить поначальным условиям17Рис.

4.2Могут представиться три случая в зависимости от знака и значения q0 .Во всех случаях движение является затухающим, неколебательным, котороеиногда называют также апериодическим.При n  k (случай критического сопротивления) характеристическоеуравнение имеет кратный отрицательный корень 1   2  n .Соответственно этому решение дифференциального уравнения (4) имеет видq  e nt  C1t  C2  .Произвольные постоянные C1 и C2 определяются по начальным условиям.В этом случае при t , стремящемся к бесконечности, q  t  стремится к нулю прилюбых конечных значениях постоянных.Таким образом, случай критического сопротивления тоже даетзатухающее движение (рис 4.2).Анализ влияния линейного сопротивления на собственные малые колебанияпоказывает, что линейное сопротивление не может сделать устойчивое положениеравновесия неустойчивым.

Если в окрестности устойчивого положения равновесиясистема совершает незатухающие малые колебания, то линейное сопротивлениепревратит их в затухающие или сделает даже затухающими движениями.185. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ЛИНЕЙНОЙСИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫВ случае, когда обобщенная сила Q B  t  , характеризующая внешнеевоздействие на колебательную систему, изменяется во времени по закону синусаили косинуса:Q B  t   Q0sin  pt    ,где Q0, р, β – соответственно амплитуда, частота и начальная фаза обобщеннойсилы, имеет место гармоническое возбуждение колебаний.Способы возбуждения вынужденных колебаний.Определение обобщенной силы Q(t)Способы возбуждения колебаний можно условно разделить на группы.

Нарисунке приведены три наиболее характерных способа возбуждениявынужденных колебаний простейшей колебательной системы. Системапредставляет собой тело массой т. имеющее возможность двигаться по гладкойгоризонтальной поверхности. С телом скреплена пружина, жесткость которой с.Обобщенная координата х сосчитывается от положения равновесия системы (приотсутствии внешнего воздействия), когда пружина не напряжена.1. Силовое возбуждение (рис.

5.1). Система находится под воздействиемсилы F(t) = F0 sin(pt + β), приложенной извне и не зависящей от параметровсистемы.В этом случае для получения Q(t)необходимо задать вариацию обобщеннойкоординаты δх и, вычислив возможнуюработу только от действия силы F(t),разделить ее на δх :Q t  Рис. 5.1F  t  xx F0sin  pt    .2. Кинематическое возбуждение (рис.5.2). Вынужденные колебания возникают в результате задаваемого извнеперемещения точки крепления пружины s(t) = s0 sin(pt + β), не зависящего отпараметров системы.Изменение условной потенциальной энергии пружины при одновременном19перемещении ее концов равно '  c 2  c  x  s  t   .12122ТогдаQ где Q cx  cs  t   Q  Q  t  .x cx; Q  t   cs0sin  pt    .Рис. 5.23.

Инерционное возбуждение. Возможны два случая.A. Вынужденные относительные колебания (рис. 5.3). Механическая системанаходится на подвижном основании, перемещение которого, независящее отпараметров системы, задается извне, причем необходимо исследоватьотносительные (по отношению к подвижному основанию) колебания.Система координат, связанная с подвижным основанием, движется вместе сним поступательно, прямолинейно, но неравномерно. Поэтому при составлениидифференциального уравнения вынужденных относительных колебанийнеобходимо учитывать переносную силу инерцииe  mae , направлениекоторой противоположно направлению переносного ускорения.

Переносноеускорение ae  s  t  при этом считается сонаправленным с s(t).Рис. 5.3Рис. 5.4Обобщенная сила Q(t) будет определяться e , т. е.Q t  ms  t  xx ms  t   mpsin  pt    .B. Вынужденные колебания, вызываемые вращающимся эксцентрикомскреплено с эксцентриком, имеющим массу m120(рис. 5.4). Телоm , эксцентриситет l1 ивращающимся с постоянной угловой скоростью. Обозначив через   pt  угол отклонения эксцентрика от вертикали, выразим Q(t) через проекцию на2горизонталь центробежной силы m1 p l1 :Q t  m1 p 2l1sin  pt    xx m1 p 2l1sin  pt   Отметим, что при инерционном возбуждении колебаний, в отличие отсилового и кинематического возбуждений, амплитуда обобщенной силы2пропорциональна р .Приведенные примеры, естественно, не охватывают все способывозбуждения вынужденных колебаний, например возбуждение колебанийвследствие перемещения точки прикрепления демпфера.

Возможно икомбинированное возбуждение колебаний, объединяющее несколько способов.Вынужденные колебания при отсутствии вязкогосопротивленияПри гармоническом возбуждении дифференциальное уравнение движенияимеет видaq  cq  H sin  pt    ,илиq  k 2 q  h sin  pt    ,где k 2(5.1)cH, h .aaИзвестно, что общее решение линейного неоднородного уравнения можнопредставить в виде суммы общего решения q1 однородного уравненияq  k 2 q  0 и частного решения q* неоднородного уравнения:q  q1  q*Общее решение однородного уравненияq  C1cos kt  C2sin kt .Частное решение неоднородного уравнения определяется в зависимости от21соотношения частот свободных колебаний и возмущающей силы.

Возможны дваслучая: отсутствие резонанса p  k и резонанс p  k .1. Отсутствие резонанса. В этом случае частное решение следует искать ввидеq*  B sin  pt    ,где B – искомая постоянная величина.Подстановка q* в (5.1) приводит к соотношениюBh.22k pОбщее решение уравнения (1) будет иметь видq  C1cos kt  C2sin kt hsin  pt    ,22k pилиq  Asin  kt    hsin  pt    .22k pПроизвольные постоянные C1 , C2 определим из начальных условий.Как следует из уравнений, движение состоит из двух гармоническихколебаний с частотами k и p соответственно.Первые (с частотой k ) можно по аналогии со случаем отсутствиявозмущающей силы условно назвать свободными колебаниями, а вторые (счастотой p ) – вынужденными колебаниями системы.Условность названия «свободные колебания» связана с тем, чтоопределяющие их произвольные постоянные зависят не только от начальныхусловий ( q0 ,q0 ), но и от параметров возмущающей силы ( h, p, ), и,следовательно, первые колебания в решении фактически также являютсявынужденными колебаниями.

Однако данное название получило широкоераспространение лишь потому, что вторые колебания имеют частоту p возмущающей силы, в то время как первые – частоту k свободных колебаний(собственную частоту).Отметим, что в реальных системах, где всегда присутствуют силы вязкого22сопротивления, колебания с частотой k соустанавливаются не зависящие от начальныхвынужденные колебания с частотой p , т. е.qвременем затухают иусловий стационарныеhsin  pt    .k 2  p2Если p  k , то установившиеся вынужденные колебания будут совпадатьпо фазе с возмущающей силой, если же p  k , то вынужденные колебания будутнаходиться в противофазе (сдвинуты по фазе на π) по отношению квозмущающей силе.Амплитуду B вынужденных колебаний можно представить в виде:5B4Здесьh1.222k 1 p / khHHk2 a  c ca–статическое смещение системыпод действием силы H , равнойамплитуде возмущающей силы.3( z )Обозначим B0  h / k .22ТеперьB1B01 p / k22.Величину00123zРис.

Характеристики

Список файлов книги