Борохова Н.В., Ильин М.М., Тушева Г.М. - Колебания линейной системы с одной степенью свободы, страница 4

Кннематнческое возбуждение вынужденных колебаний при задании перемещения точки крепления пружяны. Двухступенчатый каток (рис.2.8) массой т = 6 кг и радиусами ступеней т и В = 1,5т = О,Зм может катиться без проскальзывания па наклонной плоскости. Радиус инерции катка р = с/В т, Ограничивают движение катка пружина 2 и демпфер 4. Пружина 2, статическая деформация которой Ьст = 0,06125 м, связана со штоком 3, перемещающимся по закону е(с) = ес з«лр«, где ер = 0,01 м, р = 6 рад/с. Козффгщиснт сопротивления демпфера /и = 30Н с/м, Рис. 2,9 Рнс. 2.8 В начальный момент времени а = 0 центр С катка получил перемещение из положения равновесия вниз вдоль наклонной плоскости па 0,02 м и скорость ]сгь] = О, 4 м/с, направленную вверх, Рея(ение.

За обобщенную координату Ч(1) примем перемещение кг( центра катка, С учетам наложенных связей «рис, 2.9) кС к0 Ч Ч (р= — = — = —; хд=(р ВР = — 2т=2Ч; СР„т т т Ч( — т) [кк] = (р ° КР„, = = 0,5Ч; т Ч ь(с. —— р = -, он = фн = 2Ч, ас = фс = Ч т Кинетическая энергия катка г '= 2г""ос + 2 /с~(ес~~ где,/(;с = т,рг = тпВт =- 1, бтптг, Т= — гпЧ' +-1,5тит ~ — ] = -2,5пзЧг, г 1 г Ч 1 г или в соответствии с (1,4) Т = -оЧ, г 2 гдеи = 2,5 ° пс =15кг. Для вычисления обобщенной силы в этом примере воспользуемся формулой 2', бАь Я= (2,28) Возможную работу на перемещении катка, связанном с вариацией обобщенной коордшиты бЧ = ба~, совершают силы тгср, Р„ар и В» (см, рнс. 2,9); здесь Р„„р — сила реакции пружины 2, а »— сила сопротивления демпфера 4, В полон»енин статического равновесия катка выполняется условие '~ ~~/«4 (Р ) О, Вст (В,), 30о 0 где Р;;„= сгЬсг, поэтому сгЬ„О, 5т = О, бтндт.

Откуда следует, что коэффициент жесткости пружины тпд 6 9,8 сг = — = — ' = 960 В/м /сст При малых Ч(с) «см, рис, 2.9) Рх((((с — сг [схст + [хк [ — е(с)] = сг [ссст + 0~ 5Ч вЂ” е(~)1 ' В» = — /с» сн, = -/с» 2Ч, з маФ. БАя = тдв(п30 Бд+ сз (/) ат+ 0>бд — е(й)) ( — 0,559)- -Ь4 2д 259. где 0,32 — — 0,006 м; 0,32 тогда согласно (2.28) ~,"БАя Я = = — 0,25сзд — 4Ь.д'+О,боя аов1прг = й Бц = -с д — Ьс+ Ясв(пуд, Вьшислив запишем с учетом (2.27), (2.30), (2.31) и (2.32) дифференднальное уравнение (1.1): (2.35) (2,33) 15ц+120ф+ 2409 = 4,8ь4п61, илн в канонической форме д + 2ея + ш д = /с з(п р1, 32 Сумма возможных работ приложенных сил ~~~,4Аь = тдв1п30' дзс + Ру, „, дв + Л й Бвс где Бзи = — — = -0,559; бжь, — 25м 25, Принимая во внимание (2.29), получим БАя = — [0,25сз ° 9 — 0,5сз а($) + 45ягябд, с = О, 25сз = О, 25 ° 960 = 240 Н/м; 5=464=4 30=12ОН с/м; Яс = О,безас = 0,5 ° 960 ° О, 01 = 4,8 Н, (2,30) (2.31) (2,32) Ь 120 / с /240 е= — = — = 4рад/с; ш = ~/ — = у — = 4 рад/с; 2а 2 15 ' у'а 'г' 15 Ус = — = — ' = 0,32 м/с .

Яс 4,8 а 15 Имеем случаИ «критического» сопротивления е = ш, позтому решение запишем в видо (1.23): 9(й) = е м(С~ + Сз Ф)+ Вв1п(бь — у) м, (2.34) 2е р 2 4 6 у = агс18. „, = агс18 — = агс18(-2,4); шз — рз 16 — 36 поскольку у изменяется в пределах О»» у » ~я> у = я — 1, 176 = 1, 966 рад.

Постоянные интегрирования С~ и Сз определяем по (1,24) для заданных начальных условиИ; при Ф = 0 д(0) = ус = 0,02м; ф(0) = Ос = -О, 4 м/с; 6~ = 9о + В ьбп у = О, 02 + О, 006 О, 92 = 0,026 м; Сз = Чо+еЧа+/3(егбп у — рсоа у) = = — О, 4 + 4 ° О, 02 + О, 006(4 О, 92 — 6 ° (-О, 38) ) = = -0,284 м, Окончательно решение (2.34) имеет вид 9(й) = е 4'(О, 026 — О, 284 ° й) + О, 006 а(п(бй — 1,96) м.

(2,36) Вычислим добротность системы Д и период вынужденных колебаний Т,: М „27Г Д = — = О, 5; Т„= — = 1, 046 с. Движение на первом ннтервалс времени от начального возму п1ення до момента времени 1* = 4Т, + 3/е = 4,934 с определяется выражением (2,35), Прис = 1" у(1') = 0,0035 м,9(2') = = -0,0303 мыс, что позволяет, введя время 11 = 1 — 1", использовать на втором интервале движения решение в виде (1.38), определяя постоянные интегрирования Сш и Сяз по формулам, аналогичным (2,3б), с заменой йо и дс на д(1') н д(1") и.0 на 211: Сгя = О, 015 м, Сзз = О, 0576 м и,следовательно, 9(21) = е я«" (0,015+0,0576 11)+0,012(в1п611 — 1,966) и, (237) В конце второго интервала при 11 .= 1* (11 = $ — 21*) 9(1') = О, 007 м; д(1") = — О, 0646 мй.

Рвс,2,10 Теперь, введя время 22 = 11 — 1' и задашш1сь решением на третьем интервале движения в виде (1.42), находим констшггы интегрирования С1з и Сзз по формулам (1,45): Сзз = 9(1") = 0,007 м; Сзз = д(1')+е о(1') = -0,0326 м, Таким образом, д(22) = е «" (О, 007 — О, 0326 12) м, (2.38) Рис. 2,11 На рис. 2,10 представлены графики 7(1) на трех интервалах времени (О < 1 < 31*). Амплитудно-частотная Л(х) и фазочастотная у(х) характеристики системы (127), (1,28), построенные по значениям, приведенным в табл.2.3, изображены на рис. 2.11. А /'дТ'1 дТ дП дФ й 1, д~р) др д<р д<р (2,39) причем Р><с 2.12 Зб Пример 2,4.

Инерционное возбуждение колебаний, Выну. жденное относительное движение. Система состоит из трех однородных стержней ! массой гп = 2 кг и длиной 1 = О, бм ка ждый, расположенных в вертикальной плоскости н скрепленных шарнирно с рейкой 2 (рнс. 2.12), Рейка 2 перемещается по закону в(с) =- во гйп рт, где вс = 0,02 и, р = б рад/с, на конце невесомого стержня 3, являющегося продолжением стержня ВОь, на расстоянии Оьд = 1/2 укреплен точечный груз .О массой тз = О, бгп, Кривошип ОА связан с рейкой 2 спиральной пружиной 4 жесткостью св —— 31,6 Н м/рад, пружина недеформнрована при вертикальном положении кривошипа.

Коэффициент сопротивления йз гидравлического демпфера 5 составляет 5/4 от «критического» значения, соответствующего случаю в = ы, В начальный момент времени в положении равновесия стержню ОА сообщается угловая скорость, равная 0,01 рал/с и направленная против хода часовой стрелки. Решение.

Для получения дифференциального уравнения движения системы используем уравнение Лаграюка П рода (1.2), выбрав в качестве обобщенной координаты о = у(~) угол поворота стержней ОА и Оз В, причем положительный отсчет д(в) задаем по ходу часовой стрелки. Хотя система имеет две степени свободы и соответственно две обобщенные координаты ~р(С) и в(С) (см. рис. 2.12), уравнение Лагранжа 11 рода можно записать только по координате ~ф), поскольку двиясение в(в) задано: Составим кинетическую энергию, рассматривая абсолютное движение системы; /1 з 1 зз 1п г Т = — тпиц + 2 ~-гпсс + -/с,ш ( + — сп, 2 ' 1,2 ' 2 *") 22 сз, = (6",, + 6',)з = аз+ Р1з+ 2вСЫсову", з з з1~ 1 1 з. с~ —— 4 + у — + 2юр-сов<р,,/с, = — гп/; 12 3 с/э — — (6,о+6/з) = в + 1в — + 2ф — Зсоа(180' — 1в) = з -в -г з 2 21 4 2 12 = в + 1о — — фв/сов~р, з 3 4 Поскольку при малых колебаниях кинетическая энергия должна содержать члены не выше 2-го порядка малости, полагаем сов у = = 1.

Тогда Т = -т(в + у 1 + 2вср1)+ т(в + — +эР1)+ зг тп г Р1 + — т1 у + — (4 + — — вр1) = 12 4 4 (2.40) 2/ т~ 1 ляг пз гп из~ = -в (т+ оп+ — ) + — у 1 ~т+ — + — + — ) + 2) 2 ~ 2 6 8) пьт 1 7гп.з 1 43т,з з 7тп .. +Ар/ (гп+ тп — — 1 = — — в + — — 1в 1 + — вф.

4)222244 Ьа = -Ьа~ = 35, 84 Н сlм 6 7п 9!'! Н = — ( с4 — — / ьг = -од~ 2 ! 2 ! (2.41) где где нли в канонической форме (1,9) Ч'+2ед'+ Рч= асср'в! р1, (2,42) где где Изменение потенциальной энергии системы при отклонен клонении из положения равновесия: Н = -и!9!(1-сезар) — 2пгд-(1 — сову)+-с !аг+ "'9 (1 т~ '2 2 2 2 -( -совр, С учетом малости колебаний соа у = 1 — !аг/2, тогда 7, „7 с = с! — — пай! = 31,5- — 2 9,81 О, 5 =- 31, 5-17, 16 = 14,34 Н м, Следует отметить, что для устойчивости подоя<ения равновесия необходимо выполнение условия с > О, т, е. г4 > 7пгй/4, Диссипативпая функция !'алея '1'= — !мМ) =--! аФ !" = -!л1, г 1, 2 г 1 2 2'2а2 откуда5= Ьа !г.

Учитывая, что в силу малости колебаний кинетическая энергия Т пс зависит от обоб!цепной координаты р, подставляя (2.40), (2.41) и (2.42) в (239), получаем дифференциальное уравнение двь!я(ения в виде Ига!г ., 7га! „ — к!+ — в' = — о~р — Ь ! чг 24 4 или, используя числовые данные и учитывая, что 9(!) = -раас х х ашр1, 0,89Ьр+ 0,25Ьар+ 14 34<р = — аор ягор!. 7пь! г ! Коэффициент сопротиале!и!я Ьа гидравлического демпфера определим через его значение для случая е = м, где 5 Ь ! с 1~! 1~! е = — =; ш = ~/ — = у' — ' —— 4 рад/с.

(2.43) 2а 2а ' !! а т' 0,896 Ь~ !г 8 0,896 Тогда а = 4 рад/с, откуда Ьа = — ' = 28,67 Н с!и. 2 0,896 ' 0,25 Согласно условию задачи Дифференциальное уравнение движения системы, соответству!огцее координате у(!), с учетом (2.44) имеет вид 0,896у)+8,969)+14,34у = Яср а!пр! = — ас р кипра, (2,45) г 7га! 2 7т! 7205, г г Яс = — ас = ' 0,02= 0,035Н и с /рад > 5 8,96 — — = 5 рад/с! 2а 2 О 896 7га!ас 7 ° 2 О, 0,02 0 039 1с— 4а 4 0896 О, 039 рад. Анализируя коэффициенты канонического уравнения (2.4б), получаем, что в этом примере е > и, Тогда решение уравнения (2.46) имеет вид (125).