Борохова Н.В., Ильин М.М., Тушева Г.М. - Колебания линейной системы с одной степенью свободы, страница 2

Обабн1енная сила я(1) будет определяться Ф,: -гпй($)1 саа ~рйр ®'~ - = = .,ь'..„,..., илн, с учетам малостиугла 1о имеем ф$) = Яаз1прг, где Яо = гпзс1р Отметим, что прн инерционном возбуждении колебаний ампли- туда обобщенной силы Я(1) (см. (1.7)) пропорциональна квадрату частоты вазб огаты возбуждения р, в отличие ат случаев силового и кннема- 3 тическога возбуждений (1.5), (1,б), читывая, что — = 0 и представляя уравнение (1,2) с учетом (1,3) как дд г( дТ~ дП дФ й дую дд дд — —.1) = — — — + )(1), (1,8) получаем уравнение (1,1).

Отметим стим, гго прн непосредственном описании движения систе- мы с использованием дифференциальных уравнений поступатель- ного, вращательного и плоского движений, с учетам сделанного до- пущения а малости власти д, д и д, дифференциальное уравнение движе- ния системы также получается в виде (1,1). 1.2. Интегрирование дифференциального уравнении движения системы Приведем уравнение (1.1) к канонической форме д+ 2щ'+ ы д =,гез1пр1, о з с Яо 2е=-; м =-~ 10=— а о а Решение (1.9) есть сумма общего решения однородного уравнения О .„($) и частного решения неоднородного д'($): где д(1) = д,,,(1) + д'(1).

(1.10) Прн отсутствии возмущающего воздействия о,, (1) описывает свободное двизкение системы, которое может возникнуть в результате начальнага возмущения. С точением времени д,,„(1) стремится к нулю; д*($) описывает установившиеся вынужденные колебания„ которые будут наблкдаться в системе по истечении времени, достаточного для того, чтобы д,,,($) стало пренебрежимо малым. Реиаяие, а„,,(1) имеет колебательный характер (описывает зазухщощие колебания) только при а < ы — случай малага вязкого сопротивления, В этом случае д,,,($) может быть представлено в одном из двух видов. (1) = е а (С~ саз м11 + Сз а)п ~11) ) нлн (1.12) О (1) — Ае' ~~я!п(ю)1+ с~)~ где Сы Сз н А, а — произвольные постоянные, причем А а~~.с~, = ц —,,=,/ з- ~.

алуа С~ г 2> Как видно нз (1,10), (1.11), затухающее колебательное движение не является периодическим из-за множителя е ". Однако наличие в решении тригонометрических функций приводит к чередованию через равные промежутки времени нулей н максимумов. Поэтому затухающий колебательпый процесс называют условнопериодическнм и использукп следующие характеристики: ьч— условную частоту; Т~ = юг/ог — условный период; Ае м— условную амплнзуду; а — начальную фазу затухающих колебаний. Ч(О) = Чс, Ч(0) = Чс, тогда Чо. (4) = е ' (Сг + Сгг), ч*(г) = .Р зт(рг — у), (1.16) где (1,17) 2ер 'у = агсгя— «Р — г (1.18) Кроме того, для качественного анализа затухающих колебаний применяются такие характеристики; Ь = е'г' — декремент колебаний, т, е. отношение амплитудных значений Ч,,(т), взятых через условный период Т1 затухающих колебаний; б = 1п Ь = кТг — логарифмический декремеит колебаний „тс = 1/к — постоянная времени затухающих колебаний, т,е, время, зв которое условная ампяитуда затухающих колебаний Ае " уменыпается в е раз ( в 3 Раза); Д = ы/2е — добротность системы, т.

е, количество полных колебаний, по прошествии которых условная амплитуда затухающих колебаний уменьшится примерно в е" раз, т, е. затухающие колебания становятся исчезающе малыми. Следует отметить также, что добротность Д используется при исследовании амплитудно- частотной характеристики установившихся вынугкденных колебаний, При е > м (большое сопротивление) решение для Ч,,,(4) имеет вид, Ча»(Ф) = е "(Сгеы+ Сге "'), (1,14) где й = зукг — ыг < е; Сы Сг — произвольные постоянные. В случае «крнтического» оопротивлеиия е = ш решение для Ч» е(1) записывается так: где С1 и Сг — произвольные постоянные. Частное решение неоднородного уравнения Ч*(ь), соответствующее установившимся вынужденным колебаниям, имеет вид амплитуда вынужденных колебаний; р — частота вынужденных ко- лебании, равная частоте внешнего гармонического возмущения, сдвиг по фазе, т, е.

отставание по фазе установившихся вынужденных колебаний от вынугкдающей силы. Таким образом, при е < м решение уравнения (1.1) запишется в виде (г) = е ы(С1 сов мг1+ Сг ып щ1) + Р з(п(рг — 'у), (1,19) или Ч(З) = Ае ма(п(шгг+ а)+ Рз)п(рг — у). Постоянные интегрирования Сы Сг или А и а определяются из начальных условий приз = 0 С! = ЧО + Р »1п у~ (1.21) Сг = — (Чс + еЧс + Р(ез1п'у — рсоа'у)) ,' иг А = Сг+ Сгг; а = агсгй —, С1 (1,22) Сг' причем а располагается в 1 или 1Ч квадраптах при Сг > О, Бели жс Сг < О, то к вычисленному главному значению а необходимо добавить я, При е = м решение (1,1) принимает вид Ч(1) = е-м(С, + Сгг) + Рз1п(Р1-7) ('26) Постоянные интегрирования С1 и Сг определяются по заданным начальным условиям (1.20); С1 — Чс+ вша Сг = Чс+ ейс+ Р(езш У Рсозч) При е > ы решение (1,1) имеет вид Ч(Е) = е ~~(Стел~+ Сге ы) + Рз1п(р1 — у).

(1.26) 11 Рис, 1.2 /(1 — *~~';- г1 а 'у = агс18— 1 — яз' Яс = Ър' (1.28) (1.82) имеем .0 гз ь лг~~'т~~' Д вЂ” ~ш~2 (1.29) и равно Д ~л — и~д' с =1/г, (Х.ЗО) 13 Постоянные интегрирования, определяемые по заданным начальным условиям (1,20): 1 С1 = — (до + (к -1- й) дс + Ц(е + й) в1п у — р соз у) ); (1.26) Сз = — — (4о + (е — й) ос + 17 ((а — й) в1 и 7 — р соа 70 ° 2й 1.3. Исследование колебательного процесса /,3,/, Амплитудна- нлстотнла и фазачлетолтл характеристики Для случая силового возбуждения (см, рис.

1,1, а) и кинематического (см, рис, 1 1, 6) приведем (1.17) и (1,18) к безразмерному виду, используя следующие обозначения; Л вЂ” коэффициент динамичности, т. е. отношение амплитуды установившихся вынужденных колебаний к статическому смещеншо; з = — р/ш — коэффициент расстройки; д = 2е/и — безразмерный коэффициент сопротивления, т. е, величина, обратная добротности системы Д, введенной ранее. Тогда Л— (1.27) 17,.

1де 17ет = Яв/с = /с/ш — статическое смещение системы от положения равновесия под действием постоянной силы, равной амплитудному значению гармонического возмущающего воздействия. Зависимость Л = Л(я) называется безразмерной амплитудно-частотной характеристикой системы. Для случая Н < Я максимальное значение Л = Л„„, соответ- ствует В случае д > 1/2 максимальное значение Л = Л„„„соответствуетг" = ОиравноЛ =1. При резонансе (г = р/ш = 1) Л = 1/и' = Д и, следовательно, меньше, чем Л„„,. Из (1.27) видно, что при я -+ оо Л -> О.

На рис, 1.2 построено семейство амплитудно-частотных характеристик для различных значений коэффициента Н, для колебательных систем с инерционным возмуп1еннем (рис, 1,1, в) амплитуда обобщенной возмущающей силы Я(1) пропорционалыеа квадрату частоты рз: Очевидно, что в атом случае Ю„= О.

Обозначив Ь Уо =— Я Введя величину с', обратную коэффициенту расстройки а, получим Р 1 ь лг — лэ +~~~ ' С';Рад со до до Рыс. 1.4 оя- й Рис, 1,3 15 где Л„„= Р/Д является аналогом коэффициента динамичности, но Д представляет собой амплитуду Р при я -> оо. Сопоставляя выражения (1.27), (1.34) и (1.35), убеждаемся, что при я = О, т,е при д -+ оо, Л„„= О, при я = 1 Л„„= Д (резо~ие,д.и<я р "= ', .

р ~ =„'Г-ФСг, 1 — Ы/2 Л ьн т~х =, дпя СС «~ ~ 2 Л„,,„,„= 1 И соответствует 1-'Ы /4 я = оо, т,е. при С = О, при э -> ~и, т.е, при (' = О, Л' -> 1. Зависимость Л„„(я) при различных значениях коэффициента гС представлена на рис, 1,3. Отметим, что фазочастотная характеристика (рис, 1.4) не занисит от способа возбуждения колебаний. 1.3.2 Исследование переходных процессов Переходный процесс на первом интервале времени от начального возмущенного состояния до момента времени С* = 4Т„+ Зто определяется в зависимости от соотношения между е и ю по формулам (1.19), (! 23), (1,25), произвольные постоянные в них вычисляются по формулам (121), (1.22), (1.24) и (1.26) соответственно.

По наступлении времени С* можно с высокой степенью точности счи- тать, что имеют место установившиеся вынужденные колебания, и поэтому отклонение системы н ее скорость в данный момент можно определять по формулам Р„:,п(рС' т), д(С") = Ррсоа(рС' — 'у), (136) Введем новое время С1 = С вЂ” С', тогда, учитывая, что амплитуда установившихся вынужденных колебаний линейно зависит от амплитуды возмущающего воздействия, а по условию домашнего задания последняя увеличивается в 2 раза, запишем решение на втором интервале времени (от С" до 2С') в зависимости от соотношения между е и ап прис < ш д(Сс) = е еи(СсзсовшсСс+Сззв1пь)1Сс)+2Рв1п(рС1- у); (1,37) прис =ш д(Сс) = е '"(Сш+ СззСс) + 2Ргйп(РСс — У); (1,38) прис > ш д(С1) = е "ц(Сшеяи + Сззс ьи) + 2Рапт(рСС вЂ” "«), (1,39) где произвольные постоянные Сш и Сзз могут быть определены по формулам (121), (1.24) и (1.26), если заменить в них дс и дс на д(С') и д(С') и Р на 2Р. В момент времени С1 = С'(С = 2С*) прекращается возмущающее воздействие.

Отклонение системы в этот момент и ее скорость могут быть определены по аналогии с (1,36) по формулам д(С*) = 2Ря1п(рС' — т); д(С*) = 2Рр сов(рС' — 7) (1 4О) Введем время Сз = С1 — С'(Сз = С вЂ” 2С*), тогда решение на третьем интервале времени можно записать в зависимости от соотношения между е и ап прис < ш прив > ш д(зг) = е '"(Сгзеь" + Сазе ыз), (1,43) Рне. 2,1 при е = м Сзз = ч(1 ); Сгз = Ч(1 ) + еч(4 ) ,' (1 45) 1 %з = — [д(Ф') + (в+ /г)О/($')); Сгз = -25(д(з*) + (в — /с)д(з')), ИП7 кй.

Щ. 8. Батяня 3ИБЛПОТЕКА 17 где д(зг) = е 'м(Сгзсовм~1г+ Сгзв1паЧЕг); (1,4Ц прае =ш 9(ег) = е "'(йз+ Сгзсг)' (1,42) где произвольные постоянные определяются ло формулам; при к < ш Сгз = 4(1'); Сгз = — (О(З*) + еО(1*В (1 "14) шг 2. ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ДОМАШНИХ ЗАДАНИЙ Пример 2.1. Силовое возбуждение вынужденных колебаний.

В кривошипно-ползунном механизме (рис, 2,1), расположенном в горизонтальной плоскости, кривошип 1 и шатун 2 представляют собойо и ойоднородныестерхенн одинаковой длины ОА = АВ = 1 = 0,4 м и массы т, = гпг = О,бкг, Ползун 3 массы тз = 1,2кг движется в гла ких н падких направляющих. Вращению стержней 1 и 2 препятствует спиральная пружина 4 с коэффициентом жесткости с~ —— 16 = 1О, 6 Н м/рвд, С ползуном 3 связан демпфер 5 с коэффициентом сопротивления йз = 6, 8 Н с/м. На кривошип 1 действует пара снл с моментом М(З) = Мс вшре, где Мо = 2,ОН м, р = брал/с.