Борохова Н.В., Ильин М.М., Тушева Г.М. - Колебания линейной системы с одной степенью свободы

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ вм. Н,Э, БАУМАНА Падр д ЦкеВММ И ьин' 1746326 Борохова Н.В. ! Ь~гнФлииа т»» ъи~ н * возврдтитю книгу ия позже обозначенного здесь срока » й х е Ф ,ЕЖЕЕай с Е~ ы ' щфяяафя»» $~3ох даииаэФВИВ х Н.в. БОРОхова, М.М. Ильин, Г.М. ТУшева КОЛЕБАНИЯ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЫОСВОБОДЫ Мещодицеские указания к еыпо,нению д ашни задании но разделу щорса е Теоретическал механика» Москва Издательство МГТУ нн. Н.Э. Баумана ЮО5 КЛУ" ЕЕ.Б.3. 54УМАКА БЕБЛЕИЕКА УДК 534,01 ББК 22З12 Б83 18ВМ 5-7038-2600.4 УДК 584.08 ББК 22З12 18314 5-7058-2600-4 © МГТУ им Н Э Баумана,2005 РспснзентХ:А.

Тимофеев Барахова Н.В» Ильин 1И.М., Тутаева ЕМ. Б85 Колебания линейной системы с очной степе ью обод ; М н св беды: стодическне укгттаггия к ныполнению домаькнич заданий по разделу курса «Теоретическая механика» / Пол рсд. М.М. Иггзоггга. - Мл Издчю МГТУ им. НЛ. Баумана,2005,-52сс ил. П риаедены краткие сведения из теории. Рассмотрены четыре характерных примера выполнения домашних заданий.

Даны 52 варианта задач лля самостоятельного релзеииа по разделам «Малые колебания — определение параметров колебательного процесса». «Малые колебания — исследование ааебагельного процесса», Для студентов магпнностроитеггьггых сггецнальностей. Табл.5. Ил, 18. Библногр. 8 назв. УСЛОВИЯ ДОМАШНИХ З 8ДАНИй1 Рассматриваются малые колебания механической системы с одной степенью свободы около положения устойчивого равновесия. Схемы механических систем приведены в подразделе 3. Они представляют собой плоские механизмы, расположенные в вертикальной плоскости и состоящие из твердых тел, нитей, демпферов н упругих злементов.

Необходимые числовые данные представлены в табл. 3.1 и, где зто необходимо, на схемах задач. Для всех вариантов иа схемах задана обобщенная координата д(8), отсчитываемая от положения равновесна в невозмущенном состоянии, а в табл.3.1 — соответствующие ей начальные условия, На всех схемах номерами 1, 2 обозначены звенья, массу которых необходимо учитывать при составлении диффереициальногоуравнения, номером 3 — упругийэлемент, номером 4 — демпфер. Силы и моменты воздействия упругих элементов на тела пропорциональны удлинению пружин или углу закручивания спиральных пружин.

Демпфср создает силу линейно-вязкого сопротивления В = -гьб„, пропорциональную скорости движения поршня б„где Ь > 0 — коэффициент сопротивления демпфера. 'Так как в настоялгее время вышли из печати два учебника 11-21, написанные коллекгивамн преподавателей кафелры, тле использованы некоторые новые обозначения для физических величин, в приложении дается таблица соответствия между новыми н старыми обозначениями. Там, где это необходимо, на схемах вариантов указан радиус инерции звена относительно центральной оси, в остальных вариантах тела вращения следует принять за однородные сплошные цилиндры.

В вариантах 1, 2„3, 4, 9, 21, 27 (см. схемы в подразд. 3) характеристики упругих элементов заданы через их статические деформации О „, з (линейные илн угловые). Внешнее воздействие во всех вариантах изменяется во времени по закону 81п рг. При выполнении домашнего задания по разделу «Малые колебания — определение параметров колебательного процесса» необходимо: 1) составить дифференциальное уравнение малых колебаний системы; 2) получить решение этого уравнения и, используя заданные начальные условия, определить постоянные интегрирования; 3) определить период установившихся вынужденных колебаний Т, и добротность системы Д, а для вариантов с малым линейно- вязким сопротивлением (е с ы) дополнительно: Т~ — условный период затухающих колебаний; б — логарифмический декремент колебаний; тс — постоянную времени затухающих колебаний.

При выполнении домшпнего задания по разделу «Малые колебания — исследование колебательного процесса» предполагается, что по истечении времени 4 Т,+3/е = (4Т,+ 3 го) амплитуда внешнего воздействия увеличивается в два раза, а еиге через таюй же промежуток времени внешнее воздействие прекращается. Необходимо: 1) исследовать амплитудно-частотную и фазочастотную характеристики системы; 2) весле ) сследовать процессы перехода от начального возмущенного состояния к установившимся вынужденным колебаниям, от установившихся вынужденных колебаний прн исходной амплитуде внешнего воздействия к установившимся колебаниям при удвоении амплитуды и от после оследних — к состоянию покоя после прекращения внешнего воздействия; 3) по нть а стро график фФ), включакнций все переходные процессы.

1. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ 1.1. Дифференциальное уравнение малых колебаний механической системы Дифференциальное уравнение малых колебаний механической системы с одной степенью свободы имеет вид В (1.1) д = д(1) — обобщенная координата, отсчитываемая от положения устойчивого равновесия системы; а > Π— обобщенный инерционный коэффициент; Ь > Π— обобщенный коэффициент ! лииейно-вязкого сопротивления, с > Π— квазиупругнй изэффициент; фс) — обобщенная сила возмущающего воздействия, Уравнение (1,1) представляет собой линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффнциеитайи.

Оно получается линейным для малых колебаний потому, что прн выводе его полагают обобщенную координату е, скорость 4 и ускорение с малыми величинами первого порядка, а слагаемые более высоких порядков малости отбрасывают. При использовании уравнения Лагранжа П рада в выражениях кинетической и потенциальной энергий н диссипативной функции Рзлея удерживаются слагаемые второго порядка малости, поскольку при дифференцировании этих величин по обобщенной координате с или ее скорости с порядок малости понижается на единицу, Для системы с одной степенью свободы уравнение Лагранжа П рода имеет вид (1.2) где Т вЂ” кинетическая энергия системы; Я вЂ” обобщенная сила, ю- торая может быть представлена как где Я, — обобщенная сила от потенциальных сил, действующих на систему; она выражается через потенциальную энергию системы р®=р,>ш 1 «(1,>=«, >врг '(1)м „>в 1>>р = с«р1.

ПЙ) по формуле Яр = -дП/г1О; ߄— обобщенная диссипативная сила, получаемая от действия сил линейно-вязкого сопротивления, она выражается через диссипативную функцию Рэлея Ф(О) по формуле Яд — -Ыф/Щ В силу сделанных выше допущений о малости О(1) и 4(1) кинетическая энергия, потенциальная энергия и диссипативная функция Рэлея, вычисленные с точностью до величин второго порядка малости (при условии, что связи, наложенные на систему, стационариы), имеют аид 1 ,3 1 3 1 ,з 7= — а4; П= -сдз; ~1> = -Ьцз, 2 ' 2 ' 2 (1 4) В домашнем задании предполагается, что внешнее возмущение, действу>ошее на колебательную систему, изменяется во времени по гармоническому закону в1п ро, где р — частота возмущающего воздействия.

Используются три способа возбуждения колебаний, примеры которых представлены на рис. 1,1, Рие, 1.1 Силовое возбуждение. На систему действу>от извне сила или пара сил (момент). На рис. 1.1, а математический маятник, связанный с пружиной, находится под воздействием силы Г(1) (Р(й) = = Ро а1прт). В этом случае для получения Я(>) необходимо задать вариацию обобщенной координаты йр и, вычислив возможную работу только от Г(1), разделить ее на вариацию обобщенной координаты; РЮ1 сов о>бр> ф1) = - ' ' = РО1ашросОВЧ>. д~Р С учетом малости угла о> полагаем совр> = 1, тогда фр) = = Яов1прр, где Яа =Ро1 (1.б) Книематическое возбуждение, Вынужденные колебания возника>от а результате задаваемого извне дан>кения точки крепления пру>кипы (рис, 1.1„б) «(1) = «р гйпр1, не зависящего от параметров системы.

Пользуясь линейностью упругой характеристики пружины, можно считать, что при перемещении левого и правого концов пру>кипы возника>от как бы две независимые силы, прилакенные к маятнику, Одна из них, равная по величине с1О>, направлена влево, а другая, равная по величине св(1), — вправо, Первая сила входит в выражение для Я„, давая составляющую -с1оо>, а вторая учитывается аналогично предыдущему случа>о, давая Я(1): Я(1) = — = с«(1)1сов О>, с«(1)1сов О>йр 6» или, с учетом малости угла О>, имеем ф1) = 1 >о а1п рр, где Инерционное возбуждение. Маятник связан с подвижным основанием, перемещение которого, не зависящее от параметров системы, задается извне, причем ставится задача об исследовании относительных (по отношению к падви>кному основанию) колебаний маятника (рис 1 1 о) Сист истема координат, связанная с подвижным основанием, движется вместе с ним поступательно, прямолинейно, но неравномерно, Поэтому прн составлении дифференциального уравнения вынужденных относительных колебаний необходимо учитывать переносную силу инерции Ф, = -гпа„направленную против переносного ускорения й(1), Переносное ускорение считается санаправленным с з(Г).