Для 1-го номера по УрМатФизу (Головко Е.А. - Приведение к каноническому виду линейных уравнений с частными производными второго порядка)

Федеральное агентство по образованиюГОУ ВПОИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТИнститут математики, экономики и информатикиКафедра дифференциальных и интегральных уравненийЕ.А.ГоловкоПРИВЕДЕНИЕ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ ЛИНЕЙНЫХУРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ВТОРОГОПОРЯДКАМетодические указанияИркутск 2008ОглавлениеВедение……………………………………………………………………§1 Приведение к каноническому виду линейных уравнений с частными производными 2-го порядка с двумя независимыми переменными …………………………………………………………………………1.1. Необходимый теоретический материал………………………..1.2.

Пример выполнения задачи1 (приведение кканоническому виду уравнений гиперболического типа) ...1.3. Пример выполнения задачи 2 (приведение кканоническому виду уравнений параболического типа)1.4. Пример выполнения задачи 3 (приведение кканоническому виду уравнений эллиптического типа) ..1.5. Задачи для самостоятельного решения ………………….….§2 Упрощение группы младших производныхдля уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами2.1. Необходимый теоретический материал …………………..2.2. Пример выполнения задачи 42.3. Задачи для самостоятельного решения ……………………..23446791113131417ВВЕДЕНИЕВ настоящих методических указаниях изложен теоретический материал и наконкретных примерах разобрано приведение к каноническому виду линейныхуравнений с частными производными второго порядка с двумя независимыми переменными для уравнений гиперболического, эллиптического и параболическоготипов.Методические указания предназначены для студентов математических специальностей очной и заочной формы обучения.3§1.

Приведение к каноническому виду линейных уравнений счастными производными 2-го порядка с двумя независимымипеременными.Задача. Определить тип уравненияA( x, y)U xx  2B( x, y)U xy  C ( x, y)U yy  a( x, y)U x  b( x, y)U y  c( x, y)U  f ( x, y)(1)и привести его к каноническому виду.1.1. Необходимый теоретический материал.I. Тип уравнения (1) определяется знаком выражения B 2  AC : если B 2  AC  0 в некоторой точке, то уравнение (1) называетсяуравнением гиперболического типа в этой точке; если B 2  AC  0 в некоторой точке, то уравнение (1) называетсяуравнением эллиптического типа в этой точке; если B 2  AC  0 в некоторой точке, то уравнение (1) называетсяуравнением параболического типа в этой точке.Уравнение (1) будет являться уравнением гиперболического, эллиптического,параболического типа в области D, если оно гиперболично, эллиптично, параболично в каждой точке этой области.Уравнение (1) может менять свой тип при переходе из одной точки (области) вдругую.

Например, уравнение yU xx  U yy  0 является уравнением эллиптическоготипа в точках ( x, y), y  0 ; параболического типа в точках (x,0) ; и гиперболического типа в точках ( x, y), y  0 .II. Чтобы привести уравнение к канонического виду, необходимо:1. Определить коэффициенты A( x, y), B( x, y), C ( x, y) ;2.

Вычислить выражение B 2  AC ;3. Сделать вывод о типе уравнения (1) (в зависимости от знака выраженияB 2  AC );4. Записать уравнение характеристик:A( x, y)dy 2  2B( x, y)dxdy  C ( x, y)dx 2  0 ;(2)5. Решить уравнение (2). Для этого:а) разрешить уравнение (2) как квадратное уравнение относительно dy:B( x, y )  B 2  ACdy dx ;(3)A( x, y )б) найти общие интегралы уравнений (3) (характеристики уравнения(1)):41 ( x, y )  C1 , 1 ( x, y )  C 2 ,(4)в случае уравнения гиперболического типа;  2 ( x, y)  C ,(5)в случае уравнения параболического типа; 3 ( x, y)  i 3 ( x, y)  C ,(6)в случае уравнения эллиптического типа.6.

Ввести новые (характеристические) переменные  и  : в случае уравнения гиперболического типа в качестве  и  берутобщие интегралы (4) уравнений (3), т.е.  1 ( x, y ),   1 ( x, y ); в случае уравнения параболического типа в качестве  берут общий интеграл (5) уравнения (3), т.е.    2 ( x, y) , в качестве  берут произвольную, дважды дифференцируемую функцию  2 , невыражающуюся через  2 ( x, y) , т.е.

   2 ( x, y) ; в случае уравнения эллиптического типа в качестве  и  берутвещественную и мнимую часть любого из общих интегралов (6)уравнений (3):  Re3 ( x, y)  i 3 ( x, y)   3 ( x, y ),  Im3 ( x, y)  i 3 ( x, y)    3 ( x, y ).7. Пересчитать все производные, входящие в уравнение (1), используяправило дифференцирования сложной функции:U  x, y ; x, y U x  U    x  U  x ,U y  U    y  U   y ,U xx  U   x   2U   x x  U   x   U   xx  U  xx ,22(7)U yy  U    y   2U    y y  U   y   U    yy  U  yy ,U xy  U    x y  U    x y   y x   U  x y  U    xy  U  xy .8.

Подставить найденные производные в исходное уравнение (1) и привести подобные слагаемые. В результате уравнение (1) примет один изследующих видов: в случае уравнения гиперболического типа:22U   F1 U  ,U ,U ,  ,   0 ;5 в случае уравнения параболического типа:U  F1 U  ,U ,U ,  ,   0 ; в случае уравнения эллиптического типа:U   U  F1 U  ,U ,U ,  ,   0 .1.2. Пример выполнения задачи 1.Определить тип уравненияU xx  4U xy  21U yy  2U x  3U y  5U  x 2и привести его к каноническому виду.(8)Решение:1.

Определим коэффициенты A( x, y), B( x, y), C ( x, y) :А=1, В= -2, С=-21.22. Вычислим выражение B  AC :B 2  AC  4  21  25 .3. B 2  AC  25  0  уравнение гиперболического типа во всей плоскостиXOY.4. Запишем уравнение характеристик:dy 2  4dxdy  21dx 2  0 .(9)5. Решим уравнение (9). Для этого:а) разрешаем уравнение (9) как квадратное уравнение относительно dy: 2  25dy dx ;1dy   2  5dx ;dy  7dx, dy  3dx,(10)б) найдём общие интегралы уравнений (10) (характеристики уравнения(9)):y  7 x  C1 ,y  3 x  C2 ,y  7 x  C1 ,y  3 x  C2 .6. Введём характеристические переменные:  y  7 x,  y  3x.7. Пересчитаем производные, входящие в исходное уравнение.Найдем сначала6 x  7,  y  1,  xx  0,  xy  0,  yy  0, x  3,  y  1,  xx  0,  xy  0,  yy  0.Используя формулы (7), получим:2 U x  7U   3U , 3 U y  U   U ,1 U xx  49U   42U   9U ,1 U xy  7U   4U   3U , 21 U yy  U   2U   U .Здесь слева написаны коэффициенты уравнения (8) при соответствующихпроизводных.8.

Собирая подобные слагаемые, получим:U  {49  28  21}  U  {42  16  42}  U {9  12  21}  U  {14  3}  U   2{6  3}  5U .16Или после деления на -100 (коэффициент при U  ):U   0,11U   0,09U  0,05U   2.1600Ответ. Уравнение (8) является уравнением гиперболического типа на всейплоскости XOY. Канонический вид   2U   0,11U   0,09U  0,05U  ,1600где   y  7 x,   y  3x.1.3.

Пример выполнения задачи 2.Определить тип уравнения25U xx  10U xy  U yy  U y  2U  5 y  2 xи привести его к каноническому виду.(11)Решение:1. Определим коэффициенты A( x, y), B( x, y), C ( x, y) . В нашем примере онипостоянны:А=25, В= -5, С=1.22. Вычислим выражение B  AC :7B 2  AC  25  25  0 .3. B 2  AC  0  уравнение параболического типа во всей плоскости XOY.4. Запишем уравнение характеристик:(12)25dy 2  10dxdy  dx 2  0 .5. Решим уравнение (12). Для этого:а) разрешаем уравнение (9) как квадратное уравнение относительно dy.

Однако в этом случае левая часть уравнения является полным квадратом:(5dy  dx) 2  0 ;(13)5dy  dx;б) имеем только одно уравнение характеристик (13). Найдём его общий интеграл (уравнения параболического типа имеют только одно семейство вещественных характеристик):5 y   x  C,5 y  x  C.6. Введём характеристические переменные: одну из переменных ( ) вводимкак и ранее  5 y  x,а в качестве  берут произвольную, дважды дифференцируемую функцию, невыражающуюся через  , пусть  x;7. Пересчитаем производные, входящие в исходное уравнение.Найдем сначала x  1,  y  5,  xx  0,  xy  0,  yy  0, x  1,  y  0,  xx  0,  xy  0,  yy  0.Используя формулы (7), получим:0 U x  U   U ,1 U y  5U  ,25 U xx  U   2U   U  , 10 U xy  5U   5U  ,1 U yy  25U  .Здесь слева написаны коэффициенты уравнения (11) при соответствующихпроизводных.8.

Собирая подобные слагаемые, получим:U  {25  50  25}  U  {50  50}  U {25}  U  {5}  2U    .8Функцию, стоящую в правой части уравнения (11) необходимо также выразить через характеристические переменные.После деления на 25 (коэффициент при U ):U  0,2U  0,08U  0,4(   ).Ответ. Уравнение (11) является уравнением параболического типа на всейплоскости XOY.

Канонический видU  0,2U  0,08U  0,4(   ).где   5 y  x,   x.1.4. Пример выполнения задачи 3.Определить тип уравненияU xx  4U yy  U x  3U y  U  x 2и привести его к каноническому виду.(14)Решение:1. Определим коэффициенты A( x, y), B( x, y), C ( x, y) :А=1, В= 0, С=4.22. Вычислим выражение B  AC :B 2  AC  0  4  4 .3. B 2  AC  4  0  уравнение эллиптического типа во всей плоскостиXOY.4. Запишем уравнение характеристик:dy 2  4dx 2  0 .(15)5.