Жорданова нормальная форма. Корневые подпространства. Жорданова нормальная форма. Комплексные корни. Теорема Кэли - Гамильтона (Избранные лекции)

Московский государственный технический университетимени Н.Э. БауманаÌÃÒÓФакультет «Фундаментальные науки»Кафедра «Математическое моделирование»ÌÃÒÓÀ.Í. ÊàíàòíèêîâÈÇÁÐÀÍÍÛÅ ËÅÊÖÈÈÏÎ ÀËÃÅÁÐÅÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12Äëÿ ñòóäåíòîâ ôàêóëüòåòà ÔÍÌÃÒÓÊîíñïåêò ëåêöèéÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12Москва2009ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ9. ЖОРДАНОВА НОРМАЛЬНАЯ ФОРМАÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12J Отметим, что если p(x) = α0 + α1 x + .

. . + αk xk , тоp(A) = α0 I + α1 A + α2 A2 + . . . + αk Ak .Из этого представления нетрудно установить, что линейные операторы p(A) и A коммутируют,т.е. Ap(A) = p(A)A.Пусть x ∈ Ker p(A), т.е. p(A)x = 0. Тогда p(A)Ax = Ap(A)x = A0 = 0. Следовательно,Ax ∈ Ker p(A). Тем самым доказано, что A(Ker p(A)) ⊂ Ker p(A) и что Ker p(A) — инвариантноеподпространство для A.Пусть y ∈ Im p(A), т.е.

y = p(A)x для некоторого вектора x. Тогда Ay = Ap(A)x = p(A)Ax,и мы делаем вывод, что Ay ∈ Im p(A). Следовательно, A(Im p(A)) ⊂ Im p(A), т.е. Im p(A) —инвариантное подпространство. IR1 ⊃ R2 ⊃ . . . ⊃ Rm ⊃ . . .D 1 ⊂ D2 ⊂ . . . ⊂ Dm ⊂ . . . ,ÔÍ-12Мы рассматриваем случай, когда характеристическое уравнение линейного оператора A,действующего в n-мерном линейном пространстве, не имеет комплексных корней. Далее λ1 ,λ2 , .

. . , λk обозначают корни линейного оператора A, а σ1 , σ2 , . . . , σk — их алгебраическиекратности.Рассмотрим линейный оператор A1 = A − λ1 I, где I — единичный оператор. Подпространmства Dm = Ker Am1 и Rm = Im A1 , согласно доказанной теореме, являются инвариантными дляоператора A. При этом имеют место соотношенияÌÃÒÓÌÃÒÓТеорема 9.1. Пусть p(x) — многочлен с действительными коэффициентами.

Подпространства Ker p(A) и Im p(A) являются инвариантными для линейного оператора A.ÔÍ-12ÔÍ-12Задача упрощения матрицы линейного оператора связана с анализом инвариантных подпространств этого оператора. Отметим, что для любого линейного оператора A инвариантнымиподпространствами являются ядро и образ линейного оператора, а также ядро и образ любойстепени этого оператора. Обобщением этого наблюдения является следующий результат.ÌÃÒÓÌÃÒÓ9.1. Корневые подпространстваr1 > r 2 > . .

. > rm . . .При этом di + ri = dim Ker Ai1 + dim Im Ai1 = n, где n — размерность линейного пространства.Существует такой индекс m, при котором dm = dm+1 , в то время как di < di+1 при i < m.Это значит, что Dm = Dm+1 и далее Dm+1 = Dm+2 и т.д. В самом деле, Если x ∈ Dm+2 , то(A1 x) = 0 и A1 x ∈ Dm+1 . В силу равенства Dm = Dm+1x = 0. Следовательно, Am+1Am+211m+1заключаем, что A1 x ∈ Dm .

Это означает, что Amx = 0, т.е. x ∈ Dm+1 .1 (A1 x) = 0, или A1Теорема 9.2. Подпространства Dm и Rm образуют прямую сумму и Dm ⊕ Rm = L.J Отметим, что dim Dm + dim Rm = dim L. Поэтому достаточно показать, что Dm ∩ Rm = {0}.mРассмотрим вектор x ∈ Dm ∩ Rm . Для него имеют место соотношения Am1 x = 0 и x = A1 y.2mОтсюда следует, что Am1 x = A1 y = 0, т.е. y ∈ D2m . Так как Dm = Dm+1 = . . . = D2m , тоy ∈ Dm . Следовательно, x = Am1 y = 0. IÌÃÒÓÔÍ-1212ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12d1 6 d2 6 . . .

6 dm . . . ,ÌÃÒÓÌÃÒÓПолагая di = dim Di , ri = dim Ri , i = 1, 2, . . . , заключаем, чтоÌÃÒÓJ Из блочно-диагонального вида матрицы линейного оператора вытекает, что характеристический многочлен χA (λ) линейного оператора A есть произведение характеристических многочленов χAd (λ) и χAr (λ). Оказывается, что многочлен χAd (λ) имеет простой вид: χAd (λ) = (λ1 −λ)m .Действительно, в K1 линейный оператор A не имеет собственных векторов, кроме тех, что отmвечают собственному значению λ1 : если Ax = λj x, то A1 x = (λj − λ1 )x и Am1 x = (λj − λ1 ) x.Это соотношение невозможно в случае x ∈ K и λj 6= λ1 , поскольку в этом случае Am1 x = 0.Поскольку χAd (λ) имеет лишь действительные корни (все его корни являются корнями χA (λ)),а собственных значений, кроме λ1 в K1 нет, то заключаем, что χAd (λ) имеет единственныйкорень максимальной кратности dm .В то же время любой собственный вектор x, отвечающий собственному значению λ1 принадлежит K1 и не попадает в K1c , поскольку равенство Ax = λ1 x означает, что x ∈ Ker A1 ⊂ K1 .Поэтому λ1 не является корнем многочлена χAr (λ).

IТеорема 9.4. Линейное пространство представляет собой прямую сумму корневых подпространств:L = K1 ⊕ K2 ⊕ . . . ⊕ Kk ,J Включение Ki ⊂ Kjc показывает, что можно последовательно выделять корневые подпространства, сужая действие линейного оператора сперва на K1c , затем на подпространство в K1c ,полученное как образ оператора (Ar −λ2 I)m2 и т.д. Учитывая сочетание размерностей корневыхподпространств, приходим к утверждению теоремы. IRkгде Ri — блок порядка σi , для которого выполняется соотношение det(Ri − λE) = (λi − λ)σi .ÔÍ-12Следствие.

Существует базис, в котором матрица линейного оператора A имеет блочнодиагональный видR1..,.ÌÃÒÓгде k — количество собственных значений линейного оператора A.ÔÍ-12Пусть Ki = Ker(A − λi I)mi — корневое подпространство, соответствующее собственномузначению λi 6= λ1 .

Тогда Ki ⊂ K1c . В самом деле, можно рассмотреть два корневых подпространства: подпространство Ki линейного оператора A и корневое подпространство Ki0 линейного оператора Ar , действующего в подпространстве K1c . Очевидно, что второе есть подпространство первого. В то же время и то, и другое имеют одну и ту же размерность, так какразмерность первого совпадает с кратностью корня λi характеристического уравнения χA (λ),а размерность второго — с кратностью того же корня, но для уравнения χAr (λ). Но, как ужедоказано, обе кратности совпадают. Следовательно, оба корневых подпространства совпадают.ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12Теорема 9.3.

Размерность корневого подпространства совпадает с алгебраической кратностью собственного значения, т.е. dm = σ1 .ÌÃÒÓÌÃÒÓгде Ad и Ar — ограничения оператора A на инвариантные подпространства K = Dm и Kc = Rm .Подпространство K1 = Ker Am1 называется корневым подпространством для линейного оператора A, соответствующим собственному значению λ1 .ÌÃÒÓÔÍ-12В соответствии с доказанной теоремой линейное пространство L распадается в прямуюсумму двух инвариантных подпространств. Выбрав базисы в Dm и Rm , получим базис, в котором матрица линейного оператора имеет блочно-диагональный вид[Ad ] 0[A] =,0 [Ar ]ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓ13ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ФОРМА ÌÃÒÓ9.

ЖОРДАНОВА НОРМАЛЬНАЯÌÃÒÓТеорема 9.5. Пусть подпространство H удовлетворяет условию Dk ⊕ H ⊂ Dk+1 . Тогда длялюбого номера s = 1, k подпространство As1 (H) изоморфно подпространству H и удовлетворяетусловию Dk−s ⊕ As1 (H) ⊂ Dk−s+1 (здесь D0 — нулевое подпространство).ÔÍ-12J Во-первых, покажем, что As1 (H) ∩ Dk−s = ∅. Если x ∈ As1 (H) ∩ Dk−s , то x = As1 z, где z ∈ H,z = Ak1 z = 0 и z ∈ Dk . Поэтому z ∈ Dk ∩ H, а так каки A1k−s x = 0.

Следовательно, Ak−s+s1Dk и H составляют прямую сумму, то Dk ∩ H = {0} и z = 0. Значит, x = As1 z = 0. Итак,подпространства As1 (H) и H имеют нулевое пересечение, а следовательно, составляют прямуюсумму.Условие H ⊂ Dk+1 означает, что Ak+11 z = 0 для любого z ∈ H. Следовательно, для вектораk+1lx = As1 z ∈ As1 (H) имеем Ak−s+1x=A11 z = 0, т.е. x ∈ Dk−s+1 . Наконец, изоморфность A1 (H)подпространству H вытекает из того, что ядро Ds линейного оператора As1 не пересекается сH, так как Ds ⊂ Dk и Dk ∩ H = {0}.

IÌÃÒÓв котором диагональные блоки Ji (λ1 ) есть жордановы клетки с диагональным элементом λ1 .Матрица линейного оператора, имеющая блочно-диагональный вид, в котором диагональные блоки представляют собой жордановы клетки, называется жордановой нормальнойформой, или каноническим видом линейного оператора.ÔÍ-12Матрица указанного вида называется жордановой клеткой, а система векторов e1 ,e2 , . . . , em — жордановой цепочкой. В жордановой цепочке первый вектор является собственным, а каждый последующий вектор ei , называемый присоединенным вектором порядка i − 1, есть решение системы A1 ei = ei−1 . Задача — составить базис линейного пространства (точнее, каждого корневого подпространства), состоящий из одной или несколькихжордановых цепочек (включая случай цепочек длины 1).

Тогда матрица линейного операторав рамках одного корневого подпространства будет иметь видJ ( λ1 )...,Js (λ1 )ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓВ силу вышеизложенного мы можем ограничиться действием линейного оператора в одномиз корневых подпространств. Другими словами, мы можем считать, что λ1 — единственныйкорень характеристического уравнения линейного оператора A кратности n и, следовательно,det(A − λ1 I) = (λ1 − λ)n .Как и выше, рассмотрим оператор A1 = A − λ1 I. В силу высказанных предположенийmимеем Am1 = 0 (т.е. нулевой оператор).

Здесь m – наименьший и индекс при котором Ker A1 =m+1iKer A1 . Возвращаемся к последовательности чисел di = dim Ker A1 , связанных соотношениями d1 < d2 < . . . < dm−1 < dm = n. Рассмотрим вектор em ∈ Dm \ Dm−1 , где Di = Ker Ai1 .Он порождает цепочку векторов em−1 = A1 em , em−2 = A1 em−1 , . . . , e1 = A1 e2 . Далее построение невозможно, так как ei = Am−iem , в частности e1 = Am−1em , следовательно, A1 e1 = 0.11Позже будет показано, что эта система линейно независима.