Блюмин А.Г., Федотов А.А., Храпов П.В. - Численные методы

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТим. Н.Э.БауманаКафедра «Высшая математика»Блюмин А.Г., Федотов А.А., Храпов П.В.ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ И РЕШЕНИЯ ЗАДАЧДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХУРАВНЕНИЙМетодические указанияк выполнению лабораторных работпо курсу «Численные методы»Mосква 2008Блюмин А.Г., Федотов А.А., Храпов П.В. Численные методы вычисления интегралов и решения задач для обыкновенных дифференциальных уравнений: Методические указания к выполнению лабораторных работпо курсу «Численные методы». — М.: МГТУ им.

Н.Э.Баумана, 2008. — 74 с.В пособии рассмотрены численные методы вычисления однократных идвойных определенных интегралов и методы решения задач для обыкновенных дифференциальных уравнений: методы решения задачи Коши для одного уравнения и системы уравнений, а также краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка. Изложено правило Рунге практической оценки погрешности, используемое при приближенном вычислении интегралов и интегрировании обыкновенных дифференциальныхуравнений. Приведены варианты индивидуальных заданий к лабораторнымработам.Для студентов 2-ого курса факультетов МТ и РК МГТУ им. Н.Э.

Баумана.c МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2008ОглавлениеПредисловие51. Численные методы вычисления определенного интеграла61.1. Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61.2. Численные методы вычисления интеграла .

. . . . . . . . . . .61.2.1. Квадратурные формулы . . . . . . . . . . . . . . . . . .61.2.2. Формула средних прямоугольников . . . . . . . . . . .81.2.3. Формула трапеций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .101.2.4. Формула Симпсона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .101.2.5. Составные квадратурные формулы . . .

. . . . . . . . .111.2.6. Квадратурные формулы Гаусса . . . . . . . . . . . . . .141.2.7. Правило Рунге практической оценки погрешности . . .181.3. Задание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .212. Приближенное вычисление двойного интеграла262.1. Постановка задачи . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .262.2. Численные методы вычисления двойного интеграла . . . . . .262.2.1. Метод ячеек . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .272.2.2. Последовательное интегрирование с использованиемформулы трапеций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .342.2.3. Последовательное интегрирование с использованиемквадратурных формул Гаусса . . .

. . . . . . . . . . . .362.3. Задание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .383. Задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений423Оглавление3.1. Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .423.2. Численные методы решения задачи Коши . . . . . . . . . . . .433.2.1. Явный метод Эйлера . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .433.2.2. Методы Рунге-Кутта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .493.2.3. Многошаговые методы Адамса . . . . . . . . . . . . . .503.2.4. Правило Рунге практической оценки погрешности . . .533.3. Интегрирование систем обыкновенных дифференциальныхуравнений первого порядка . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .543.4. Задание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .574. Краевая задача для линейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка664.1. Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .664.2. Численные методы решения краевой задачи . . . . . . . . . .664.2.1.

Разностная аппроксимация производных . . . . . . . .664.2.2. Решение задачи методом прогонки . . . . . . . . . . . .684.2.3. Решение задачи методом стрельбы . . . . . . . . . . . .694.3. Задание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .71Литература744ПредисловиеПособие содержит описание лабораторных работ по разделам «Приближенные методы вычисления определенных интегралов» и «Численные методы решения задач для обыкновенных дифференциальных уравнений» дисциплины «Численные методы» общего курса высшей математики.Глава 1 посвящена изучению широко используемых для приближенноговычисления определенных интегралов квадратурных формул средних прямоугольников, трапеций, формулы Симпсона и формул Гаусса. В гл. 2 рассмотрены численные методы вычисления двойных интегралов: метод ячееки метод последовательного интегрирования.

В гл. 3 излагаются приближенные методы решения задачи Коши для обыкновенного дифференциальногоуравнения первого порядка. Изучается метод Эйлера, приводятся расчетныеформулы методов Рунге-Кутта второго и четвертого порядков точности, дается изложение метода Адамса. Обсуждается распространение рассмотренных методов на случай задачи Коши для нормальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. В гл. 4 изучаются приближенные методырешения краевой задачи для линейного обыкновенного дифференциальногоуравнения второго порядка: решение разностной задачи методом прогонки иметодом стрельбы.

Изложено правило Рунге практической оценки погрешности, используемое при приближенном вычислении интегралов и интегрировании обыкновенных дифференциальных уравнений. Приведены вариантыиндивидуальных заданий к лабораторным работам.Список литературы, рекомендуемой для более полного ознакомления срассмотренными в работе вопросами, приводится в конце пособия.Для студентов 2-го курса факультетов МТ и РК МГТУ им. Н.Э. Баумана.Пособие также может быть использовано студентами всех факультетов.5Глава 1Численные методы вычисления определенногоинтегралаЦель работы — изучение численных методов интегрирования и их практическое применение для приближенного вычисления однократных интегралов.Продолжительность работы — 2–4 час.1.1.

Постановка задачиТребуется вычислить приближенно интегралZbI=f (x)dxaгде f (x) — непрерывная на отрезке [a, b] функция.1.2. Численные методы вычисления интеграла1.2.1. Квадратурные формулыВ качестве приближенного значения интеграла I рассматривается числоIn =nXqi · f (xi ),(1.2.1)i=0где f (xi ) — значения функции f (x) в точках x = xi , i = 0, 1, ...n, qi — числовые коэффициенты. Формула (1.2.1) называется квадратурной формулой.Точки xi называются узловыми точками или узлами квадратурной формулы, а числа qi — весовыми коэффициентами или весами квадратурной6Глава 1.

Численные методы вычисления определенного интегралаформулы. РазностьZbRn = I − In =f (x)dx −nXqi · f (xi )i=0aназывается погрешностью квадратурной формулы. Погрешность зависит какот расположения узлов, так и от выбора весовых коэффициентов.Говорят, что квадратурная формула точна для многочленов степени s,если при замене f (x) на произвольный алгебраический многочлен степени невыше s приближенное равенство I ≈ In становится точным.Введем некоторые понятия, которые будут использоваться в дальнейшихрассуждениях.Определение 1. Будем говорить, что функция f (x) принадлежит классуC k [a, b], и писать f ∈ C k [a, b], если функция f (x) определена на отрезке [a, b]и имеет на нем непрерывные производные до порядка k включительно.Определение 2. Пусть ϕ(h) — некоторая функция переменной h с конечнойобластью определения Dϕ на полуоси h > 0, причем h ∈ Dϕ может приниматьсколь угодно малые значения. Тогда, если существуют такие положительныечисла h0 , c, k, что при всех h ∈ Dϕ , удовлетворяющих условию 0 < h 6 h0 ,выполняется неравенство| ϕ(h) |6 c · hk ,то пишутϕ(h) = O(hk )и говорят, что ϕ(h) есть O большое от hk(при h → 0).Согласно данному определению, выполняются следующие очевидные свойства.

Если ϕ(h) = O(hk ), ψ(h) = O(hk ), причем Dϕ = Dψ , тоϕ(h) + ψ(h) = O(hk ),7Глава 1. Численные методы вычисления определенного интегралат.е.O(hk ) + O(hk ) = O(hk ).Если k > m > 0, то O(hk ) в то же время есть O(hm ). Наконец, еслиϕ(h) = O(hk ), то α · ϕ(h) = O(hk ), где α — постоянная, не зависящая от h.Рассмотрим наиболее простые квадратурные формулы.1.2.2. Формула средних прямоугольниковДопустим, что f ∈ C 2 [− h2 , h2 ], h > 0. Положим приближенноZh/2f (x)dx ≈ h · f0 ,I=(1.2.2)−h/2где f0 = f (0). Формула (1.2.2) означает, что площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции f (x), аппроксимируется площадью закрашенного прямоугольника (рис.

1.1,a), высота которого равна значе-ôû é ôнию f0 функции f (x) в средней точке x = 0 отрезка [− h2 , h2 ]. Формула (1.2.2)называется формулой средних прямоугольников.ìvyayf(x)áf(x)f1f0f0-h/20h/2x0Рис. 1.1.8hxГлава 1. Численные методы вычисления определенного интегралаПолучим формулу средних прямоугольников с остаточным членом. ПустьZxF (x) = f (t)dt.00Так как F (0) = 0, F 0 (0) = f0 , F 00 (0) = f0 , F 000 (x) = f 00 (x), то согласно формулеТейлора с остаточным членом в форме Лагранжа, имеемh 0h2 00h3 000hF (± ) = F (0) ± F (0) + F (0) ± F (ξ± )22848илиhhh2 0 h3 00F (± ) = ± f0 + f0 ± f (ξ± ),22848hгде ξ− , ξ+ — некоторые точки, причем − 2 < ξ− < 0 < ξ+ < h2 .(1.2.3)С учетом (1.2.3) получаемhZ2 hh3 f 00 (ξ− ) + f 00 (ξ+ )hf (x)dx = F−F −= h · f0 +·.22242− h2Далее нам понадобится следующая лемма.Лемма.