Числовые и функциональные ряды (Лекции для ИУ), страница 5
Описание файла
Файл "Числовые и функциональные ряды" внутри архива находится в папке "Лекции для ИУ". PDF-файл из архива "Лекции для ИУ", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "кратные интегралы и ряды" из 3 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "лекции и семинары", в предмете "высшая математика (криволинейные и кратные интегралы)" в общих файлах.
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст 5 страницы из PDF
eE POLNOTA SLEDUET IZ TEOREMY dIRIHLE, KOTORU@ MY SFORMULIRUEMNIVE.pRIMER22.pUSTX∞ f (x) ∈ L [−π; π].cos(kx) sin(kx)1√ ; √; √POLNOJ, IMEEM:ππ2πk=1ÔÍ-121f; √2π∞ Xcos(kx)1√ +f; √π2π k=1s^ITAQ SISTEMU TRIGONOMETRI^ESKIH FUNKCIJsin(kx)cos(kx)√+ f; √ππ πZ1 1sin(kx)√≡2 ππf (x)dx+ÔÍ-12Sf (x) =ÌÃÒÓÌÃÒÓ−π∞ n Zπon 1 ZπoX1+f (x) cos(kx)dx cos(kx) +f (x) sin(kx)dx sin(kx).ππk=1−π−πtAKIM OBRAZOM:∞ÌÃÒÓan>01=π1πZπf (x) cos(nx)dx ;−πZπf (x) sin(kx)dx.−πÔÍ-12ÔÍ-12bk>1 =ÌÃÒÓa0 XSf (x) =+ak cos(kx) + bk sin(kx), GDE2k=1pRI \TOM RQD fURXE FUNKCII f (x) PO ISPOLXZOWANNOJ ORTONORMIROWANNOJ SISTEME FUNKCIJ NAZYWA@T TRIGONOMETRI^ESKIM RQDOM fURXE.tEOREMA dIRIHLE.
eSLI NA [−π; π] OPREDELENA OGRANI^ENNAQ FUNKCIQ f (x) TAKAQ, ^TO:1) NA [−π; π] ONA KUSO^NO-NEPRERYWNA, T.E. MOVET IMETX LI[X KONE^NOE ^ISLO TO^EK RAZRYWA I-GOÌÃÒÓÔÍ-1215ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12RODA;2) NA [−π; π] ONA KUSO^NO-MONOTONNA, T.E. [−π; π] MOVNO RAZBITX NA KONE^NOE ^ISLO U^ASTKOW MONOTONNOSTI,TOGDA y = f (x) MOVET BYTX PREDSTAWLENA SUMMOJ SWOEGO TRIGONOMETRI^ESKOGO RQDA fURXE IÌÃÒÓÌÃÒÓα) W KAVDOJ TO^KE NEPRERYWNOSTI FUNKCII f (x) IMEET MESTO RAWENSTWO Sf (x) = f (x);β) W KAVLOJ TO^KE RAZRYWA Sf (x) = {f (x − 0) + f (x + 0)} 2;γ) Sf (−π) = Sf (+π) ≡ {f (−π + 0) + f (π − 0)} 2;δ) NA WSQKOM ^ASTI^NOM OTREZKE NEPRERYWNOSTI f (x) ee TRIGONOMETRI^ESKIJ RQD fURXE SHODITSQRAWNOMERNO..1).
eSLI FUNKCIQ f (x) OPREDELENA NA OTREZKE [−π; π] ⊂ R1 , TO SUMMA Sf (x) EE TRIGONOMETRI^ESKOGO RQDA fURXE OPREDELENA NA WSEJ ^ISLOWOJ OSI I QWLQETSQ PERIODI^ESKOJ FUNKCIEJ. |TOT FAKTISPOLXZU@T DLQ PERIODI^ESKOGO PRODOLVENIQ FUNKCIJ, ZADANNYH NA OTREZKE.)(C1 ; −π < x 6 0UDOWLETWORQET USLOWIQM TEOREMY dIRIHLE3. fUNKCIQ f (x) =C2 ; 0 < x < πI PRI \TOM: 0ZZπZπ11C1 dx + C2 dx = C1 + C2 ;f (x)dx =a0 =ππ−π0−πZ0ZπZπ11ak k>1 =C1 cos(kx)dx + C2 cos(kx)dx ≡ 0 ;f (x) cos(kx)dx =ππ−π−π0 0(0ZZπZπ111bk k>1 =C1 sin(kx)dx + C2 sin(kx)dx =−C1 cos(kx) −f (x) sin(kx)dx = πkππ−π−π0−π πC2 − C1 1{−C1 + C1 cos(πk) − C2 cos(πk) + C2 } =−C2 cos(kx)=1 − cos(πk) .πkπk0tAKIM OBRAZOM IMEEM:∞C1 + C2 2(C1 − C2 ) X sin(2k + 1)xSf (x) =−.2π2k + 1k=1zAME^ANIQ K TEOREME dIRIHLEÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12pRIMER2).
rEALIZACIQ USLOWIJ TEOREMY dIRIHLE OBESPE^IWAET POTO^E^NU@ SHODIMOSTX TRIGONOMETRI^ESKOGO RQDA fURXE. |TI USLOWIQ QWLQ@TSQ DOSTATO^NYMI USLOWIQMI PREDSTAWIMOSTI FUNKCII SUMMOJEE TRIGONOMETRI^ESKOGO RQDA fURXE.14. fUNKCIQ f = √: |x| < π NE UDOWLETWORQET USLOWIQM TEOREMY dIRIHLE, TAK KAK W3xNULE IMEET RAZRYW WTOROGO RODA. nOZπZπZππ√2−2/3−2/31/3 f(x) dx =xdx = 2 xdx = 6x = 6 3 π < ∞ I f (x) ∈ L2 [−π; π].
tAKIM OBRAZOM f (x)0−π0MOVET BYTX PREDSTAWLENA SUMMOJ SWOEGO TRIGONOMETRI^ESKOGO RQDA fURXE I Sf (x) ∼ f (x).ÌÃÒÓ−πÌÃÒÓpRIMERf (x) cos(kx)dx;Zπf (x) sin(kx)dx.−πÔÍ-12−πbk>11=π16ÌÃÒÓÔÍ-12ZπÔÍ-12ak>01=πÌÃÒÓGDEÔÍ-123). pUSTX y = f (x) OPREDELENA NA OTREZKE [−π; π] ⊂ R1 I UDOWLETWORQET NA N<M USLOWIQM TEOREMY∞a0 XdIRIHLE. tOGDA f (x) ∼ Sf (x) I Sf (x) =+ak cos(kx) + bk sin(kx),2k=1ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-123(α)ÔÍ-12ÔÍ-12pRI \TOM,ESLI f (x) – ^ETNAQ FUNKCIQ, T.E.
f (−x) = f (x) ∀ x ∈ [−π; π], TO∞a0 XSf =+ak cos(kx);2k=1ak>02=πZπf (x) cos(kx)dx; bk>1 ≡ 0;0ÌÃÒÓÌÃÒÓ3(β) ESLI f (x) – NE^ETNAQ FUNKCIQ, T.E. f (−x) = −f (x) ∀ x ∈ [−π; π], TOZπ∞X2Sf (x) =f (x) sin(kx)dx ;bk sin(kx); ak>0 ≡ 0; bk>1 =πk=10ÔÍ-12ÔÍ-124. eSLI FUNKCIQ f (x) OPREDELENANA OTREZKE [−l; l]) I UDOWLETWORQET NA N<M USLOWIQM TEOREMY dIRIHLE, TO ZAMENOJ x = lt π PROIZWODIMWZAIMNO-ODNOZNA^NOE OTOBRAVENIE OTREZKA [−l; l] NA OTREZOK[−π; π].
fUNKCIQ ϕ(t) = f (lt π) ≡ f (x) OPREDELENA NA OTREZKE [−π; π] I UDOWLETWORQET NA N<M USLOWIQM TEOREMY dIRIHLE. tAKIM OBZAZOM!!∞∞a0 Xπkxa0 XπkxSϕ (t) =+++ bk sin;ak cos(kt) + bk sin(kt) ⇐⇒ Sf (x) =ak cos22llk=1k=1()πxπZπZlt=; dt = dx11πkxllak>0 =ϕ(t) cos(kt)dt ==dx ;f (x) cosπll(t = ±π) ⇐⇒ (x = ±l)−π−l()πxπZπZlt=; dt = dx11πkxllϕ(t) sin(kt)dt =dx.bk>1 ==f (x) sinπll(t = ±π) ⇐⇒ (x = ±l)−π−lÌÃÒÓpRIMER sin πx ; 0 < x < ll25. pREDPOLOVIM, ^TO FUNKCI@ f (x) =l0;<x<l2ÌÃÒÓpRI \TOM, WSE RANEE POLU^ENNYE REZULXTATY RASPROSTRANQ@TSQ I NA DANNYJ SLU^AJ.NUVNO ”RAZLOVITX WÔÍ-12RQD fURXE PO SINUSAM.”ÔÍ-12f (x) - ISHODNAQx0rIS.31l/2ÌÃÒÓDOLVENIEM ISHODNOJ FUNKCII f (x).−l−l/2ÌÃÒÓfAKTI^ESKI NEOBHODIMO ”RAZLOVITX W RQD fURXE” FUNKCI@ f1 (x), QWLQ@]U@SQ NE^ETNYM PROf1 (x) - TREBUETSQ RAZLOVITXxl/2lrIS.32k=1πkx2f (x) sindx ≡ll0ÔÍ-120Zl/2Zl/2π(k + 1)xπkxπkx1π(k − 1)xsinsindx ≡cos− cosdx.lllll017ÌÃÒÓZlπkx;lÔÍ-122bk =lbk sinÌÃÒÓak = 0, ∀ k > 0 I Sf (x) =∞XÔÍ-12ÔÍ-12w RASSMATRIWAEMOM SLU^AEÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12−l−l/2−3l/23l/2l/2xlrIS.33ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12pRI \TOMÌÃÒÓZl/22πx1cos− 1 dx = −l20 1lπ(k + 1)x l/2lπ(k − 1)x l/211π(k + 1)bk>1 =sinsin≡sin− −l π(k + 1) lπ(k − 1)lπ k+12001π(k − 1)−sink−121b1 =lÔÍ-12Sf (x)ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓπ(k = 2n + 1) =⇒ (bk ≡ 0), T.K.
sin (2n + 1 ± 1) ≡ sin π(n ± 1) ≡ 0;2 π ππ(k = 2n) =⇒ sin (2n ± 1) ≡ sin(πn ± π/2), T.E. sin (2n + 1) = (−1)n ∧ sin (2n − 1) = (−1)n−1 .222tAKIM OBRAZOM114n1· (−1)n −· (−1)n−1 ≡ (−1)n;b2n ≡π 2n + 12n − 1π(4n2 − 1)∞πx X 4n(−1)n2πnx1+sinSf (x) = − sin22lπ(4n − 1)ln=15. pUSTX FUNKCIQ f (x) OPREDELENA I UDOWLETWORQET USLOWIQM TEOREMY dIRIHLE NA OTREZKE44[a, b] ⊂ R. tOGDA C = (a + b)/2 – CENTR, A l = (b − a)/2 – POLURAZMAH OTREZKA [a; b] ⊂ R1 . dALEEPOLAGAEMb−aa+bt+I USTANAWLIWAEM WZAIMNO-ODNOZNA^NOE SOOTWETSTWIE MEVDU OTREZKAMI2π2[a, b] I [−π, π]. tAKIM OBRAZOM, ESLIb−aa+b4ϕ(x) = ft+≡ f (t), TO SOGLASNO ZAME^ANI@ 3 K TEOREME dIRIHLE2π2∞a0 XSϕ (t) =+ak cos(kt) + bk sin(kt);2k=1()Zπ (t = −π) ⇐⇒ (x = a)1a+b2π2πak>0 =ϕ(t) cos(kt)dt = t = x −·; dt =dx=π2b−ab − a (t = π)⇐⇒ (x = b)ÌÃÒÓ−π Zba+b2π2π22πkxf (x) cos k x −f (x) cos··dx ≡dx,2b−ab−ab−ab−aaÌÃÒÓ1=πZbÔÍ-12ÔÍ-12x=aπkxπkx, sinllsOWER[ENNO ANALOGI^NO POKAZYWAEM, ^TOZbf (x) sink>12πkxdx ;b−aa18ÌÃÒÓÔÍ-12bk>12=b−aDOKAZANA NA OTREZKE [C; C + 2l], ∀ C ∈ R1 .ÔÍ-12ÔÍ-121, cosÌÃÒÓMETRI^ESKOJ SISTEMY FUNKCIJÔÍ-12T.K.
(a + b)/2 ≡ C – CENTR INTERWALA, (b − a)/2 ≡ l– EGO POLURAZMAH, A ORTOGONALXNOSTX TRIGONOÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ2πkx2πkxa0ak cos++ bk sin.2b−ab−ak=1)(1 ; 1<x<2. w DANNOM SLU^AE a = 1, b = 5 I l = 2. tAKIM6. pUSTX f (x) =0 ; 2<x<5ÔÍ-12Sf (x) =ÔÍ-12∞XpRIMERSf (x)f (x)OBRAZOMxa0 =ak>1121 2 3 4 5Z5f (x)dx =11=2dx =51;21Z5πkx1f (x) · cosdx ≡221Z2πkx1 2πkx 2 −1πkcosdx = ·sinsin;=22 πk2 1 πk2rIS.34-351ÔÍ-12ÔÍ-12TO ESTX12Z21 2ÌÃÒÓÌÃÒÓ0x(k = 2n) =⇒ (a2n ≡ 0) ,(k = 2n − 1) =⇒ a2n−1 ≡ (−1)n π(2n − 1) .sOWER[ENNO ANALOGI^NO NAHODIMÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓZ5Z21πkx1πkx12πkx 21πkbk>1 =f (x) sin≡sindx = − ·coscos πk − sin== −22222 πk2 1πk21 1πk1(−1)k − sin...=−πk2∞ πkπkx1πk2πkx1 X 1ksinsin+(−1) − sincosSf (x) = −4 k=1 πk22πk22ÌÃÒÓÔÍ-1219ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ.
