Числовые и функциональные ряды (Лекции для ИУ), страница 2
Описание файла
Файл "Числовые и функциональные ряды" внутри архива находится в папке "Лекции для ИУ". PDF-файл из архива "Лекции для ИУ", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "кратные интегралы и ряды" из 3 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "лекции и семинары", в предмете "высшая математика (криволинейные и кратные интегралы)" в общих файлах.
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст 2 страницы из PDF
. , aN +p 6 q p · aN . a TAK KAK aN − const I 0 < q < 1, TORASSMATRIWAEMYJ ^ISLOWOJ RQD {ak }k>1 SHODITSQ PO PRIZNAKU SRAWNENIQ SO SHODQ]EJSQ GEOMETRI^ESKOJ PROGRESSIEJ.(β). eSLI q > 1, aN +p > q p aN I RQD RASHODITSQ PO PRIZNAKU SRAWNENIQ S RASHODQ]EJSQ GEOMETRI^ESKOJ PROGRESSIEJ.an+10. eSLI ∃ lim= q I q < 1, TO RQD {ak }k>1 SHODITSQ; ESLIn→∞ anq > 1, TO RQD RASHODITSQ; ESLI VE q = 1, TO NEOBHODIMY DOPOLNITELXNYE ISSLEDOWANIQ.ÔÍ-124ÌÃÒÓzAME^ANIE K PRIZNAKU DE aLAMBERAÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12 . dOKAZATELXSTWO an+1an+1= 1 ⇐⇒ (∀ ε > 0)(∃ N (ε) > 0) : (n > N (ε)) =⇒ − q < ε ⇐⇒∃ limn→∞ anan⇐⇒ (q − ε < an+1 /an < q + ε).eSLI 0 < q < 1, TO WYBIRAEM ε = (1 − q)/2.
tOGDA an+1 /an < (q + 1)/2 < 1 I RQD {ak }k>1 SHODITSQ POPRIZNAKU DE0 aLAMBERA.eSLI q > 1, TO WYBIRAEM ε = (q − 1)/2. tOGDA an+1 /an > (q + 1)/2 > 1 I RQD {ak }k≥1 RASHODITSQ POPRIZNAKU DE0 aLAMBERA.3n+1 (n + 1)!an+13n+1 · n! · (n + 1)3n · n!⇒a=⇒lim=lim3. an =×n+1n→∞ ann→∞nn(n + 1)n+1(n + 1)n+1n.nn3nn21× n= lim= > 1 I RQD {an }n>1 RASHODITSQ.≡ 3 lim 11+n→∞3 · n! n→∞ (n + 1)nneÌÃÒÓÌÃÒÓpRIMERpRIZNAK kO[I (S√RADIKALOM).neSLI SU]ESTWUET N > 1 TAKOJ, ^TO DLQ L@BOGO n > N IMEET√an 6 q < 1, TO RQD {an }n>1 SHODITSQ, ESLI n an > q > 1, TO ISHODNYJ RQDÔÍ-12ÔÍ-12MESTO NERAWENSTWORASHODITSQ.dOKAZATELXSTWO.
sLEDUET IZ O^EWIDNYH NERAWENSTW: (α) an 6 q n , GDE I q < 1; (β) an > q n , GDEq > 1 I PRIZNAKOW SRAWNENIQ.√(). eSLI ∃ lim n an = q, TO PRI q < 1 RQD {an }n>1n→∞SHODITSQ I RASHODITSQ PRI q > 1.√√dOKAZATELXSTWO. ∃ lim n an = q ⇐⇒ (∀ ε > 0)(∃ N (ε) > 0) : n > N (ε) ⇒ | n an − q| < ε ⇐⇒n→∞n⇐⇒ (q − ε) < an < (q + ε)n – DALXNEJ[EE KAK I PRI DOKAZATELXSTWE ZAME^ANIQ K PRIZNAKUDE0 aLAMBERA.√nnnn√4.
an =a=lim= ∞ I RQD {an }n>1 RASHODITSQ.⇒limnn→∞n→∞(3n + 4)n/23n + 4– RQDY, \LEMENTAMI KOTORYH QWLQ@TSQ WE]ESTWENNYE ^ISLA,IME@]IE L@BOJ ZNAK. eSLI \LEMENTY RQDA POSLEDOWATELXNO IZMENQ@T ZNAK, TO RQD NAZYWA@T ZNAKO^EREDU@]IMSQ.ÌÃÒÓÌÃÒÓzAME^ANIE K PRIZNAKU kO[I S RADIKALOMtEOREMA lEJBNICA. eSLI a1ÔÍ-12ÔÍ-12pRIMERzNAKOPEREMENNYE ^ISLOWYE RQDY> a2 > . . .
> ak > ak+1 > . . . > 0 I lim an = 0, TO ZNAKO^EREDU@]IJSQn→∞^ISLOWOJ RQD {(−1)k+1 ak }k>1 SHODITSQ I EGO SUMMA S < a1 .dOKAZATELXSTWO. S2n =2nX(−1)k ak ≡ (a1 − a2 ) + (a3 − a4 ) + . . . + (a2n−1 − a2n ) > 0, T.K. a2k−1 > a2k .k=1ÌÃÒÓn→∞ÌÃÒÓtAKIM OBRAZOM POSLEDOWATELXNOSTX {S2n } QWLQETSQ ZNAKOPOLOVITELXNOJ I MONOTONNO WOZRASTAET.pRI \TOM S2n ≡ a1 − (a2 − a3 ) − (a4 − a5 ) − .
. . − (a2n−2 − 22n−1 ) − a2n < a1 , T.K. a2k > a2k+1 . tAKIMOBRAZOM ∃ lim S2n = S < a1 .s DRUGOJ STORONY S2n+1 = S2n + a2n+1 I ∃ lim a2n+1 = 0, T.E. ∃ lim S2n+1 = lim S2n = S < a1 .n→∞n→∞pRIMERn→∞(−1)n+15. zNAKO^EREDU@]IJSQ ^ISLOWOJ RQD S OB]IM ^LENOM an =SHODITSQ, T.K.n11lim |an | = lim n1 = 0 I |an | = >= |an+1 |.n→∞n→∞nn+1. zNAKOPEREMENNYJ ^ISLOWOJ RQD {bn }n>1 NAZYWA@T ABSOL@TNO SHODQ]IMSQ, ESLI SHODITSQ ZNAKOPOLOVITELXNOJ ^ISLOWOJ RQD {|bn |}n>1 . pRI \TOM, ESLI RQD {|bn |}n>1 RASHODITSQ, A RQD{bn }n>1 SHODITSQ, TO GOWORQT, ^TO ISHODNYJ ^ISLOWOJ RQD {|bn |}n>1 SHODITSQ ”USLOWNO”.6.(α) zNAKO^EREDU@]IJSQ ^ISLOWOJ RQD S OB]IM ^LENOM an = (−1)n n SHODITSQ ”USLOWNO”, T.K.
ONÔÍ-12ÔÍ-12oPREDELENIEÔÍ-125ÌÃÒÓpRIMERÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12SHODITSQ, A ZNAKOPOLOVITELXNYJ ^ISLOWOJ RQD {1/n}n>1 RASHODITSQ. (β) zNAKO^EREDU@]IJSQ ^ISLOWOJ RQD S OB]IM ^LENOM an = (−1)n n2 SHODITSQ ABSOL@TNO, T.K.SHODITSQ ZNAKOPOLOVITELXNYJ ^ISLOWOJ RQD {1/n2 }n>1 .o STRUKTURE ABSOL@TNO I USLOWNO SHODQ]IHSQ RADOW.pUSTX {ak }k>1 – ZNAKOPEREMENNYJ ^ISLOWOJ RQD.
dALEE RASSMOTRIM ^ISLOWYE RQDY, PREDSTAWLENNYE SWOIMI OB]IMI ^LENAMI:ÌÃÒÓ; an > 0; an < 0; an > 0; an < 0ÌÃÒÓ(I) an ; (II) |an | ;an4 1(III) bn = {|an | + an } ≡0204 1(IV ) cn = {|an | − an } ≡|an |2;.pRI \TOMÌÃÒÓS = 1 − (2/3)2 − (3/5)3 + (4/7)4 + (5/9)5 + . . .
+ (−1)n(n+1)2ÌÃÒÓpRIMER 7.ÔÍ-12ÔÍ-12(A) an = bn − cn I |an | = bn + cn ;(b) bn 6 |an | I cn 6 |an |.eSLI RQD {|an |}n>1 SHODITSQ, TO, PO PRIZNAKU SRAWNENIQ, SOGLASNO (b), SHODQTSQ ZNAKOPOLOVITELXNYE ^ISLOWYE RQDY {bn }n>1 , {cn }n>1 I, SOGLASNO (a), SHODITSQ RQD {an }n>1 KAK IH LINEJNAQKOMBINACIQ. tAKIM OBRAZOM ABSOL@TNO SHODQ]IJSQ ^ISLOWOJ RQD – SHODITSQ.eSLI ODNOWREMENNO SHODQTSQ RQDY {cn }n>1 I {bn }n>1 , TO, SOGLASNO (a), SHODQTSQ I RQDY {an }n>1 I{|an |}n>1 .eSLI RQD {an }n>1 – SHODITSQ, A RQD {|an |}n>1 – RASHODITSQ, TO RQDY {bn }n>1 I {cn }n>1 NE MOGUTSHODITXSQ ODNOWREMENNO, A MOGUT LI[X ODNOWREMENNO RASHODITXSQ.eSLI RQD {bn }n>1 – SHODITSQ, A RQD {an }n>1 – RASHODITSQ ILI NAOBOROT, TO RASHODQTSQ I ^ISLOWYERQDY {an }n>1 I {|an |}n>1 .· (n/(2n − 1))n + .
. . – NEQWLQETSQ ZNAKO^EREDU@]IMSQ I TEOREMU lEJBNICA ISPOLXZOWATX NELXZQ. nOn1= < 1, T.E. ISHODNYJ RQD SHODITSQ ABSOL@TNO.n→∞ 2n − 1n→∞21 11118. S = 1 − + − 2 + . . . + − n + . . . – NARU[AETSQ USLOWIE MONOTONNOSTI5 2 5n 5|an | > |an+1 |, ∀ n > 1, T.E. TEOREMU lEJBNICA ISPOLXZOWATX NELXZQ. nO1^ISLOWOJ RQD S OB]IM ^LENOM a2k−1 =− RASHODITSQ k– ISHODNYJ RQD RASHODITSQ PO TEOREME1^ISLOWOJ RQD S OB]IM ^LENOM a2k = − n − SHODITSQ5O STRUKTURE ABSOL@TNO I USLOWNO SHODQ]IHSQ RQDOW.∃ limpn|an | = limÔÍ-12ÔÍ-12pRIMERÌÃÒÓk k>1I {bk }k>1 – ABSO-ÌÃÒÓtEOREMA 1. lINEJNAQ KOMBINACIQ ABSOL@TNO SHODQ]IHSQ ^ISLOWYH RQDOW {a }L@TNO SHODQ]IJSQ ^ISLOWOJ RQD.dOKAZATELXSTWO SLEDUET IZ O^EWIDNOGO NERAWENSTWA |λ ak + µ bk | 6 |λ| · |ak | + |µ| · |bk | I PRIZNAKASRAWNENIQ.tEOREMA 2.
sUMMA ABSOL@TNO SHODQ]EGOSQ ^ISLOWOGO RQDA NE IZMENITSQ NI PRI KAKOJ PERESTANOWKEÔÍ-12~ISLOWYE RQDY W CoPREDELENIE.ÔÍ-12EGO \LEMENTOW (SUMMA NE ZAWISIT OT SPOSOBA SUMMIROWANIQ).dOKAZATELXSTWO SLEDUET IZ TEOREMY O STRUKTURE ABSOL@TNO I USLOWNO SHODQ]IHSQ RQDOW.pREDELOM KOMPLEKSNOJ ^ISLOWOJ POSLEDOWATELXNOSTI {zk } NAZYWA@T KOMPLEKSNOE^ISLO z I PI[UT lim zk = z, ESLI DLQ L@BOGO ε > 0 SU]ESTWUET N (ε) > 1 TAKOE, ^TO DLQ L@BOGOÔÍ-126ÌÃÒÓk→∞n > N (ε) IMEET MESTO NERAWENSTWO |zn − z| < ε.ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12|xk − x0 ||yk − y0 |6ÌÃÒÓÔÍ-12= xk + iyk , ∀ k > 0.
tOGDA O^EWIDNY NERAWENSTWA:p(xk − x0 )2 + (yk − y0 )2 = |zk − z0 | 6 |xk − x0 | + |yk − y0 |, IZ KOTORYH NEPOSREDSTWENNOWYTEKAET SLEDU@]EE UTWERVDENIE: {∃ lim zk = z0 } ⇐⇒ {∃ lim xn = x0 } ∧ {∃ lim yk = y0 }.→∞n→∞zAME^ANIE 2.ÔÍ-12zAME^ANIE 1. pUSTX zkÌÃÒÓÔÍ-12n→∞eSLI zk = xk + iyk - OB]IJ ^LEN KOMPLEKSNOGO ^ISLOWOGO RQDA {zk }k>1 S ^ASTNOJSUMMOJ Sn = z1 + . .
. + zn , n > 1 I4Snx =nXxk ,Sny=nXk=1ÌÃÒÓÌÃÒÓk=1yk - n-YE ^ASTNYE SUMMY WE]ESTWENNYH^ISLOWYH RQDOW {xk }k>1 I {yk }k>1 SOOTWETSTWENNO, TO Sn = Snx + iSny . pO\TOMU, SOGLASNO ZAME^ANI@1 I OPREDELENI@ SHODQ]EGOSQ ^ISLOWOGO RQDA, MOVNO UTWERVDATX, ^TO KOMPLEKSNYJ ^ISLOWOJ RQD{zk }k>1 SHODITSQ TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA ODNOWREMENNO SHODQTSQ WE]ESTWENNYE ^ISLOWYE RQDY{xk }k>1 I {yk }k>1 .pRIMER 1. kOMPLEKSNYJ ^ISLOWOJ RQD S OB]IM ^LENOM z1kk 3 + ik 3 + 1= 2 +i 3SHODITSQ,23k (k + 1)kk +11T.K.
ODNOWREMENNO SHODQTSQ WE]ESTWENNYE ^ISLOWYE RQDY S OB]IMI ^LENAMI xk = Re zk = 2 Ik1k∼ 2.yk = Im zk = 3k +1k=ÔÍ-12ÔÍ-12kzAME^ANIE 3. tAK KAKÌÃÒÓpRIMERikzk = √ =k2.√kOMPLEKSNYJ^ISLOWOJ(−1)n √2n ; k = 2nSHODITSQ USLOWNO.i(−1)n 2n + 1 ; k = 2n + 1SOB]IMÔÍ-12p|n + i|= lim3.
eSLI zk = (k + i) (2k − i)k , TO ∃ lim n |zn | = limn→∞ |2n − i|n→∞k→∞I RQD {zk }k>1 SHODITSQ ABSOL@TNO.kfunkcionalxnye rqdyoPREDELENIEr^LENOMn2 + 11= <124n + 12ÔÍ-12pRIMERRQDÌÃÒÓ|xk | 6 |zk | 6 |xk | + |yk | ;, TO KOMPLEKSNYJ ^ISLOWOJ RQD {zk }k>1 SHODITSQ|yk | 6 |zk | 6 |xk | + |yk |ABSOL@TNO, T.E.
SHODITSQ ZNAKOPOLOVITELXNYJ ^ISLOWOJ RQD {|zk |}k>1 , TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDAABSOL@TNO SHODQTSQ WE]ESTWENNYE ^ISLOWYE RQDY {xk }k>1 I {yk }k>1 .ÌÃÒÓÌÃÒÓ1. pUSTX ak = ak (x), ∀ k > 1 – SKALQRNAQ FUNKCIQ, OPREDELENNAQ NA NEKOTOROMMNOVESTWE Ω. tOGDA {ak (x)}k>1 - FUNKCIONALXNYJ RQD S OB]IM ^LENOM ak (x), x ∈ Ω. pRI \TOMSOWOKUPNOSTX ZNA^ENIJ ARGUMENTA, PRI KAVDOM IZ KOTORYH SOOTWETSTWU@]IJ ^ISLOWOJ RQD SHODITSQ,NAZYWA@T OBLASTX@ D SHODIMOSTI ISHODNOGO FUNKCIONALXNOGO RQDA.pRIMER1.pUSTX Ω = R1 I OB]IJ ^LEN RASSMATRIWAEMOGO FUNKCIONALXNOGO RQDAak (x) = (x + 1)k k , ∀ k > 1.
eSLI |x + 1| > 1, TO ESTX (x > 0) ∧ (x < −2), TO RASSMATRIWAEMYJ RQD RASHODITSQ PO NEOBHODIMOMU PRIZNAKU; ESLI |x+1| < 1, TO |ak (x)| = |x+1|k k < |x+1|k I RQD {|ak (x)|}k>1SHODITSQ PO PRIZNAKU SRAWNENIQ SO SHODQ]EJSQ GEOMETRI^ESKOJ PROGRESSIEJ, T.E. PRI x ∈ (−2; 0) ISHODNYJ RQD SHODITSQ ABSOL@TNO; ^ISLOWOJ RQD S OB]IM ^LENOM ak (0) = 1/k RASHODITSQ, A ^ISLOWOJRQD S OB]IM ^LENOM ak (−2) = (−1)k /k SHODITSQ USLOWNO.
