Числовые и функциональные ряды (Лекции для ИУ)

ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12~islowye rqdyÌÃÒÓÔÍ-12lekciq 1.oPREDELENIE 1. pARU ^ISLOWYH POSLEDOWATELXNOSTEJ {a }k k>1 , {Sn }n>1 NAZYWA@T ^ISLOWYM RQDOM,ESLI IH \LEMENTY QWLQ@TSQ WE]ESTWENNYMI ^ISLAMI I Sn = a1 + a2 + · · · + an , ∀ n > 1. pRI \TOM akNAZYWA@T k-YM ILI OB]IM ^LENOM RQDA, A Sn – n-OJ ^ASTNOJ SUMMOJ RQDA.1. ~ISLOWOJ RQD {ak }k>1 , {Sn }n>1 ^ASTO NAZYWA@T RQDOM S OB]IM ^LENOM ak ILIzAME^ANIEÌÃÒÓak .k=1pRIMER 1. aoPREDELENIE 2.∞X1ÌÃÒÓPROSTO RQDOM {ak }k>1 , A INOGDA RQDOM∞X1 11+ + ··· + + ···k2 3kk=1~ISLOWOJ RQD {ak }k>1 NAZYWA@T SHODQ]IMSQ, ESLI ∃ lim Sn = S I |S| < ∞. pRIn→∞∞X\TOM ^ISLO S NAZYWA@T SUMMOJ SHODQ]EGOSQ ^ISLOWOGO RQDA {ak }k>1 I PI[UT S =ak .k= 1/k – OB]IJ ^LEN GARMONI^ESKOGO RQDAÔÍ-12n=1k k>14∞X4pRI \TOM, ESLI S =nÔÍ-12zAME^ANIE 2.

~ISLOWOJ RQD {a }zAME^ANIE 3. wELI^INU R = a=1+NAZYWA@T RASHODQ]IMSQ, ESLI @ lim Sn ILI ∃ lim Sn = ±∞.n→∞n+1 + an+2 + . . .n→∞NAZYWA@T n-YM OSTATKOM ^ISLOWOGO RQDA {ak }k>1 .ak – SUMMA ^ISLOWOGO RQDA {ak }k>1 , A ONA MOVET BYTX RAWNOJ ±∞ ILI NEk=1SU]ESTWOWATX, TO S = Sn + Rn . eSLI VE ^ISLOWOJ RQD {ak }k>1 SHODITSQ, TO ∃ lim Sn = S I |S| < ∞,n→∞ÌÃÒÓn→∞n→∞tEOREMAn→∞(nEOBHODIMYJ PRIZNAK SHODIMOSTI).1.∃ lim ak = 0.ÌÃÒÓT.E. ∃ lim Rn = lim (S − Sn ) = S − lim Sn = S − S = 0.eSLI ^ISLOWOJ RQD {ak }k>1 SHODITSQ, TOn→∞dOKAZATELXSTWO.pO USLOWI@ ∃ lim Sn = S I |S| < ∞.n→∞a TAK KAK an = Sn − Sn−1 , TO∃ lim an = lim (Sn − Sn−1 ) = lim Sn − lim Sn−1 = S − S = 0.n→∞n→∞n→∞n→∞ÔÍ-12k= 1/k.

∃ lim ak = 0, T.E. NEOBHO-ÔÍ-12pRIMER 2. rASSMOTRIM GARMONI^ESKIJ RQD S OB]IM ^LENOM an→∞DIMYJ PRIZNAK IMEET MESTO I RQD MOVET SHODITXSQ. rASSMOTRIM ^ASTNU@ SUMMUÌÃÒÓÌÃÒÓ 111 11 1 1 11 1S2n+1 = 1 + + + · · · + n+1 ≡ 1 + ++++ + ++ ···+2 3223 45 6 7 8222nn+111112+++···+>1++++···+=1+.nnnn23n+12 +1 2 +22 +22 2222n+1tAKIM OBRAZOM lim S2n+1 > lim 1 += ∞ I RASSMATRIWAEMYJ RQD RASHODITSQ.n→∞n→∞23. rASSMOTRIM ^ISLOWOJ RQD S OB]IM ^LENOM ak = α0 q k , GDE k > 0, A α0 I q – NENULEWYEKONE^NYE FIKSIROWANNYE ^ISLA. w \TOM SLU^AE IMEEM:(|q| < 1) =⇒ (∃ lim ak = 0) I RQD MOVET SHODITXSQ;pRIMERk→∞(q > +1) =⇒ (∃ lim ak = +∞) I RQD RASHODITSQ;(q 6 −1) =⇒ (@ lim ak ) I RQD RASHODITSQ.eSLI |q| < 1, TO Sn = α0 (1 + q + .

. . + q n ) = α0 (1 − q n+1 )/(1 − q) I, KAK SLEDSTWIE, ∃ lim Sn =n→∞ÔÍ-121α0.1−qÌÃÒÓtAKIM OBRAZOM RASSMATRIWAEMYJ ^ISLOWOJ RQD SHODITSQ.ÔÍ-12ÔÍ-12(q = +1) =⇒ (∃ lim ak = α0 6= 0) I RQD RASHODITSQ;ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12tEOREMA 2.ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12dOKAZATELXSTWO.sOGLASNO USLOWI@ ∃ limn→∞\TOMnXak=Sa I ∃ limn→∞k=1nXbk=Sb .k=1ÔÍ-12eSLI {ak }k>1 I {bk }k>1 – SHODQ]IESQ ^ISLOWYE RQDY, A Sa I Sb – IH SUMMY SOOTWETSTWENNO, TO DLQ L@BYH KONE^NYH λ, µ, ∈ R1 ^ISLOWOJ RQD {λ ak + µ bk }k>1 QWLQETSQ SHODQ]IMSQ I(λSa + µSb ) – EGO SUMMA.pRI|Sa | < ∞ I |Sb | < ∞.tAKIM OBRAZOM, PRI |λ|< ∞ I |µ| < ∞nnnXXX∃ lim(λak +µbk ) = λ limak +µ limbk = λSa +µSb .

a T.K. |λSa +µSb | 6 |λ||Sa |+|µ||Sb | < ∞,ÌÃÒÓn→∞k=1k=1n→∞TO TEOREMA DOKAZANA POLNOSTX@.sLEDSTWIE IZ TEOREMY 2.ÌÃÒÓn→∞k=1lINEJNAQ KOMBINACIQ SHODQ]EGOSQ I RASHODQ]EGOSQ ^ISLOWYH RQDOW –RASHODQ]IJSQ ^ISLOWOJ RQD.ÔÍ-12ÔÍ-12pREDWARITELXNYE RASSUVDENIQ.41. RN = S − SN = aN +1 + aN +2 + . .

. + aN +k + . . ., T.E. N -YJ OSTATOK ^ISLOWOGO RQDA {ak }k>1MOVNO RASSMATRIWATX KAK SUMMU ^ISLOWOGO RQDA S OB]IM ^LENOM aN +k , GDE N – FIKSIROWANNOE CELOEPOLOVITELXNOE ^ISLO. dLQ \TOGO ^ISLOWOGO RQDA {aN +k }k>1 MOVNO RASSMATRIWATX ^ASTNYE SUMMY IOSTATKI.2. pUSTX N - FIKSIROWANO. rASSMOTRIM ^ASTNU@ SUMMU SN +p ≡ SN + (aN +1 + . . . + aN +p ). SN –4ÌÃÒÓÌÃÒÓKONE^NOE ^ISLO, A σpN = (aN +1 + . . .

+ aN +p ) – p-AQ ^ASTNAQ SUMMA ^ISLOWOGO RQDA {aN +k }k>1 , TO ESTXp-AQ ^ASTNAQ SUMMA N -GO OSTATKA ISHODNOGO RQDA. tAKIM OBRAZOM, SN +p = SN + σpN I KONE^NYEPREDELY PRI p → +∞ DLQ SN +p I σpN LIBO ODNOWREMENNO SU]ESTWU@T, LIBO NET. oTS@DA WYTEKAETSLEDU@]AQ TEOREMA.tEOREMA 3.

l@BOJ ^ISLOWOJ RQD SHODITSQ ILI RASHODITSQ ODNOWREMENNO S L@BYM SWOIM OSTATKOM.sLEDSTWIE IZ TEOREMY 3. pUSTX ^ISLOWOJ RQD {b } POLU^EN IZ ^ISLOWOGO RQDA {a } PUTEMj j>1k k>1ÔÍ-12ÔÍ-12(α) ZAMENY W NEM KONE^NOGO ^ISLA \LEMENTOW NOWYMI;(β) OTBRASYWANIQ ILI PRIPISYWANIQ KONE^NOGO ^ISLA \LEMENTOW;(γ) PERESTANOWKI W NEM KONE^NOGO ^ISLA \LEMENTOW.w \TOM SLU^AE ^ISLOWYE RQDY {bj }j>1 I {ak }k>1 SHODQTSQ ILI RASHODQTSQ ODNOWREMENNO.zNAKOPOLOVITELXNYE ^ISLOWYE RQDYÌÃÒÓÌÃÒÓeSLI ak > 0; ∀ k > 1, TO Sn = Sn−1 + an > Sn−1 I POSLEDOWATELXNOSTX ^ASTNYH SUMM ZNAKOPOLOVITELXNOGO ^ISLOWOGO RQDA {ak }k>1 QWLQETSQ MONOTONNO WOZRASTA@]EJ.

a TAK KAK MONOTONNOWOZRASTA@]AQ ^ISLOWAQ POSLEDOWATELXNOSTX MOVET IMETX KONE^NYJ PREDEL LI[X W SLU^AE SWOEJ OGRANI^ENNOSTI, TO IMEET MESTO SLEDU@]AQ TEOREMA.tEOREMA 1.zNAKOPOLOVITELXNYJ ^ISLOWOJ RQD SHODITSQ TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA MONOTONNOWOZRASTA@]AQ POSLEDOWATELXNOSTX EGO ^ASTNYH SUMM OGRANI^ENA SWERHU.iNTEGRALXNYJ PRIZNAK kO[IÔÍ-12ISHODNYJ RQD SHODITSQ ILI RASHODITSQ ODNOWREMENNO S NESOBSTWENNYM INTEGRALOMZ∞f (x)dx.NÌÃÒÓÔÍ-122ÔÍ-12.

eSLI, NA^INAQ S NEKOTOROGO NOMERA N , ^LENY ZNAKOPOLOVITELXNOGO ^ISLOWOGO RQDA {ak }k>1 MOGUT BYTX PREDSTAWLENY KAK ZNA^ENIQ NEKOTOROJ NEPRERYWNOJ, POLOVITELXNOJ, MONOTONNO UBYWA@]EJ FUNKCII f (x) : ak = f (k); ∀ k > N , TOÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12aNaN +1aN +2aN +kÌÃÒÓÔÍ-12f (x)xNN +1 N +2rIS.30N +k4kσN+1 =NZ+kk−1f (x)dx < aN + σN+1 ≡ aN + aN +1 + . . . + aN +k−1 ,aN +1 + .

. . + aN +k <NmGDE σN+1 - m-AQ ^ASTNAQ SUMMA OSTATKA RN +1 ISHODNOGO RQDA.k(α). pUSTX RASSMATRIWAEMYJ INTEGRAL SHODITSQ. tOGDA σN+1 <Z∞NZ+k(β). pUSTX RASSMATRIWAEMYJ INTEGRAL RASHODITSQ. nO TOGDA IZ NERAWENSTWANNZ+kÔÍ-12NÔÍ-12f (x)dx < ∞, ∀ k > 1f (x)dx <I, SOGLASNO TEOREME 1 I TEOREME OB OSTATKAH, ISHODNYJ RQD SHODITSQ.ÌÃÒÓÌÃÒÓdOKAZATELXSTWO. pUSTX WYPOLNENY USLOWIQ TEOREMY. tOGDA IZ SWOJSTW PLO]ADEJ OB_EMLEMYHI OB_EML@]IH PLOSKIH FIGUR SLEDUET (SM. RIS.

30):kf (x)dx < aN +σN+1 ,NÌÃÒÓÌÃÒÓSPRAWEDLIWOGO ∀ k > 1 SLEDUET MONOTONNOE NEOGRANI^ENNOE WOZRASTANIE ZNAKOPOLOVITELXNOJ ^ISLOkWOJ POSLEDOWATELXNOSTI {σN+1 }k>1 , T.E. RASHODIMOSTX OSTATKA RN +1 I, KAK SLEDSTWIE (SM. TEOREMUOB OSTATKAH), RASHODIMOSTX ISHODNOGO RQDA.(γ). pUSTX SHODITSQ ISHODNYJ ^ISLOWOJ RQD. tOGDA ODNOWREMENNO S NIM SHODQTSQ I WSE EGO OSTATKI,NZ+kk−1k−1T.E. aN + σN +1 6 b < ∞, I, KAK SLEDSTWIE, IME@T MESTO NERAWENSTWAf (x)dx < aN + σN+1 < b < ∞,NIZ KOTORYH I SLEDUET SHODIMOSTX RASSMATRIWAEMOGO NESOBSTWENNOGO INTEGRALA.ÔÍ-12ÔÍ-12k(δ).

pUSTX ISHODNYJ ^ISLOWOJ RQD RASHODITSQ. tOGDA σN+1 → ∞ PRI k → ∞ I IZ NERAWENSTWANZ+kkσNf (x)dx SLEDUET RASHODIMOSTX RASSMATRIWAEMOGO NESOBSTWENNOGO INTEGRALA.+1 <NpRIMER1, ∀ k > 1. pRI λ = 1 IMEEM RASHODQ]IJSQ GARMONI^ESKIJ RQD,kλA PRI λ 6 0 ^ISLOWOJ RQD {ak }k>1 RASHODITSQ PO NEOBHODIMOMU PRIZNAKU. rASSMOTRIM SLU^AJ(λ > 0) ∧ (λ 6= 1):Z∞dxx1−λ ∞= – SHODITSQ PRI λ > 1 I RASHODITSQ PRI 0 < λ < 1.xλ1−λ 11 1tAKIM OBRAZOM ZNAKOPOLOVITELXNYJ ^ISLOWOJ RQDSHODITSQ PRI λ > 1 I RASHODITSQ PRIk λ k>1λ 6 1.12. pUSTX ak =, GDE k > 2.

w \TOM SLU^AEk(ln k)µZ∞Z∞no Z∞ dydxd ln x== y = ln x =.x(ln x)µ(ln x)µyµ22ln 21tAKIM OBRAZOM (SM. PRIMER 1) ZNAKOPOLOVITELXNYJ ^ISLOWOJ RQDSHODITSQ PRIk(ln k)µ k>2ÌÃÒÓÌÃÒÓ1. pUSTX ak =ÔÍ-12ÔÍ-12pRIMERÌÃÒÓÔÍ-123ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12µ > 1 I RASHODITSQ PRI µ 6 1.. pUSTX {an }n>1 I {bn }n>1 – DWA ZNAKOPOLOVITELXNYH ^ISLOWYH RQDA I∃ N > 1 : ∀ n > N an > bn . w \TOM SLU^AE IZ SHODIMOSTI RQDA {an }n>1 SLEDUET SHODIMOSTXRQDA {bn }n>1 , A IZ RASHODIMOSTI RQDA {bn }n>1 SLEDUET RASHODIMOSTX RQDA {an }n>1 .N +pN +pXXdOKAZATELXSTWO. pO USLOWI@ ∀ p > 1 IMEEMak >bk .ÔÍ-12k=NÔÍ-12pRIZNAK SRAWNENIQk=NÌÃÒÓN +pXXk=Nbk 6ak <k=N∞Xk=N< ∞.ÌÃÒÓα).

eSLI ZNAKOPOLOVITELXNYJ ^ISLOWOJ RQD {an }n>1 – SHODITSQ, TON +ptAKIM OBRAZOM, POSLEDOWATELXNOSTX ^ASTNYH SUMM DLQ ZNAKOPOLOVITELXNOGO ^ISLOWOGO RQDA {bk }n>1 ,MONOTONNO WOZRASTAQ, OGRANI^ENA SWERHU, T.E. ONA IMEET KONE^NYJ PREDEL I RQD {bk }k>1 – SHODITSQ.N +pβ). eSLI RQD {bn }n>1 RASHODITSQ, TOXk=NN +pak >Xbk → ∞ I RQD {an }n>1 – RASHODITSQ.k=NpRIMERÔÍ-12ÔÍ-12 11121. bn = 2 sin n 6 2 = an . rQD {an }n>1 SHODITSQ KAK RQDPRI λ = 2 > 1, T.E.nnk λ k>1I RQD {bn }n>1 SHODITSQ.an. eSLI ∃ lim= q ∈ (0; ∞), TO RQDY {an }n>1 I {bn }n>1n→∞ bnSHODQTSQ ILI RASHODQTSQ ODNOWREMENNO.dOKAZATELXSTWO. kAK IZWESTNO IH KURSA MATEMATI^ESKOGO ANALIZAan= q ∈ (0; ∞) ⇐⇒ (∀ ε > 0)(∃ N (ε) > 0) : (n > N (ε) =⇒ |an /bn − q| < ε .

pOLAGAEM∃ limn→∞ bnε = q/2. tOGDA ∀ n > N (q/2) IMEEM: an q3qqaa<1,5qb(∗)nnn − q < bn 2 ⇐⇒ 2 < bn < 2 ⇐⇒ an > 0, 5q bn (∗∗) T.E.SOGLASNO (*) IZ SHODIMOSTI RQDA {bn }n>1 SLEDUET SHODIMOSTX RQDA {an }n>1 , A IZ RASHODIMOSTI RQDA{an }n>1 SLEDUET RASHODIMOSTX RQDA {bn }n>1 ;ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓzAME^ANIE K PRIZNAKU SRAWNENIQSOGLASNO (**) IZ SHODIMOSTI RQDA {an }n>1 SLEDUET SHODIMOSTX RQDA {bn }n>1 , A IZ RASHODIMOSTI RQDA{bn }n>1 SLEDUET RASHODIMOSTX RQDA {an }n>1 .pRIMER112.

rQD S OB]IM ^LENOM an = 1 − cos= 2n sin2 RASHODITSQ, T.K. RQD S OB]IMnn122 1^LENOM bn =RASHODITSQ I lim an /bn = lim 2n sin= 2 ∈ (0; ∞).n→∞n→∞nn0. eSLI SU]ESTWUET N > 1 I DLQ L@BOGO n > N IMEET MESTO NERAWENSTWO an+1 /an 6 q < 1, TO ZNAKOPOLOVITELXNYJ ^ISLOWOJ RQD {ak }k>1 SHODITSQ I RASHODITSQ, ESLIan+1 /an > q > 1.dOKAZATELXSTWO.ÌÃÒÓÌÃÒÓpRIZNAK DE aLAMBERAÔÍ-12ÔÍ-12(α).eSLI ∀ n > N> 1 IMEET MESTO NERAWENSTWO an+1 /an 6 q < 1, TOaN +1 6 q aN , aN +2 6 q aN +1 6 q 2 aN , . .