Соболев С.К. - Двойные интегралы

AKF3.RUМосковский государственный технический университетим. Н. Э. Баумана.Соболев С.К.Двойные интегралы.Методические указания к решению задачМоскваМГТУ им. Баумана2008AKF3.RUС.К. Соболев. Двойные интегралы2ПредисловиеОбычный определенный интеграл от функции одной переменной хорошо знакомстудентам первого курса и имеет многочисленные приложения в различных отрасляхзнаний. Однако, существует иного задач в геометрии, физике, экономике, для которыхнедостаточно обычного определенного интеграла – интеграла по одномерномукоординатному отрезку.

Таковы, например, задачи о вычислении площади поверхности(не являющейся поверхностью вращения), объема тела в общем случае, массы пластинкиили тела переменной плотности. Для решения этих задач нужно уметь интегрировать поплоской или даже пространственной области. Такие интегралы называются двойными итройными соответственно.В данном пособии приводятся все необходимые теоретические сведения о двойныхинтегралах, подробно рассказывается о методах вычисления двойных интегралах и ихприложениях, разобраны иллюстрирующие примеры.Пособие будет полезно студентам экономических и технических специальностей.1. Понятие двойного интеграла1. 1. Определение и интерпретация двойного интеграла.Пусть D – некоторая замкнутая(1) ограниченная(2) плоская область, т.е.

множествоD ⊂ R 2 , содержащее свою границу и находящееся внутри некоторого квадрата или кругаконечного размера, и пусть функция двух переменных f ( x, y ) определена во всех точкахобласти D. Диаметром множества D назовем наибольшее расстояние между его точками:d ( D ) = max{ AB : A, B ∈ D} .defПредставим область D в виде объединения конечного числа частей, не пересекающихсямежду собой или пересекающихся разве что лишь по общей границе (если она есть):nD = D1 ∪ D2 ∪ ... ∪ Dn = ∪ Di , и обозначим площадь i-ой части через ∆Si = S ( Di ) .

Пустьi =1λ – мелкость полученного разбиения:λ = max d ( Di ) . Выберем в каждой части Di по1≤ i ≤ nточкеM i ( xi , yi )YD(см. Рис. 1) и составимD2 D1nинтегральную сумму.∑ f ( xi , yi ) ⋅ ∆Si .ЕслиD3i =1существует конечный предел этих интегральныхсумм при λ → 0 , не зависящий от способаразбиения области D и выбора точек M i , то этотпредел называется двойным интегралом отфункции f ( x, y ) по области D, и обозначается:n∑ f ( xi , yi ) ⋅∆Si∫∫ f ( x, y )dxdy = λlim→0i =1DDiyixiРис. 1MiXAKF3.RUС.К. Соболев.

Двойные интегралы3Экономическая интерпретация двойного интеграла.Пусть D –область посевов некоторой сельскохозяйственные культуры, и пусть вкаждой точке M ( x, y ) ∈ D известна урожайность q( x, y ) этой культуры (например, понаблюдениям из космоса). Тогда величина Q = ∫∫ q( x, y )dxdy есть количество урожая,Dкоторое можно собрать с области D при отсутствии потерь.1. 2. Свойства двойных интегралов.(а) Линейность.∫∫ (α ⋅ f ( x, y ) + β ⋅ g ( x, y ) ) dxdy = α ⋅ ∫∫ f ( x, y )dxdy + β ⋅ ∫∫ g ( x, y )dxdy ;DDD(Имеется в виду, что если существуют оба интеграла в правой части, то существуетинтеграл и в левой части).(б) Аддитивность. Если область D есть объединение областей D1 и D2, пересекающихсятолько по своей общей границе (см.

Рис. 2), то∫∫f ( x, y )dxdy = ∫∫ f ( x, y )dxdy + ∫∫ f ( x, y )dxdy ;D1 ∪ D2D1YD2(Аналогично, если существуют оба интеграла в правойчасти, то существует интеграл и в левой части).(в) Интеграл от константы: Двойной интеграл отконстанты по области D равен произведению этойконстанты на площадь области D:∫∫ Cdxdy = C ⋅ S ( D) , если C = const ;D2D1ODXРис.

2( S ( D ) – площадь области D).(г) Переход к неравенству:Если для всех точек M ( x, y ) ∈ D верно неравенствоf ( x, y ) ≤ g ( x, y ) , то∫∫ f ( x, y )dxdy ≤ ∫∫ g ( x, y )dxdy ;DD(д) Теорема об оценке:Если числа т1 и т2 таковы, что для всех точек M ( x, y ) ∈ D верны неравенстваm1 ≤ f ( x, y ) ≤ m2 , тоm1 ⋅ S ( D ) ≤ ∫∫ f ( x, y )dxdy ≤ m2 ⋅ S ( D ) ;DОпределение. Средним значением функции f ( x, y) на множестве D называется числоfˆ = 1f ( x, y )dxdy .Ddef S ( D )∫∫D(ж) Теорема о среднем.

Если множество D замкнуто(1), ограниченно(2) и связно(3), афункция f ( x, y ) непрерывна(4) на множестве D, то найдется точка M 0 ( x0 ; y0 ) ∈ D такая,что fˆ = f ( M ) , т.е. такая, чтоf ( x, y )dxdy = f ( M ) ⋅ S ( D ) .D0∫∫D0AKF3.RUС.К. Соболев. Двойные интегралы42. Вычисление двойного интеграла2.1. Повторный интеграл.Повторным интегралом называется выражение видаbh( x )b h( x )dxf(x,y)dy=f(x,y)dy dx ,∫ ∫∫ ∫ag(x)a  g(x)Повторный интеграл вычисляется справа налево, т.е.

сначала находится интегралh( x )∫f ( x, y )dy = F ( x ) , в котором х является параметром, т.е. постоянной, а затемg( x)bвычисляется интеграл∫ F ( x )dx .aАналогично вычисляется и повторный интеграл видаdψ ( y)d ψ ( y)dyf(x,y)dx=f(x,y)dx dy .∫ ∫∫ ∫ϕ ( y)cc  ϕ ( y)2Пример 1. Вычислить повторный интегралy +2∫ dy∫01( y 2 + 2 x )dx .Решение. Сначала находим внутренний, т.е. правый интеграл (в которомy = const ):y +2∫( y 2 + 2 x )dx = ( y 2 x + x 2 )1∫ dy∫01= y 2 ( y + 2) + ( y + 2)2 − y 2 − 1 = y 3 + 3 y 2 + 4 y + 3 = F ( y ).x =1y +22Следовательно,x= y+222( y 2 + 2 x )dx = ∫ F ( y )dy == ( 14 y 4 + y 3 + 2 y 2 + 3 y )0∫( y3+ 3 y 2 + 4 y + 3 ) dy =0y =2= 4 + 8 + 8 + 6 − 0 = 26.y =02.2.

Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах.(а) Пусть область D задается неравенствами (см. Рис. 3):a ≤ x ≤ b, yнижн ( x ) ≤ y ≤ yверхн ( x ) ,(1)где функции yнижн ( x ) и yверхн ( x ) непрерывны на отрезке [a; b] , и функция f ( x, y )непрерывна в области D. Тогда двойной интеграл от функции f ( x, y ) по области Dy = yверхн ( x )YYdDx = xлев ( y )y = yнижн ( x )Oax = xправ ( y )сbРис. 3DXOXРис. 4AKF3.RUС.К.

Соболев. Двойные интегралы5вычисляется в виде повторного интеграла:yверхн ( x )b∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫ dx ∫D(2)f ( x, y )dyyнижн ( x )a(б) Пусть область D задается неравенствами:c ≤ y ≤ d , xлев ( y ) ≤ x ≤ xправ ( y )(3)(см. Рис. 4). Тогда двойной интеграл по области D от функции f ( x, y ) вычисляется ввиде повторного интеграла:xправ ( y )d∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫ dy ∫Df ( x, y )dx .(4)xлев ( y )cЗамечание 1.

Если область D нельзя задать в виде неравенств (1) или (3), то её разбивают надве или несколько частей D1 , D2 , ... , каждуюизкоторыхможнозадатьтакимиYϕ=βнеравенствами. И тогда двойной интеграл пообласти D есть сумма интегралов поr = Rвнешн (ϕ )областям D1 , D2 , ... .yDЗамечание 2. Если при вычислении двойногоинтеграла в виде повторного по формуле (2)переходят к вычислению в виде повторногоϕ =αr = Rвнутр (ϕ )по формуле (4) (или наоборот), то говорят,что в двойном интеграле изменяетсяXOпорядок интегрирования.Рис.

52.3. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах.Пусть в полярных координатах(5)α ≤ ϕ ≤ β , Rвнутр (ϕ ) ≤ r ≤ Rвнешн (ϕ ) .областьDзадаетсянеравенствами:(см. Рис. 5), где функции Rвнутр (ϕ ) и Rвнешн (ϕ ) непрерывны на отрезке [α ; β ] . Тогдадвойной интеграл по области D от функции f ( x, y ) вычисляется в виде повторногоинтеграла:βf ( x, y )dxdy = ∫ dϕ∫∫αDRвнешн (ϕ )∫f ( r cos ϕ , r sin ϕ ) ⋅ r ⋅ drRвнутр (ϕ )Обращаем внимание на дополнительный множитель r во втором (правом) интеграле.Это якобиан(6), который всегда появляется в двойном интеграле при переходе к другимкоординатам.

В полярных координатах якобиан равен r.Пример 2. В повторном интеграле:31 x232∫ dx ∫0− 2x− xf ( x, y )dy +24− x 2∫ dx ∫3− 2x−xf ( x, y )dy(5)2изменить порядок интегрирования и перейти в нем к полярным координатам.Решение. Данный повторный интеграл (точнее, сумма двух повторных) представляетсобой двойной интеграл от функции f ( x, y ) по области D , являющейся объединениемAKF3.RUС.К. Соболев. Двойные интегралы6двух областей: области D1 , заданной неравенствами: 0 ≤ x ≤3, − 2 x − x 2 ≤ y ≤ 13 x 2 ,и области D2 , заданной неравенствами: 3 ≤ x ≤ 2, − 2 x − x 2 ≤ y ≤Нарисуем границы области D (см.

Рис. 7):(1) y = 13 x 2 ⇔ 3 y = x 2 (парабола),{4 − x 2 (см. Рис. 6).{y≥0y≥0– верхняя часть окружности радиуса R = 22 ⇔y = 4− xx2 + y2 = 4с центром в точке в начале координат;y≤0y≤0(3) y = − 2 x − x 2 ⇔ 2– нижняя половина окружности2 ⇔y = 2x − x( x − 1)2 + y 2 = 1радиуса R = 1 с центром в точке A(1; 0 ) .(2) y =4 − x2 ⇔2{{YY3y = x 2y = 13 x 21y=032x2 + y 2 = 414 − x20XXАBeD–1–1( x − 1) 2 + y 2 = 1y = − 2 x − x2Рис. 6Рис. 7Теперь каждую границу этой областизададим уравнением, в которомпеременная х будет выражена через у:(а) 3 y = x 2 , x ≥ 0 ⇔ x = 3 y ;Y1 x=(б) ( x − 1)2 + y 2 = 1 ⇔ x = 1 ± 1 − y 2 ;(в) x 2 + y 2 = 4, x > 0 ⇔ x = 4 − y 2 .0BeЛевая граница области D составная:D32она состоит из четверти окружности иx = 1− 1− y–1дуги параболы, правая граница такжесоставная: состоит из двух дугРис.8окружностей.

Поэтому область Dпредставим в виде объединения областей D3 и D4 (см. Рис. 8: −1 ≤ y ≤ 0, 0 ≤ y ≤ 1,D3 : D4 : 2221 − 1 − y ≤ x ≤ 1 + 1 + y ; 3y ≤ x ≤ 4 − y .Изменим в двойном интеграле порядок интегрирования:01+ 1+ y 2∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫∫ f ( x, y )dxdy + ∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫ dy ∫DD3D4−11− 1− y 2x=3yD41f ( x, y )dx + ∫ dy04 − y2Xx = 1 + 1 − y24− y2∫3yf ( x, y )dx .AKF3.RUС.К. Соболев. Двойные интегралы7Теперь перейдем к полярным координатам. Выразим уравнения всех границ в полярныхкоординатах:Y(а) x 2 + y 2 = 4 ⇔ r = 2;πr = 3sin2ϕϕ=cos ϕ(б) ( x − 1) 2 + y 2 = 1 ⇔ x 2 + y 2 = 2 x ⇔ r = 2 cos ϕ ;6B13sinϕr=2(в) 3 y = x 2 ⇔ 3r sin ϕ = r 2 cos 2 ϕ ⇔ r =.2cos ϕD4Крайняя верхняя точка В области D имеет0XBeкоординаты B(1; 3) , поэтому луч ОВ образует сD31 πосью ОХ угол arctg= .

Область опять удобноr = 2cos ϕ3 6представить в виде объединения тех же областей D3Рис. 9и D4, которые в полярных координатах задаютсянеравенствами (см. Рис. 9): 0≤ϕ ≤π, − π ≤ ϕ ≤ 0,6D3 :  2D4 :  3sin ϕ≤ r ≤ 2. 0 ≤ r ≤ 2 cos ϕ ;2 cos ϕСледовательно, наш двойной интеграл в полярных координатах выглядит так:∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫∫ f ( x, y )dxdy + ∫∫ f ( x, y )dxdy =DD3∫π−π2cosϕ0=D4∫dϕ26f ( r cos ϕ , r sin ϕ ) ⋅ r ⋅ dr + ∫ dϕ0∫f ( r cos ϕ , r sin ϕ ) ⋅ r ⋅ dr.(6)3sin ϕcos2 ϕ02Пример 3. Вычислить двойной интеграл∫∫ x y dxdy по областиY2D0D: x 2 + y 2 ≤ 2 x , y ≤ 0(а) в декартовых координатах;(б) в полярных координатах.BeD3y = − 2 x − x2Xr = 2cos ϕРешение.