Белов В.Н., Неклюдов А.В., Титов К.В. - Поверхностные интегралы, страница 3

. . , n,площади которых равны ΔSk соответственно. На каждой элементарной поверхности выберем точку Mk (cм. рис. 1) и вектор еди~k = ΔSk ~n(Mk ). Рассмотрим интегральнуюничной нормали ΔSсумму для описанного разбиения T :S(F~ , T ) =nX~k ) =(F~ (Mk ), ΔSk=1nX(F~ (Mk ), ~n(Mk ))ΔSk ,(7)k=1где под знаком суммы стоит скалярное произведение векторов.Предел интегральных сумм S(F~ , T ) при стремлении диаметра разбиения dT к нулю, если он существует и не зависитот способа разбиения поверхности σ и выбора точек Mk , называютповерхностным интегралом 2-го рода и обозначаютZZF~ d~σ = lim S(F~ , T ).σd(T )→0Такую запись поверхностного интеграла 2-го рода называютвекторной.Теорема.

Пусть векторное поле F~ непрерывно на ZкусочноZF~ d~σгладкой ориентированной поверхности σ. Тогда интегралσсуществует.Ниже будем рассматривать только непрерывные векторныеполя.Учитывая, что для единичной нормали ~n = (cos α, cos β, cos γ),из определения поверхностного интеграла 2-го рода (см. такжеформулу (7)) непосредственно следует его связь с поверхностныминтегралом 1-го рода:ZZZZZZF~ d~σ =(F~ , ~n)dσ =(P cos α + Q cos β + R cos γ)dσ.σ18σσ(8)Если векторное поле F~ трактовать как поле скоростей жидкости (газа), то каждое слагаемое (F~ (Mk ), ~n(Mk ))ΔSk = |F~ (Mk )| ×× cos(F~ , ~n) ∙ ΔSk интегральной суммы (6) может быть интерпретировано как количество жидкости (газа), протекающее через площадку Δσk в направленииединичной нормали ~n в единицу времеZZ~ни. Тогда интегралF d~σ определяет общее количество жидкоσсти (газа), протекающее в единицу времени через всю поверхностьσ.

Поэтому поверхностный интеграл 2-го рода называют также потоком П векторного поля F~ через поверхность σ. Переход к другойстороне поверхности меняет направление нормали к поверхностии меняет знак поверхностного интеграла 2-го рода.Вычисление поверхностного интеграла 2-го рода может бытьсведено к вычислению двойных интегралов.

Используя свойстволинейности поверхностного интеграла 1-го рода, формулу (8) можно продолжить следующим образом:ZZ(P cos α + Q cos β + R cos γ)dσ =σ=ZZσP cos αdσ+ZZσQ cos βdσ +ZZR cos γdσ. (9)σЗамечание. J Величина cos αdσ из подынтегрального выражения (9) имеет простой геометрический смысл. Пусть dσ —площадь элементарной площадки на поверхности σ, тогда произведение cos αdσ равно площади проекции этой площадки наплоскость Oyz, если cos α > 0, и отличается от площади проекции знаком, если cos α < 0. Точно так же произведения cos βdσи cos γdσ с точностью до знака совпадают с площадями проекцийэлементарной площадки на плоскости Oxz и Oxy соответственно.Поскольку в разделе 1 при переходе от поверхностного интеграла1-го рода к двойному интегралу не приведены подробные комментарии, уточним, что сутью приведенных ниже выкладок являетсякак раз применение соотношения dσ = dxdy/cos γ.

IКаждый из поверхностных интегралов 1-го рода правой части формулы (9) может быть вычислен с помощью двойного19интеграла (см. формулы (1) — (3)). Для этого необходимо спроецировать поверхность σ на одну из координатных ZплоскостейOyz,ZR cos γdσ изOxz, Oxy. Покажем, что вычисление интегралаσправой части формулы (9) рациональней осуществить проецированием поверхностиσ на плоскость Oxy. В самом деле, еслиZZcos γ = 0, тоR cos γdσ = 0 как интеграл от нулевой функ-σции. Пусть cos γ — знакопостоянная функция на поверхности σ,т. е. cos γ > 0 во всех точках σ или cos γ < 0 во всех точках σ.Это означает, что поверхность σ однозначно проецируется наплоскость Oxy, причем проекцией σ является плоская областьDxy , а поверхность σ можно задать уравнением вида z = z(x, y),где (x, y) ∈ Dxy .

В таком случае нормаль ~n0 к поверхности σпредставима в виде ~n0 = (∂z/∂x, ∂z/∂y, 1), причем для единичной нормали ~n = ~n0 /|~n0 |. Пусть частные производные ∂z/∂x и∂z/∂y непрерывны. Если cos γ = cos γ(x, y, z(x, y)) > 0 (т. е. угол,образованный единичной нормалью ~n к поверхности σ с положительным направлением оси Oz острый), то в данном случаеcos γ(x,q y, z(x, y)) = (~n0 , ~к )/|~n0 | = 1/|~n0 | =1 + (∂z(x, y)/∂x)2 + (∂z(x, y)/∂y)2 , что позволяет формуZZлу (1) преобразовать к видуf (x, y, z)dσ == 1/σZZq= f (x, y, z(x, y)) 1 + (∂z(x, y)/∂x)2 + (∂z(x, y)/∂y)2 dxdy =Dxy=ZZDxyf (x, y, z(x, y))dxdy.cos γ(x, y, z(x, y))Из последней формулы получим требуемое:=ZZDxy20ZZσR cos γdσ =dxdyR(x, y, z(x, y)) cos γ(x, y, z(x, y))=cos γ(x, y, z(x, y))=ZZR(x, y, z(x, y))dxdy.DxyЕсли же cos γ < 0 во всех точках поверхности σ, то уголмеждуσ с осью Oz тупой и поэтоZZ Z нормалью ~n к ZповерхностиR cos γdσ = −R(x, y, z(x, y))dxdy.муσDxyВсе триZприведенныевыше равенстваZ Zможно записать однойZформулой:R cos γdσ = sign(cos γ) ∙R(x, y, z(x, y))dxdy,σDxyгде sign(cos γ) = 1, если cos γ > 0 во всех точках поверхности σ,sign(cos γ) = −1, если cos γ < 0 на поверхности σ, sign(cos γ) = 0,если cos γ = 0 на поверхности σ.

Применяя описанный подход костальным интегралам правой части формулы (9), получаем соотношениеZZZZZZZZ~(F , ~n)dσ =P cos αdσ+Q cos βdσ+R cos γdσ =σσ= sign(cos α)×ZZZZσσP (x(y, z), y, z)dydz + sign(cos β)×DyzQ(x, y(x, z), z)dxdz + sign(cos γ)×Dxz×ZZR(x, y, z(x, y))dxdy, (10)Dxyгде Dyz , Dxz — проекции поверхности σ на соответствующие координатные плоскости.Замечание. Формула (10) получена при условии (в предположении), что каждая из координат вектора нормали ~n == (cos α, cos β, cos γ) либо знакопостоянна всюду на поверхности σ, либо тождественно равна нулю на этой поверхности.Если поверхность σ не удовлетворяет приведенному условию,то для вычисления поверхностного интеграла 2-го рода по этойповерхности надо сначала разбить ее на несколько частей, каждая которых обладает указанным свойством, а затем применить ккаждой из этих частей формулу (10).21Формула (10) позволяет понять существо и особенности другойзаписи поверхностного интеграла 2-го рода — координатной:ZZZZ~F d~σ =P (x, y, z)dydz +Q(x, y, z)dxdz +R(x, y, z)dxdy =σσ=ZZP (x, y, z)dydz +σZZQ(x, y, z)dxdz +σ+ZZR(x, y, z)dxdy.

(11)σZ ZЛегко увидеть, что в координатной записи интегралуP (x, y, z)dydz ставится в соответствие значение sign(cos α)××σZZP (x(y, z), y, z)dydz и т. д.DyzНиже при вычислении поверхностных интегралов 2-го родаакцент будем делать на формуле (10).2.2. Свойства поверхностного интеграла 2-го родаZZZZЛинейность:(c1 F~1 + c2 F~2 )d~σ = c1F~1 d~σ ++ c2ZZσσF~2 d~σ.σАддитивность: если поверхностьZ Z σ разбитьZ Z на неперекрываZZющиеся поверхности σ1 и σ2 , тоF~ d~σ =F~ d~σ +F~ d~σ.σσ1σ2Зависимость от ориентации поверхности: если σ — двусторонняя поверхность и стороне σ+ соответствует нормаль ~n,соответственностороне σ− — нормаль (−~n), тоZпротивоположнойZZZF~ d~σ = −F~ d~σ. т. е.

поверхностный интеграл 2-го родаσ−σ+при переходе на другую сторону поверхности меняет свой знак напротивоположный.222.3. Вычисление поверхностного интеграла 2-го родаСПОСОБ 1. С помощью формулы (10) вычисление поверхностного интеграла 2-го рода можно осуществить, сведя его к вычислению суммы трех двойныхZ Zинтегралов.Пример 8.F~ d~σ,Вычислитьσгде F~ = (x + z)~i + (8~y − x)~j ++ (2x2 − y)~k, σ — часть поверхностицилиндра y = x2 /4, заключенная между плоскостями x = 0, z = 3. Сторону поверхности выбирают так, чтобы единичная нормаль ~n◦ образовывалаострый угол с осью Ox (рис. 8).Рис.

8J Определяем знаки направляющихкосинусов нормали:cos αZ Z> 0, cos β < 0, cos γ = 0. СогласноZZF~ d~σ =(x + z)dydz + (8y − z)dxdz + (2x2 −формуле (11),− y)dxdy = +ZσZDyzσ(x(y, z) + z)dydz −ZZDxz(8y(x, z) − x)dxdz, гдепрямоугольники Dyz = {(y, z) : 0 6 y 6 16, 0 6 z 6 3}, Dxz == {(x, z) : 0 6 x 6 8, 0 6 z 6 3} — проекции поверхности σ наплоскости Oyz и Oxz соответственно. Проекция поверхности σ наплоскость Oxy вырождается в линию — дугу параболы y = x2 /4cos γ = 0, поэтому интеграл по Dxy в данном случае отсутствует(равен нулю).Вычислим отдельно интегралы по областям Dyz и Dxz , определив x = x(y, z) и y = y(x, z) из уравненияZ Z поверхности σ, т.

е.√2(x(y, z) + z)dydz =x = x(y, z) = 2 y, y = y(x, z) = x /4,Dyz=ZZDyz√((2 y+z)dydz =Z30ZZZ16√dz (2 y+z)dy = 328,(8y(x, z)−0Dxz23−x)dxdz =ОтсюдаZZDxzZZσ2(2x − x)dxdz =Z30dzZ80(2x2 − x)dx = 928.F~ d~σ = 328 − 928 = −600. IСПОСОБ 2. Вычисление поверхностного интеграла 2-го родасводится к вычислениюинтегралаZ1-гоZZZ рода соZ Z поверхностного(F~ , ~n)dσ =(P cos α +гласно формуле (8):F~ d~σ =σ+Q cos β + R cos γ)dσ.Пример 9. НайтиσZZσx~i + y~j + z~k; σ—(x2 + y 2 + z 2 )3/2F~ d~σ, где F~ =σсфера x2 + y 2 + z 2 = R2 (нормаль — внешняя).J Определим внешнюю нормаль ~n к сфере σ: ~n =~ F (x, y, z)grad~ (x, y, z) ==, где F (x, y, z) = x2 +y 2 +z 2 −R2 ; gradF~ F (x, y, z)||gradx~i + y~j + z~k= Fx0~i+Fy0~j+Fz0 ~k = 2x~i+2y~j+2z~k. Отсюда ~n = 2,(x +ZyZ2 + z 2 )1/2x2 + y 2 + z 21= 2.

Тогда(F~ , ~n) =F~ d~σ =2222(x + y + z )x + y2 + z2σZZZZdσ14 πR2== 2dσ == 4π. IRx2 + y 2 + z 2R2σσПример 10. Найти поток векторного поля F~ = x2~i + y 2~j + z 2~k черезвсю поверхность тела x2 +y 2 +z 2 6 4,x2 + y 2 6 z + 2, z > 0 в направлениивнешней нормали (рис. 9).поля Π =Z ZJ Поток ZвекторногоZ2F~ d~σ ==x dydz − y 2 dxdz +σРис. 92+z dxdy =Z Zσσ24(x2 cos α−y 2 cos β++ z cos γ)dσ. Рассмотрим интеграл2ZZx2 cos α dσ. Поверхностьσσ можно разбить на две части — σ+ и σ− симметричные относительно плоскости Oyz и удовлетворяющие условиям x > 0и x < 0 соответственно. Значения cos α в произвольной точке поверхности σ+ и в симметричной ей точке поверхности σ−отличаются знаком,причем cosZZZ Z α > 0 на σ(+)Z,Z cos α < 0 наσ− . Поэтому+ZZx2 cos αdσ =x2 dydz =σσx2 cos αdσ +σ+x2 cos αdσ = 0.σ−Аналогично в силуZ Zсимметрии поверхностиσ относительноZZ22y dxdz =y cos β dσ = 0.плоскости Oyz имеемσВычислим интегралZZσ2z dxdy =σZZz 2 cos γdσ.

Поверх-σность σ состоит из сегмента σ1 сферы x2 + y 2 + z 2 = 4, частиσ2 параболоида x2 + y 2 = zZ+Z 2 и части σ3 плоскости z = 0.Поскольку z = 0 на σ3 , тоz 2 dxdy = 0. Найдем проекцииσ3σ1 и σ2 на плоскость Oxy. Исключая z из системы уравненийx2 + y 2 + z 2 = 4, получаем x2 + y 2 = 3 — уравнение проx2 + y 2 = z + 2екции линии пересечения сферы и параболоида на плоскостьOxy. Полагая z = 0 в уравнении параболоида, получаем x2 ++ y 2 = 2. Таким образом, сферический сегмент σ1 проецируется в круг D1 = {(x, y) : x2 + y 2 6 3}, часть параболоидаσ2 — в кольцо D2 = {(x, y) : 2 6 x2 + y 2 6 3}.