Белов В.Н., Неклюдов А.В., Титов К.В. - Поверхностные интегралы

Московский государственный технический университетимени Н. Э. БауманаМетодические указанияВ.Н. Белов, А.В. Неклюдов, К.В. ТитовПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫИздательство МГТУ им. Н. Э. БауманаМосковский государственный технический университетимени Н.Э. БауманаВ.Н. Белов, А.В.

Неклюдов, К.В. ТитовПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫМетодические указанияк выполнению типового расчетаМоскваИздательство МГТУ им. Н.Э. Баумана2009УДК 517.3ББК 22.161.1Б435РецензентС.Б. ТкачевБ435 Белов В.Н., Неклюдов А.В., Титов К.В.Поверхностные интегралы: Метод. указания к выполнениютипового расчета. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.

Баумана, 2009. –32 с.В методических указаниях изложены основные теоретические сведения и способы вычисления поверхностных интегралов, примерырешения задач, приложения к задачам механики и физики, задачидля самостоятельного решения; даны условия типового расчета.Для студентов 2-го курса технических вузов.УДК 517.3ББК 22.161.1Учебное изданиеБелов Владимир НиколаевичНеклюдов Алексей ВладимировичТитов Константин ВикторовичПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫРедактор А.К.

ЯковлеваКорректор Г.С. БеляеваКомпьютерная верстка В.И. ТовстоногПодписано в печать 04.02.2009. Формат 60×84/16.Усл. печ. л. 1,86. Тираж 2000 экз. Изд. № 37.ЗаказИздательство МГТУ им. Н.Э. БауманаТипография МГТУ им. Н.Э. Баумана105005, Москва, 2-я Бауманская ул., 5c МГТУ им. Н.Э. Баумана, 20091. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1-го РОДА1.1. Понятие поверхностного интеграла 1-го родаМножество точек M (x, y, z), координаты которых удовлетворяют системе уравнений x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v) приподходящих значениях действительных параметров u, v, называютповерхностью.

Поверхность может быть определена также уравнением ϕ (x, y, z) = 0 или z = f (x, y).Уточним — из этого определения следует, что ниже будут рассматриваться поверхности σ в трехмерном пространстве R3 .Разбиением T поверхности σ называют множество ее участков (элементарных поверхностей) Δσk , k = 1, . . . , n, таких, чтообъединение всех Δσk равно σ, а пересечение двух различныхучастков Δσk и Δσj , k 6= j, есть либо кусочно-гладкая кривая,либо пустое множество (рис. 1).Рис.

1Будем предполагать, что рассматриваемые поверхности являются ограниченными и кусочно-гладкими.Диаметром множества K из трехмерного пространства R3называют число dK = sup AB, где верхняя грань берется по всем3точкам A и B, принадлежащим множеству K, AB — длина отрезка,соединяющего A и B.Диаметром разбиения T называют наибольший из диаметров элементарных поверхностей (множеств точек) Δσk : d(Т ) == max d(Δσk ).k=1,...,nПусть на поверхности σ определена функция f (x, y, z), т. е.на поверхности задано скалярное поле.

Выберем на каждой элементарной поверхности Δσk произвольную точку Mk (xk , yk , zk ),k = 1, . . . , n.Интегральной суммой функции f (x, y, z), соответствующейразбиению T поверхности σ и набору точек Mk , k = 1, . . . , n, наnXзывают суммy S(f, T ) =f (xk , yk , zk )ΔSk , где ΔSk — площадьk=1элементарной поверхности Δσk .Поверхностным интегралом 1-го рода от функции f (x, y, z)по поверхности σ называют предел интегральных сумм S(f, T )при стремлении диаметра dT разбиения T к нулю, если он существует и неRRзависит от способа разбиения поверхности σ и выбораf (x, y, z)dσ = lim S(f, T ).точек Mk :σd(T )→0Если предел интегральных сумм существует, то функциюf (x, y, z) называют интегрируемой по поверхности σ.Замечание.

Условие стремления диаметра разбиения к нулю является более сильным, чем условие стремления к нулюплощадей всех элементарных поверхностей Δσk , поскольку изmax ΔSk → 0 не следует, что d(T ) → 0. Например, для квадра-k=1,..., nта прямыми, параллельными одной из его сторон, можно построить разбиение квадрата на прямоугольники, при котором площадипрямоугольников разбиения стремятся к нулю, но длина однойиз сторон прямоугольника остается неизменной и равной длинестороны квадрата (т. е. диаметры этих прямоугольников (длины ихдиагоналей) всегда превышают длину стороны квадрата).Теорема.

Непрерывная на поверхности σ функция f (x, y, z)интегрируема по этой поверхности.41.2. Свойства поверхностного интеграла 1-го рода1. Линейность: eсли функции f и g интегрируемы по поверхности σ, то функция αf + βg, ZгдеZ Z интеZ α, β = const, также(αf + βg)dσ = αf dσ +грируема по этой поверхности и+βZZσσgdσ.σ2. Аддитивность: пусть поверхности σ1 и σ2 — неперекрывающиеся, т. е. их пересечение является объединением конечногочисла кусочно-гладких кривых (в частности, оно может быть пустым); тогда, если функция f интегрируемаZZZпоZ σ1 и σ2Z,Zто онатакже интегрируема по σ1 ∪ σ2 иf dσ =f dσ +f dσ.σ1 ∪σ2σ1σ23. Теорема об оценке: если для всех точек P (x, y, z)ZповерхноZсти σ m 6 f (x, y, z) 6 M при m, M = const, то mS 6f dσ 6σ6 M S, где S — площадь поверхности σ.4. Теорема о среднем значении: eсли функция непрерывнанаZ Zповерхности σ, то существует такая точка P0 (x, y, z) ∈ σ, чтоf dσ = f (P0 )S, где S — площадь поверхности σ.σ5.

Связь с площадью поверхности: eслиZ Zфункция ZfZ тождественно равна единице на поверхности σ, тоf dσ =dσ =σσ= S (S — площадь поверхностиσ). Например, еслиZZZ Z σ — сфера22222222(x + y + z )dσ = Rdσ = 4πR4 .x + y + z = R , тоσσ1.3. Вычисление поверхностного интеграла 1-го родаПусть поверхность σ задана уравнением Φ(x, y, z) = 0. Предположим, что поверхность σ можно однозначно спроецироватьна одну из координатных плоскостей, например на плоскостьOxy, причем проекцией σ является плоская область Dxy (рис.

2).5Тогда поверхность σ можно задатьуравнением вида z = z(x, y), где(x, y) ∈ Dxy . Пусть частные производные ∂z/∂x и ∂z/∂y непрерывны в области Dxy . Тогда вычисление поверхностного интеграла 1-го рода по σ можетбыть сведено к вычислению двойногоинтеграла по плоской области Dxy отфункции переменных x и y:ZZf (x, y, z)dσ =Рис. 2σ=ZZf (x, y, z(x, y))DxyПример 1. НайтиZZ rσs1+∂z∂x2+∂z∂y2dxdy.

(1)xdσ, где σ — часть цилиндра2x − 1x2 + z 2 = 2x (z > 0), вырезаемая гиперболоидом x2 − y 2 + z 2 = 1и плоскостью z = 0.Рис. 3J Часть цилиндра,√удовлетворяющая условию z > 0, задается уравнением z = 2x − x2 . Найдем проекцию поверхностиσ на плоскость Oxy. На рис. 3 верхняя граница заштрихованной области — часть (при y > 0, z > 0) линии пересечениягиперболоида и цилиндра, а нижняя граница заштрихованной6области — проекция указанной части линии пересечения на плоскость Oxy (эточасть параболы, также изображенной нарис. 4 (первый квадрант)). Для аналитического нахождения проекции на плоскость Oxy линии пересечения цилиндра и гиперболоида исключим переменРис. 4ную z из их совместно рассматриваемыхx2 + z 2 = 2x⇒ 2x = y 2 + 1.уравнений:x2 − y 2 + z 2 = 1Полагая в уравнении цилиндра z = 0, получим уравнения линий пересечения плоскости z = 0 и цилиндра: x2 = 2x, откуда x = 2 или x = 0.

Таким образом, поверхность σ проецируется в область Dxy , ограниченную параболой x = (y 2 + 1)/2и прямой x = 2 (cм. рис. 4). Тогда для поверхности цилиндра√1−x∂z∂z= √= 0,,z = z(x, y) = 2x − x2 получаем2∂x∂y2x − xs 2 2 r∂z∂z1(1 − x)2+= 1+=√.1+2x − x2∂x∂y2x − x2ZZ rZZ rxx1√В итоге имеемdxdy =dσ =2x − 12x − 1 2x − x2σ=2Z21/2rdx√√2x − 1 2 − x√DxyZ2x−10Z22√dxdy = 2 √= −4 2 − x =1/22−x1/2√3=4= 2 6. I2В случае, когда функция f постоянна на поверхности σ, в силусвойства 5 вычисление интеграла сводится к вычислению площадиповерхности σ.ZZ(z 4 − (x2 + y 2 )2 + 1) dσ, где σ — частьПример 2. Найтиσконуса z 2 = x2 +y 2 , отсекаемая плоскостями z = 0 и z = 1 (рис.

5).7J Поскольку для заданного конуса z 4 Z Z= [z 2 (x, y)]2 = [x2 ++ y 2 ]2 , то(z 4 − (x2 + y 2 )2 + 1) dσ ==ZZσ√dσ = πRL = π 2, где R = 1 —σ√радиус основания, L = 2 — длина образующей конуса. IЕсли поверхность σ можно задать либо уравнением y = y(x, z),Рис.

5(x, z) ∈ Dxz , либо уравнением x == x(y, z), (y, z) ∈ Dyz , где Dxz и Dyz — проекции поверхностиσ на плоскости Oxz и Oyz, то поверхностный интеграл 1-го родавычисляют соответственно по формулам (см. соотношение (1))ZZf (x, y, z)dσ =σ=ZZf (x, y(x, z), z)DxyлибоZZs∂y∂x2s∂x∂y21++∂y∂z2dxdz, (2)+∂x∂z2dydz. (3)f (x, y, z)dσ =σ=ZZf (x(y, z), y, z)DxyПример 3.

НайтиZZσ1+dσ, где σ — часть параболоида1 + 4xx = y 2 + z 2 , отсекаемая плоскостью x = 1 (рис. 6).J Так как уравнение поверхности имеет вид x = x(y, z) == y 2 + z 2 , эту задачу удобно решать, проецируя поверхностьσ на координатную плоскость Oyz, поскольку в этом случаеповерхность проецируется однозначно и область проекции очень8удобна для введения полярных координат при вычислении двойного интеграла. Полагая в уравнении параболоидаx = 1, получаем уравнение проекциилинии пересечения параболоида и плоскости на координатную плоскость Oyz:y 2 + z 2 = 1. Таким образом, проекциейповерхности σ на плоскость Oyz является круг Dyz = (y, z) : y 2 + z 2 6 1 .Для параболоида x = x(y, z) = y 2 ++ z 2 получаем ∂x/∂y = 2y, ∂x/∂z = 2z. ТогдаРис. 6ZZσdσ=1 + 4xZZ pZ2π Z11ρd ρ1 + 4y 2 + 4z 21p21+ ρ =dσ = dϕ p=2π=241 + 4y 2 + 4z 201 + 4ρ00Dyzπ √= ( 5 − 1) (двойной интеграл по кругу был вычислен клас2сическим переходом к полярным координатам в плоскости Oyz:y = ρ cos ϕ, z = ρ sin ϕ).