Лекция л.7 интегр.ур-я теории потенциала (Электронные лекции)

Интегральные уравнения теории гармонического потенциала.Будем рассматривать два типа краевых задач для уравнения Лапласа:Задачу Дирихле: u  0;(1)u  f ( P ), SИ задачу Неймана: v  0;(2) v n  g ( P ). SПри этом, для каждого типа краевой задачи рассматриваются как внутренняя задача вобласти D , ограниченной поверхностью S , класса Ляпунова, так и соответствующаявнешняя краевая задачи вне области D. Ограничим наше рассмотрение случаем плоскихдвумерных задач, где граница S области, - замкнутый контур Ляпунова.

Решение краевойзадачи (1) удобно искать в виде потенциала двойного слоя:u(M) =121 n ln R  M , P   ( P)dsP ,SP(3)а решение задачи (2), - в виде потенциала простого слоя:v(M) =121 ln R  M , P   ( P)dsP .(4)SОпуская точку M на границу S : M  P0  S , и требуя выполнения краевого условияпервого рода задачи (1), а также пользуясь формулой предельного значения дляпотенциала двойного слоя из лекции о свойствах этого потенциала, получим11 ( P0 ) +22 n lnSP1R P0 , P ( P)dsP = f ( P0 ) .(5)Уравнение (5) является интегральным уравнением Фредгольма второго рода с ядромK ( P0 , P ) =1ln, имеющим особенность интегрируемую с квадратом.nP R P , P0Если рассматривается внешняя задача (1), то тот же предельный переход, с учетомнаправления нормали, которая всюду считается внешней, приводит к уравнению111ln ( P)dsP = f ( P0 ) .  ( P0 ) +(6)n2 S P R P , P20Аналогично, используя свойства нормальной производной потенциала простого слоя,для задачи Неймана (2), получим интегральное уравнение111 ( P0 ) +ln ( P)dsP = g ( P0 ) ,(7)2 S nP R P , P200А для внешней задачи Неймана уравнение11 ( P0 ) +22 n lnSP01R P0 , P ( P)dsP = g ( P0 ) .(8)Интегральные уравнения (5) – (8) позволяют перейти от двумерной задачи (1), или (2) кодномерной, - на контуре S , что значительно удобнее при численных расчетах.Для обоснованного применения этих уравнений предварительно нужно убедиться вразрешимости этих уравнений и единственности их решений.

Ограничим нашерассмотрение случаем областей с гладкими выпуклыми границами S , не содержащимипрямолинейных участков. Такое ограничение позволяет сделать ядра уравнений (5) – (8)положительно определенными, так как1lnds p = d  0, - угол, под которым виден элемент ds p контура S из точкиnP R P , P0P0 . То же самое справедливо и для1lnds p .nP R P , P00Рассмотрим теперь однородное уравнение (5):11 ( P0 ) +22 n lnSP1R P0 , P ( P)dsP = 0,которое переписывается в виде1ln ( P)dsP = 0.  ( P0 ) + nP R P , PSТак как n lnSP01R P0 , P(9)dsP =  (см.

лекцию о свойствах потенциала двойного слоя), тоуравнение (9) переписывается в виде n lnSP1 ( P )   ( P)  ds = 0. PR P0 , P  0Напомним, что в упомянутой лекции было показано, чтоcos n , RPP0 ,PR(10)1lnnP R P , P0  0, ввиду принятых выше ограничений на геометрию контура S=P0 ,P( косинус в числителе всюду не положителен). Пусть теперь P 0 - точка на контуре, вкоторой плотность потенциала  ( P )достигает максимального значения:  ( P 0) =max ( P ) . Выберем в равенстве (10) P0= P 0 :Scos  n , R   P P 0,P  )  ( P )   ( P)  ds = 0. (0 PR P 0, PS(11)Первый сомножитель подынтегрального выражения неотрицателен, а второй –знакопостоянен (в силу выбора точки P 0 ).

Следовательно,  ( P 0)   ( P) = 0, или ( P 0)   ( P)(12)для всех P  S, то есть  ( P ) = const , но из (12) очевидно следует, что эта константаможет быть только нулем. Следовательно,  ( P )  0 , то есть, однородное уравнение (5)имеет лишь тривиальное решение, и , следовательно, неоднородное уравнение (5)однозначно разрешимо.Если обратиться к интегральному уравнению (8) случая внешней задачи Неймана, изаменить в нем нормаль на внутреннюю по отношения к контуру S (т.е. на внешнюю по2отношению к области R \ D), с переменой знака перед интегралом, то левая часть такогоинтегрального уравнения приводится к виду с теми же знаками слагаемых, что и ууравнения (5), причем ядро интегрального оператора будет сопряженным по отношению кядру уравнения (5) (точки P0 и P переставлены местами).Из теории интегральных уравнений Фредгольма второго рода (см. курсфункционального анализа и интегральных уравнений) известно, что в случае однородныхуравнений с сопряженными ядрами, если одно из них имеет лишь тривиальное решение,то же самое справедливо и для второго.

Отсюда следует, что интегральное уравнение (8)также однозначно разрешимо.Рассмотрим теперь интегральное уравнение (6) для внешней задачи Дирихле.Соответствующее ему однородное уравнение тем же способом, что и ранее, приводится квидуcos  n , R   P P 0,P  )  ( P )   ( P)  ds = 0,(13) (0 PR P 0, PSгде  ( P 0) = max ( P ) . И, в силу знакоопределенности сомножителей подынтегральногоSвыражения, получим, что ( P 0)   ( P)(14)для всех P  S, то есть  ( P ) =  0 = const. Константа 0 является нетривиальнымрешением однородного уравнения (6).

То есть, решение уравнения (6) уже не являетсяединственным. Согласно теории уравнений Фредгольма второго рода, решениесоответствующего уравнения с сопряженным ядром, то есть уравнения (7), также неявляется единственным, а для существования его решения необходимо выполнениеусловия ортогональности правой части g ( P0 ) этого уравнения нетривиальному решениюоднородного уравнения (6): 0  g ( P)dsP = 0, то естьS g ( P)dsP =0,(15)S- условие равенства нулю полного заряда на контуре S, которое уже встречалось впредыдущих лекциях.В свою очередь, если некоторая функция h(P) – нетривиальное решение однородногоуравнения (7),то для существования решения уравнения (6) (хотя и не единственного),должно выполняться условие ортогональности его правой части f ( P0 ) и функции h(P): h( P) f ( P)dsP =0.(16)SУсловие (16) допускает простую физическую интерпретацию. Пусть цилиндрическийпроводник, имеющий в сечении плоскую область D с границей S , заряжен до некоторогопотенциала V.

В проводнике весь заряд находится на его поверхности. Пусть h ( P ) плотность поверхностных зарядов. Тогда, потенциал, создаваемый этим распределением,является потенциалом простого слоя вида (4), с плотностью h ( P ) :v(M) =121 ln R  M , P  h ( P )dsP .SНормальная производная этого потенциала изнутри области D равна нулю, т.к. внутрипроводника потенциал равен константе.

При M  P0  S изнутри получаем однородноеинтегральное уравнение (7) с функцией h ( P ) в качестве его нетривиального решения,которая, очевидно, должна быть пропорциональна функции h(P)..