Лекция л.6 потенц-лы простого и двойного слоя (Электронные лекции)

Гармонические потенциалы простого и двойного слоя .В предыдущих лекциях было показано, что фундаментальные решения уравнения Лапласа, тоесть, те, которые удовлетворяют однородному уравнению Лапласа во всем пространстве R3 (R2),за исключением единственной точки M0 , в которой эти решения имеют особенности типаполюса первого порядка (или логарифмическую особенность), имеют вид11;4 R( M , M 0 )11ln(М, M0) =.R( M , M 0 )2 (М, M0) =(1.1)(1.2)Здесь R(М, M0)= {(x – x0 ) 2 + (y – y0 ) 2 + (z – z0 ) 2}1/ 2, в случае R3 , и R(М, M0)= {(x – x0 )2+ (y – y0 ) 2 }1/ 2 , в случае R2.Пусть теперь некоторое поле создается непрерывным распределением масс, или непрерывнымраспределение электрического заряда, на некоторой поверхности , с плотностью (P).Скалярный потенциал, удовлетворяющий однородному уравнению Лапласа всюду внеповерхности  , имеет видV(M) =14 ( P) R(M , P) d P(1.3)в случае R3 , иV(M) =121 ln R( M , P)  ( P)d P(1.4)Lв случае R2 , где L - кривая, вдоль которой распределена плотность (P) в плоском случае, иносит название потенциал простого слоя.Другим типом потенциала является потенциал двойного слоя.

Его физический смысл состоит вследующем. Рассмотрим диполь, то есть два разноименных близко расположенных заряда –  и+ . Пусть l - расстояние между ними. Величину l = N называют дипольным моментом.Потенциал диполя в некоторой точке M(x, y, z) равен111N 1V =–= ( – ) =( – ) , где r1 и r2 - расстояния от точки M до точек, вr2r2r1r1r1 l r2которых расположены заряды. Если l мало по сравнению с расстоянием до точки M, то потеореме о конечных приращенияхd 1V = N, где производная берется по направлению отрезка, на концах которогоdl Rрасположены заряды ( в направлении от заряда –  до  ), аR = {(x –  ) 2 + (y –  ) 2 + (z –  ) 2}1/ 2 - расстояние от точки M до некоторой средней точкиdP( , ,  ) отрезка l. Так как= (l), где l – единичный вектор в направленииdl1d 11дипольного момента, то= – 2 (lR).

Но R =R = r – единичный вектор вRdl RRd 111направлении R . Следовательно,= – 2 (l r) = – 2 cos(l,r). Если взять теперь двеdl RRRэквидистантные поверхности  и ’, находящиеся на малом расстоянии  друг от друга, накаждой из которых плотно расположены заряды разного знака, с плотностью распределения  ,то при   0 дипольный момент dN элемента поверхностей dP будет равен  dP . Еслиобозначить через n общую нормаль к полученной двусторонней поверхности, то потенциалd1статического поля элемента dP поверхности в точке M(x, y, z) будет равен d Pd n P RM , P=–12RM , Pcos(n,r)(P)dP . Потенциалом двойного слоя назовем интеграл141  nP ( P)d P .(1.5)Очевидно, что в другой записи потенциал двойного слоя имеет видcos(r, n)1W(M) = ( P)d P .4  R 2(1.6)W(M) = –RM , PM,PПотенциал двойного слоя в случае двух независимых переменных отличается лишь видомфундаментального решения в подынтегральном выражении:W(M) = –121W(M) =21  nP ln RM , P ( P)dsP .(1.7)LLcos(r, n)RM , P ( P)ds P .(1.8)Здесь L - некоторая кривая,  - плотность потенциала на этой кривой.Очевидно, что пока точка M находится строго вне поверхности  (кривой L ), потенциалыпростого и двойного слоя удовлетворяют однородному уравнению Лапласа, и вообще, допускаютдифференцирование любого порядка по координатам точки M .

Наша цель теперь, - изучитьсвойства этих потенциалов в случаях, когда точка M принадлежит носителю ( или L),плотности потенциалов, или стремится к этому носителю.Рассмотрим вначале двумерный случай потенциала двойного слоя с постоянной плотностью  0= const :1W0(M) =20 Lcos(r , n)RM , Pds P .(1.9)Возьмем достаточно узкий сектор угловой величины d с вершиной в точке M . Он вырежет накривой L малую дугу величины ds с концами P и Q. Через точку P проведем дугу окружности сцентром в точке M . Стороны сектора вырежут на этой окружности дугу величины dl .nPRddsdlQMУгол между дугами ds и dl очевидно равен углу между внешней нормалью n в точке P и R (каку углов с взаимно перпендикулярными сторонами).

При этом, dl = Rd ,дуги . и dl =cos(n,r)ds ( с точностью до бесконечно малых большего прядка ). Следовательно,cos (r , n )= d ,(1.10)RM , Pи геометрический смысл подынтегрального выражения в (1.9) - угол d, под которым виден изcos(r, n)точки M элемент дуги ds. При этом, весь интеграл ds P равен, очевидно, величинеLRM , Pугла, под которым видна из точки M вся кривая L.Замечание. Отметим, при этом, что величина угла положительна, если эта точка расположена состороны вогнутости кривой (угол между n и r - острый), и отрицательна, если точкарасположена со стороны выпуклости этой кривой (угол между n и r - тупой).Рассмотрим теперь случай замкнутой кривой L .

Тогда, если точка M принадлежит открытойобласти, ограниченной этой кривой, то рассматриваемый интеграл равен 2 , - углу видимостивсей замкнутой кривой изнутри. Если точка M принадлежит границе области, т. е. самой кривойL, то этот угол видимости равен, очевидно, . И если точка M вне области с границей L , то, сучетом замечания, суммарное приращение угла видимости при обходе точкой P всей кривойравно нулю.

Таким образом, можно объединить все три случая в виде следующего результата 0 ; M внутри L ,W0(M) =12 0 ; M на L ,(1.11)0 ; M вне L.Аналогичные рассуждения будут справедливы и для потенциалов (1.5), (1.6) в случае трехнезависимых переменных, если рассмотреть эти потенциалы с постоянной плотностью 0 :cos( r , n)1 0  2d P .W0 (M) =RM , P4Разница состоит лишь в том, что вместо плоского угла d означает в этом случае телесныйугол, вместо dl возникает d - элемент сферы, вырезаемый из нее конусом телесного угла d ,и ds – элемент поверхности  , вырезаемый из нее тем же конусом. Формула (1.10) полностьюсохраняет свой вид . Точно также, как и в плоском случае, двойной интеграл равен 4 - полномутелесному углу, под которым замкнутая поверхность  видна из точки М, расположеннойвнутри  , или 2 - половине полного телесного угла , если М – на самой поверхности  , инулю, если М – вне  .

Поэтому, для W0 (M) и в случае трех независимых переменныхсправедливы формулы 0 ; M внутри ,1W0(M) = 0 ; M на ,(1.12)20 ; M вне .Прямое значение потенциала двойного слоя .Рассмотрим теперь более подробно потенциал двойного слоя (1.6) в случае, когда точка M =P0 также принадлежит поверхности , то есть интеграл запишется в видеcos(r, n)1W(P0) =(1.13) ( P)d P ,4  R 2P0 , Pи может рассматриваться только как несобственный.

Он носит название прямого значенияпотенциала двойного слоя.Заметим, что особенность подынтегрального выражения в (1.13) на самом деле имеет порядок 1  1  , а не O  2  , ввиду того, что cos( r , n) в числителе дроби, являясь косинусом углаO RP , P  RP , P  0  0 между rP , P и нормалью к  в точке P, также стремится к нулю при P P0 .0Можно показать, что этот интеграл существует, и принимает конечные значения. Будем в0дальнейшем обозначать его как W , называя прямым значением потенциала двойного слоя награнице области (если поверхность  – замкнута). При этом нам придется ограничить классрассматриваемых поверхностей поверхностями класса Ляпунова.Определение. Поверхность называется поверхностью Ляпунова, если выполняются следующиеусловия:1.

В каждой точке поверхности существует определенная нормаль (касательная плоскость).2. Существует такое число d  0 , что прямые, параллельные нормали в некоторой точке Pповерхности , пересекают не более одного раза часть  'P поверхности  , лежащую внутрисферы радиусом d с центром в P .3. Угол (P, P1 ) , образованный нормалями в точках поверхности P и P1 , удовлетворяетусловию (P, P1 )  Ar , где r – расстояние между P и P1 , A – постоянная, и 0    1.Замечание. В двумерном случае аналогичным образом вводится понятия кривых Ляпунова, Онинеобходимы для обоснования существования прямого значения потенциала двойного слоя вдвумерном случае:W(P0) =12cos( r , n) ( P)dsP .L RP ,P(1.14)0В многочисленных учебниках и монографиях по теории гармонических потенциаловприводится доказательства существования интегралов (1.13), (1.14) как несобственных наповерхностях (кривых) класса Ляпунова.

Поэтому мы не останавливаемся здесь на этихдоказательствах.Для прикладных задач более важным является вопрос о применимости потенциалов двойногослоя для построения решений краевых задач для уравнения Лапласа. И если в открытой областиD с границей Ляпунова  (или L ) потенциал двойного слоя удовлетворяет однородномууравнению Лапласа, то полное решение первой краевой задачи предполагает такжеудовлетворение краевому условию Дирихле на  :lim W  M  = f(P0 ).(1.15)M P0Необходимо выяснить, возможен ли такой предельный переход, и как получаемый предел0связан с прямым значением W (P0) потенциала двойного слоя на  .Пусть точка M расположена внутри  , и n – нормаль, внешняя к поверхности  .

Выберемпроизвольную точку P0   . Разобьем потенциал (1.6) на два слагаемых:cos( r, n)cos( r , n)11W(M) =(1.16) ( P )d P + ( P )d P ,224  P RM , P4  \  P RM,P  0 0где  P - сколь угодно малая окрестность точки P0 на поверхности0  P0  , переписав плотность (P) в виде14(P) – ( P0) + ( P0) , приведем к видуcos( r, n)cos( r , n)1[ ( P)   ( P0 )]d P + ( P0 ) d P .22RM , PR4 PM ,PP  . Первый интеграл по(1.17)  0 0После этого, в (1.16) уже можно сделать предельный переход M  P0 . Действительно, впоследнем интеграле в (1.16) точка P0не принадлежит области интегрирования, иподынтегральное выражение не имеет особенности.

Последний интеграл в (1.17) при M  P0 ,1 ( P0 ) . Первый интеграл в (1.17) при M = P0 не являетсясогласно (1.12), принимает значение2несобственным, поскольку плотность потенциала  ( P)   ( P0 ) в нем обращается в ноль при P =P0 , также как и cos( r , n) , и для него можно провести следующую оценку:14 P0Приcos( r , n)[ ( P )   ( P0 )]d P2RM,Pстягивании1| cos(r , n ) | max  ( P )   (P0 )24  PRM P  0,P  0окрестности  P0 вточку,d P .max  ( P )   ( P0 )P (1.18)0.Интеграл 014P  0| cos( r, n) |d P является прямым значением потенциала двойного слоя для малой частиRP2 , P0 P поверхности Ляпунова0сколь\P 0угодномалымпри , то есть, существует как несобственный и может быть сделанстягивании  P0 вточку.Последнийинтегралcos( r , n)0 ( P)d P в (1.16) при   P0   0 становится прямым значением W (P0) потенциала2RP , P0двойного слоя.