Лекции 4 по Мат.Физ. (Электронные лекции)

Лекция 41.9 Основные сведения из теории цилиндрических функций.Полученное в предыдущей лекции фундаментальное решение уравнения Гельмгольцаi H (1) (k~ R) (функция Грина в свободном пространстве) на плоскости R2 является частным04случаем цилиндрических функций, возникающих как зависящие от радиальной координатычастные решения этого уравнения в полярных координатах, при построении этих решенийметодом разделения переменных. Действительно, выписав это уравнение~21   U  1  2 U r  2U = 0,(1.9.1)kr  r   r  r  2и представив искомое решение U в виде R(r) (), получим, разделяя переменные в (1.9.1):1   R  ~ 2  r   ( k  2 ) R = 0.’’() + () = 0;r  r   r rВ случае естественного условия периодичности угловой части () частного решения с~2периодом 2 , константа разделения  должна быть равна n .

Вводя переменную  = k r,получим для радиальной части уравнение Бесселя1   R n2  (1  2 ) R      (1.9.2)При построении решений уравнения (1.9.2) обычно рассматривают его для произвольногодействительного нецелого значения параметра . Если строить эти решения в виде степенныхрядов R() = an n0n , получим два линейно независимых решения вида(1) n J () =     2  n  0 (n  1)(n    1)  2 J-  () = 22n;(1) n n  0 ( n  1)( n    1)  2 2n,называемых функциями Бесселя положительного  и отрицательного - индексовсоответственно.

Очевидно, что первая из этих функций регулярна при любом конечномзначении  и обращается в ноль при  = 0, а вторая имеет в этой точке особенностьстепенного типа. При действительных  и  эти функции принимают действительныезначения.Кроме этой пары линейно независимых решений, можно построить другую пару такихрешений, принимающих комплексные значения. Непосредственной подстановкой в уравнение(1.9.2) при n = 0 функции ХанкеляH 0(1) (  ) = 1  ei  cosdW1можно убедиться, что она удовлетворяет этому уравнению. Для этого достаточно, послеподстановки, воспользоваться интегрированием по частям вдоль контура W1 , учитываяобращение в ноль вне интегральных слагаемых. Точно так же убеждаемся, что при nотличных от нуля и равных произвольному нецелому числу  , уравнению (1.9.2)удовлетворяет функцияH(1) (  ) = 1  ei  cose i (   / 2) d(1.9.3)W1называемая функцией Ханкеля первого рода  - го порядка.

Второе линейно независимоерешение при действительных значениях  и  можно получить из (1.9.3) операциейкомплексного сопряжения.Возьмем комплексное сопряжение от (1.9.3):(1)H() = 1e i  cose i (   / 2) d.(1.9.4)W1Контур W1 получен из W1 операцией комплексного сопряжения и имеет следующий видi10-W10Замена переменной интегрирования  навыражению(1)He() = 1W1i  cos +  сдвигает контур W1 влево на , приводяe i (   / 2) d,а последующая замена  на -  и деформация контура в пределах полу полос сходимости,одновременно с изменением направления интегрирования на противоположное, превращаетего в контур W2 , изображенный на рисунке.-02340W2W1Тогда интеграл (1.9.4) приобретает видH(1) (  ) = 1  eWi  cose i (   / 2) d= H (  ) .( 2)(1.9.5)2Здесь H (  ) - функция Ханкеля второго рода порядка .Выясним теперь, что представляют собой функции(1)( 2)индекса H   (  ) ; H   (  ) :( 2)H(1)e() = 1i  cose  i (   / 2) dХанкеляотрицательного.(1.9.6)W1При замене в (1.9.6) переменной интегрирования  на -  , получаем интеграл-e1i  cose i (    / 2) d,по контуру W1, проходимому в противоположномW1направлении.

Вынося из под интеграла множитель eполучимH (1) (  ) = ei H(1) (  ) .i, и меняя направление интегрирования,(1.9.7)Аналогично, убеждаемся, чтоH ( 2) (  ) = e - i H( 2) (  ) .(1.9.8)Между функциями Бесселя и Ханкеля индекса  существует следующая связь.Возьмем полу сумму функций Ханкеля первого и второго рода [ H  (  ) + H (  ) ]/ 2. Таккак подынтегральные выражения в (1.9.3), (1.9.5) одинаковы, то остается лишь сложитьконтуры интегрирования. Из последнего рисунка ясно, что при этом мы получим интеграл(1)12ei  cose i (   / 2) d,W0где контур W0 показан на следующем рисунке( 2)(1.9.9)W0-02340Рассмотрим интеграл (1.9.9) для целых значений n индекса .

Деформируя контур W0 впрямоугольный, действительная часть которого совпадает с отрезком [-/2; 3/2], и сдвигаяего влево на /2 , получим1(1.9.10)e  i  sin  e i n d ,2  так как интегралы по полу бесконечным отрезкам взаимно сокращаются в силупериодичности подынтегральной функции. Разделяя в выражении (1.9.10) действительную имнимую части, получим1 cos(  sin   n )d ,2  а мнимая часть обращается в ноль, будучи интегралом в симметричных пределах от нечетнойфункции sin(  sin   n ) . Ясно, что полученная функция принимает действительныезначения, удовлетворяет уравнению Бесселя (1.9.2), и обращается в ноль при  = 0 для всех nотличных от нуля, а при n = 0 обращается в 1.

В силу теоремы единственности решенийбыкновенных д. у. , эта функция должна совпадать с функцией Бесселя Jn(). Можнопоказать, что и при нецелых значениях индекса интеграл (1.9.10) принимает лишьдействительные значения. Следовательно,12ei  cose i (   / 2) d= J () = [ H  (  ) + H (  ) ] / 2.(1)( 2)(1.9.11)W0Аналогично тому, как в случае о. д.

у. второго порядка с постоянными коэффициентамиy’’ + k2y = 0 из двух линейно независимых комплексно-значных решений eikx и e - ikx можнополучить два линейно независимых действительных решения cosx и sinx с помощью формулЭйлера, кроме представления (1.9.11) функции Бесселя через функции Ханкеля J () =[ H  (  ) + H (  ) ] / 2, вводится второе действительное решение уравнения Бесселя(1)( 2)N () = [ H(1) (  ) - H( 2) (  ) ] /2i,(1.9.12)Называемое функцией Неймана. Пользуясь этими представлениями, а также формулами(1.9.7), (1.9.8) для функций Ханкеля отрицательного индекса, получим следующую связьмежду этими функциямиH (  ) = i(1)e i  J  (  )  J  (  )sin ; H (  ) =  i( 2)e i  J  (  )  J  (  )sin ;N () =cos  J  (  )  J  (  )sin  .(1.9.13)При целых значениях  функции Бесселя J () и J- () перестают быть линейноmнезависимыми: J- m () = (-1) J m (), что следует, например, из (1.9.9).

В этом случае,второе линейно независимое решение уравнения Бесселя, - функция Неймана N m () ,строится как результат предельного перехода в (1.9.13):N m () = limcos  J  (  )  J  (  )sin   mNm, вычисляемого по правилу Лопиталя: J   ( } J ( } (1) m() = 1 [ ]= m, с использованием рядов для функцийБесселя. Проделав необходимые выкладки, приходим к следующему представлению дляфункции Неймана целого индекса:Nm() = 2 Jm()( ln1 2+C) - 1   2m m 1(m  n  1)!   n!n022n-(  1) n     1111 1   ...   .    1   ...

2nm2n  2  n  0 n!(n  m)! 2  Очевидно, что для m = 0 функция Неймана имеет логарифмическую особенность при  = 0.m 2nИз нужных для вычислений формул приведем еще рекуррентные равенства, связывающиецилиндрические функции разных индексов, которые могут быть получены несложнымивыкладками из их интегральных представлений типа (1.9.3), (1.9.9):Z  - 1 (x)  Z  + 1 (x) = 2 Z' ( x) ; Z  - 1 (x) + Z  + 1 (x) = 2  Z (x) / x.В дальнейшем, для оценки поведения решений плоских краевых задач при    , важнуюроль будут играть асимптотические приближения цилиндрических функций:2H(1) (  ) i (     / 2   / 4)e; H (  ) ( 2)2 i (     / 2   / 4)e;(1.9.14)J () 2cos(     / 2   / 4) ; N () 2sin(     / 2   / 4) .О ( - 3/2 ) и(1)( 2)справедливы при условии   . Из этих формул видно, что функции H  (  ) , H (  )ведут себя как расходящаяся и сходящаяся цилиндрическая волна, а функции J (), N (), Все вышеприведенные асимптотические формулы имеют погрешностькак стоячие волны.Из асимптотических формул следуют также приближенные формулы для корней функцийБесселя и Неймана, как принимающих лишь действительные значения:m =  (/2 + m + 3/4) ; m =  (/2 + m + 1/4) .Справедлива следующая прямая аналогия между цилиндрическими и тригонометрическимифункциями:H(1) (  )  ei ; H( 2) (  )  e- i ; J ()  sin ; N ()  cos .Обратимся еще к формуле (1.9.10) для функции Бесселя.Сдвигая переменнуюnинтегрирования на , и пользуясь равенством J- n () = (-1) J n (), получим2i  sin   i n ed ,eJn( ) = 120То есть, функции Бесселя Jn( ) целого индекса совпадают с коэффициентами Фурьеразложенияфункции e i  sin тригонометрических функций e i n e i  sin =врядФурьепоортонормированнойсистеме:i n J n (  )e .nФункция e i  cos есть плоская волна e i x , распространяющаяся вдоль оси x .Возвращаясь к переменнойe~ i k r cos(   0 )заменой~ = k r, и приводя последнее равенство к плоской волне на  -  /2 , и  на  - 0 , распространяющейся подпроизвольным углом 0 к оси x , к началу координат, получим~ i k r cos(   0 )e=~i n (   0 )  i n  / 2.e J n ( k r )e(1.9.15)n22(1) ~Вернемся теперь к фундаментальному решению i H 0 (k R) , где R = [r + r0 - 2 r r04cos( - 0)] 1/2 .