Лекции #7 по Мат.Физ (Электронные лекции)

Спектр краевой задачи и теорема Стеклова.Стандартное уравнение колебаний ограниченной неоднородной струны длинысреде,оказывающейсопротивлениепропорциональное,скоэффициентомl вq(x),отклонению u струны от положения равновесия имеет вид2u   u k ( x )  – q(x)u =  2 .x x t(1)Оно подчинено двум начальным условиямu(x,0) = (x); u t (x,0) = (x);и двум краевым условиямu x (0,t) – h1 u(0,t) = 0;(2)u x (0,t) + h2 u(0,t) = 0;общего вида, соответствующим упругому закреплению на краях.Методом разделения переменных уравнение (1) приводится к двум уравнениямT’’(t) + T(t) = 0;dX d  k ( x) – q(x)X +  X = 0;d xdx (3)второе из которых снабжено соответствующими краевыми условиями в точках x = 0 иx=l:X’(0) – h1 X(0) = 0;(4)X’(l) + h2 X(l) = 0.Уравнение (3) вместе с условиями (4) является краевой задачей для этого О.Д.У. наотрезке [0, l].На частных примерах таких задач мы видели, что совокупность ихрешений образует полную ортогональную систему собственных функций, (базис)соответствующих дискретному набору собственных значений спектрального параметра(константы разделения), что позволяет искать решение исходной задачи в виде рядовФурье с коэффициентами, зависящими от переменной t.

Сами эти коэффициентынаходятся затем из требования выполнения начальных условий задачи. В данном разделебудет описана общая схема построения такого базиса, исключающая необходимостьдоказывать его существование в каждом частном случае. Сформулируем соответствующееутверждение, характеризующее основные свойства собственных функций и собственныхзначений.Теорема.1. Существует счетное множество собственных значений1 2 ….   n….,которым соответствуют нетривиальные решения задачи (3), (4), - собственныефункцииX1(x) , X2(x) ,….

X n (x) , …. .2. При q(x)  0 все собственные значения  n положительны.3. Собственные функции X n (x) и X m (x)весомпри n m ортогональны между собой с (x) на отрезке 0  x  l :l X n ( x ) X m ( x )  ( x )dx= 0; n  m(5)04. (Теорема разложимости В.А. Стеклова) Произвольная функция F(x), дваждынепрерывно дифференцируемая и удовлетворяющая краевым условиям F(0) = F(l) = 0 ,разлагается в равномерно и абсолютно сходящийся ряд по собственным функциям{Xn(x)}:F(x) = Fn X n ( x ) , Fn =n 11Xnll0022 F ( x ) X n ( x )  ( x )dx , ||Xn|| =  X n ( x )  ( x )dx .Вначале докажем свойства 3.

и 2. Для этого выведем сперва основное интегральноетождество. Обозначим через L (X) операторdX d  k ( x) – q(x)X . Пусть u(x) и v(x)d xdx - произвольные дважды непрерывно дифференцируемые на интервале aфункции , имеющие непрерывную первую производную на отрезке aРассмотрим выражение L (u)v – L (u)v == x b x  b .du dv d d  k ( x) v– k ( x)  ud xdx d xdx dk ( x )[u  v  v u] . Интегрируя это равенство по x от 0 до l , получимdxодномерную формулу Гринаb u L[ v ]} v L[ u ] dx = k ( x )[u v   vu ] ba .(6)aПусть теперь u(x) = X n (x) ; v(x) = X m (x) , - собственные функции краевой задачи(3), (4),удовлетворяющие уравнениямL [X n (x)] = –  n X n (x)  (x) ; L [X m (x) ] = – m X m (x)  (x) .(7)Подставляя эти функции в тождество (6), где a = 0 ; b = l , учитывая уравнения (7), икраевые условия (4), обращающие правую часть (6) в ноль, получим( n –lm)  X n ( x ) X m ( x )  ( x )dx = 0.0И, так как  n m , то из этого равенства следует (5).

Что и требовалось.Обратимся теперь к доказательству свойства 2. Возьмем нормированную собственнуюlфункцию X n (x), то есть такую, что  X n ( x )  ( x )dx = 1 (если она не нормирована, то20делением ее на константу ||Xn|| получаем нормированную) и рассмотрим равенствоL [Xn] = –  n  (x) X n (x) . Умножив его на X n (x), и интегрируя по x на отрезке[0, l], получим равенствоll002 X n ( x ) L[ X n ( x )]dx = –  n  X n ( x )  ( x )dx = –  n , так как X n (x) нормирована.Или, в явном виде:dXnd  n = –  X n ( x )  k ( x )d xdx0ldx +l q ( x ) X n ( x ) dx .2(8)0Интегрируя по частям в первом интеграле, получим n = – k ( x) X n ( x)dXndx dXn+  k ( x )  dx0ll0l2 dx +  q ( x ) X n2 ( x ) dx .0(9)Пользуясь краевыми условиями (4), подстановку в этом равенстве приводим к видуk (l )h2 X n2 (l ) + k ( 0)h1 X n2 ( 0) .

Окончательно получим n = k (l )h2X n2 (l )+k ( 0)h1 X n2 ( 0) dXn+  k ( x )  dx0ll2 dx +  q ( x ) X n2 ( x ) dx . (10)0В равенстве (10) k (l ) , k ( 0) , h1 , h2 , k ( x ) , q ( x ) , - неотрицательные величины ифункции по их физическому смыслу. Следовательно, n  0, - что и требовалось.Замечание. В случае более простых краевых условий, чем (4), доказательство проводитсяаналогично. При этом, в случае условий X’(0)= 0; X’(l) = 0 достаточно в (10)положить h1 = h2 = 0 , а в случае условий первого рода X(0) = 0; X (l) = 0 ,равенство нулю подстановки в (9) очевидно, и (10) приобретает вид dXn n =  k ( x )  dx0ll2 dx +  q ( x ) X n2 ( x ) dx .0Что касается пунктов 1 и 4 , то их доказательство проводится преобразованиемдифференциального уравнения (3) к интегральному, используя понятие функции Грина, ипоследующемуисследованиюспектраполученногоинтегральногооператора,сиспользованием соответствующих теорем функционального анализа.Действительно,изкурсаО.Д.У.следует,чтодифференциальноеуравнениеdX d  k ( x) – q(x)X = 0; которое обычно записывается в сокращенном виде какd xdx L[X] = 0, имеет два линейно независимых решения Y1 (x) и Y2 (x) , с помощью которыхстроится функция Грина краевой задачи (3), (4) в видеY ( x )Y2 ( ); x   ;G(x, ) = C  1Y2 ( x )Y1 ( ); x   .(11)Функция Y1 (x) удовлетворяет, при этом правому краевому условию, а Y2 (x) , - левому.Константа C определяется из условия равенства скачка первой производнойG’(x, )| x =  + 0 – G’(x,  )| x =  -- 0 величине k ( ) .

С помощью функции Грина (11)решение любого уравнения L[X] = f (x) на отрезке 0 x  l записывается в видеlX (x) =  G ( x , ) f ( ) d . Если теперь переписать исходное уравнение (3) в виде0L[X] = –  X , то оно преобразуется, с помощью функции Грина, к видуlX (x) = –   G ( x , )  ( ) X ( ) d ,(12)0То есть, к однородному интегральному уравнению Фредгольма второго рода с ядромK(x, ) = G ( x, )  ( ) . При этом, в силу непрерывности функции Грина, ядро K(x, )l lквадратично интегрируемо:2K ( x , ) dxd  A = const. Это означает, в свою0 0очередь, что соответствующий интегральный оператор является вполне непрерывным(компактным) как оператор из L2[0, l] в L2[0, l].

Заметим также, что уравнение (12)можно привести к уравнению с симметричным компактным интегральным операторомпростой заменой решения Xˆ ( x ) =вид ( x ) X (x). Ядро при этом принимает симметричный ( x ) G ( x , )  ( ) . Соответствующие теоремы из функционального анализаутверждают, что спектр такого оператора является действительным и дискретным ( 1 2  ….   n ….,), и ему соответствует дискретный набор собственных функций , X1(x) , X2(x) ,…. X n (x) , …. , нетривиальных решений однородного уравнения (12):lXn (x) = –  n  G ( x , )  ( ) X n ( ) d .0Тем самым, доказывается пункт 1. утверждения.

Что касается четвертого пункта, (теоремыразложимости В.А. Стеклова) то он является следствием теоремы Гильберта – Шмидта отом, что если A являетсясимметричным компактным линейным оператором всепарабельном гильбертовом пространстве H , то в H существует полная ортогональнаясистема собственных векторов оператора A..