Лекции #5 по Мат.Физ (Электронные лекции)

Решение одномерного уравнения теплопроводности на бесконечной прямой.Рассмотрим однородное уравнение теплопроводностиut = a2 uxx ,(1)с начальным условиемu(x, 0) = (x),(2)в том случае, когда влиянием краев области распространения тепла (краев областинепрерывностикоэффициентатеплопроводности)можнопренебречь.Это означает, что рассматривается ограниченный интервал времени [0, T], в пределахкоторого тепловой поток еще не достиг границ. В этом случае удобно рассматривать задачу(1), (2) на бесконечном интервале    x  .

Для решения такой задачи удобно применитьк уравнению (1) преобразование Фурье, потребовав, чтобы решение u(x,t) было равномерно . обозначив образ Фурье решения относительноубывающей функцией при |x|пространственной переменной через1U(, t) = u ( x ,t ) e2   i xdx , получим относительно U(, t) , после двукратногоинтегрирования по частям, О.Д.У. первого порядка видаU t (, t) + a22 U(, t) = 0.(3)Общее решение уравнения (3) запишется в видеC() ea  t22.(4)Неопределенная константа C() должна быть определения в явном виде с помощьюначального условия (2). Для этого возьмем от решении (4) обратное преобразование Фурьеu(x,t) =12 C ( ) ea  t22ei xd ,(5)и, положив в (5) t = 0, получим равенство12 C ( ) ei xd = (x).(6)Из равенства (6) следует, что C() =  (), где() – образ Фурье12  ( x)e i xdxфункции (x).

, задающей распределение температуры u(x,t) в начальный момент времени.Следовательно,1u(x,t) =a  t2  ( ) e22ei xd ,(7)- явное решение поставленной задачи на бесконечной прямой. Подставим выражение для() в интеграл (7):12   ( ) e i d ea  t22ei xd , и изменим порядок интегрирования по  и  : u(x,t) =12 ( )  e i e a22tei xdd .(8)eРассмотрим отдельно внутренний интеграл i e a22tei xd . Выпишем общийпоказатель подынтегральной экспоненты– a2 t + i(x   ) , - полином второго2порядка, и выделим в нем полный квадрат:– [(at ) – 2 a tx   2–x   22a t24a t]–x   224a t= – [a t – x   i]2 –2a t.

Тогда, рассматриваемый интеграл примет вид24a te x   i2x    224a t [ a  t  x   ie]22a td .(9)В оставшемся интеграле сделаем замену переменной интегрирования a t – x   i2a t= , что приводит интеграл к видуex    2  i2a t24a ta tx xe  i2a t2d .(10)В интеграле (10) интегрирование ведется по прямой параллельной действительной оси илежащей в нижней полуплоскости комплексного переменного  на расстоянииx   . Но2a tпоскольку подынтегральная функция является аналитической во всей комплекснойплоскости, то контур интегрирования можно сдвинуть параллельно вверх на тот же отрезок,вплоть до совпадения с действительной осью, придя к интегралуe2d =.Окончательно, получимex    224a t.(11)a tПосле подстановки этого выражения в качестве внутреннего интеграла в (8), получимu(x,t) =ex    224a t2a  t ( ) d .Функцию G(x, ,, t) трех переменных(12)ex    24a 2t4 a t2, - ядро интегрального оператора в (12),называют функцией Грина уравнения теплопроводности на бесконечном интервале    x , или фундаментальным решением.

В этих обозначениях решение задачи (12) может бытьзаписано в видеu(x,t) = G ( x ,  , t )  (  ) d(13)Замечание. Если отсчет времени начинается не с нуля, а с произвольного начальногозначения t 0 , то выражение для функции Грина имеет видex    224a (t  t 0 )4 a ( t  t 0 )2.(14)Если обозначить a ( t  t ) через  , то выражение (14) примет вид20ex    24,4 (15)позволяющий исследовать качественно поведение этой функции при различных значенияхвходящих переменных. Так как при малых значенияхбыстро убывает с ростом величины ( x   )2 экспонента в числителе оченьот нуля и далее, а сама функция (15) четнаотносительно точки x   , то ее график является острым пиком с амплитудой14 быстро стремящимся к нулю по обе стороны от точки x   .

По мере увеличения,амплитуда пика убывает, а область существенного отличия функции (15) от нулясимметрично увеличивается : пик постепенно расплывется, становясь все более пологим.В качестве примера применения формулы (13) рассмотрим задачу с начальным условиемT ; x  0,(x) =  1 T2 ; x  0.Тогда0u(x,t) = T2ex    22d + T1 4a t2a  tex    22d ,4a t2a  t0что легко преобразуется к видуu(x,t) =T20e   x  2d24a tx2a t0T1e +  x  224a tВ интегралах формулы (16) сделаем замену переменногоdx2a tx   2a tu(x,t) =T2x2a t e2d +T1Обозначая неотрицательную величинуed .(16)= . Получим(17)x2a tx2a tпереписать в виде2,= f(x,t), правую часть (17) можно0T2e20T2d –e20T1d + f ( x,t )e2d + f ( x,t )T1e2d .0В интегралах, содержащих отрицательные пределы интегрирования, заменим переменную на –  , и, приводя подобные члены, получимT1  T2e2d +T1  T20так какe 2d =f ( x,t ) e20T  T2T  T2+ 1d = 12f ( x,t ) e2d ,0 / 2.

Окончательно,0u(x,t) =T1  T2 T1  T2x+(),222a tгде (z) =2ze2(18)d , - табличный интеграл ошибок.0Из формулы (18) видно, что предельный тепловой режим призначению(0) = 0 , и предельной температуре u =t   соответствуетT1  T2, т. е. полному ее2выравниванию на всей прямой с данным предельным значением.

Аналогично, при x = 0 (вточке разрыва начальных значений) температуразначениювсегда постоянна и равна тому жеT1  T2.2Задача на полупрямой.Пусть теперь область пространства, где строится решение есть полупрямая 0  x  .Физически это соответствует случаю, когда начальное распределение температуры таково,что за рассматриваемый отрезок времени тепловой поток успевает достичь левого краяобласти, но не достигает ее правого края.

На границе области, как обычно, требуетсяпоставить краевое условие. Будем считать, что если краевое условие было в началенеоднородным ( на границе задан принудительный температурный режим u(0,t) = (t), илиux (0,t) = 1 (t), - заданный тепловой поток), то стандартная редукция к задаче соднородным краевым условием путем добавления к решению явной функции проведена. Тоесть, мы имеем дело с однородным краевым условием первого u(0,t) =0, или второгоux (0,t) =0 рода.Докажем, что для построения решения такой краевой задачи, как и в случае уравненияколебаний струны, достаточно продолжить начальное условие u(x,0) = (x) на полупрямую   x  0 четным или нечетным образом.2Теорема.

Решение краевой задачи ut = a uxx ; u(x, 0) =(x) ; на интервале 0  x  с краевым условием u(0,t) =0 (или ux (0,t) =0) может быть построено как решение задачина всей прямой    x  , если продолжить функцию (x),задающую начальное условие,в область   x  0 нечетным (или четным) образом.   (  x );    x  0;  ( x) ; 0  x   .Действительно, пусть  (x) = ~ (x,t) продолженной задачи в виде (12), и рассмотрим его в точке x =Запишем решение u0:eu~ (0,t) =24a t  2a  t ( ) d = 00e22 2a  t4a t ( ) d +ee224a t  2a  tзаменим в первом интеграле переменную2 (  ) d +e22 2 a  t  ( ) d ,04a tи на   .

Получим22 2 a  t  ( ) d04a t= 0, То есть, u~ (x,t) удовлетворяет краевомуусловию первого рода.В случае четного продолжения (  x );    x  0; (x) = взяв первую производную  ( x) ; 0  x   .~ (x,t) в формуле (12), и положив x = 0 получимпо x от u0u~ x(0,t) =+0ee224a t4a t  t3 (  ) d +  0e224a t4a t  t3224a t4a t  t3 ( ) d = 0, что и требовалось. ( ) d =0e224a t4a t  t3 ( ) d.