Лекции #4 по Мат.Физ.Уравнение колебаний бесконечной струны (Электронные лекции)

Уравнение колебаний бесконечной и полу бесконечнойструны, формула Даламбера, метод отражений.Рассмотрим уравнение колебаний однородной натянутой струныut t = a2 ux x(1)на бесконечном интервале    x  ., с начальными условиями общего видаu(x, 0) = (x) , ut(x, 0) = (x).(2)Такая постановка задачи является, разумеется, идеализированной (бесконечные струныне существуют). Это лишь означает, что начальные возмущения, распространяющиеся поструне с конечной скоростью, не успевают за рассматриваемый конечный отрезоквремени достичь концов струны, и их влияние можно не учитывать, считая струнубесконечной.Уравнение(1),будучиуравнениемгиперболическоготипаспостояннымикоэффициентами, приводится к каноническому виду методом характеристик: вводя новыепеременные  = x + at ; = x  at, приводим уравнение к видуu = 0.(3)Общим решением этого уравнения является функция u( ,) = f() + g( ), или, встарых переменныхu(x , t) = f(x + at) + g(x  at ),(4)где f и g - произвольные дважды дифференцируемые функции.Оставшиеся неиспользованными пока начальные условия (2) нужны для определенияконкретного вида функций fиg.

Удовлетворяя начальным условиям (2),получимсистему уравненийf(x) + g(x) = (x);(5)f ’(x)  g’ (x) =  (x)/a .Проинтегрировав второе уравнение, получим f (x)первообразная функции g (x) =  (x)/a ; где  (x) -(x). Складывая это равенство с первым уравнением (5),получимf (x) = (x)/2 +  (x)/2a ;а из (6) и первого уравнения (5) следует(6)g(x) =(x)/2   (x)/2a .(7)Возвращаясь к равенству (4), получим решение в видеu(x , t) = ( x + at)/2 +  (x + at)/2a +( x  at)/2   (x  at)/2a .Объединяя первое и третье слагаемое этой формулы, а также второе и четвертое,приходим к формуле Даламбераu(x , t) =  x  at     x  at 21+2ax  at  ( ) d ,(8)x  atпоскольку первообразную  (x) всегда можно представить через интегралx ( )d .0Чаще всего начальное возбуждение струны задается либо только начальнымотклонением((x) = 0),- щипковые музыкальные инструменты, либо тольконачальным импульсом (ударом):(x) = 0, - клавиры (рояли, пианино, клавесин,клавикорды).

В первом случае решение задается только первым слагаемым формулы (8), аво втором, - только вторым слагаемым.В первом случае решение состоит из полу-суммы двух волн (любая функция вида f (xat) является распространяющейся волной), бегущих справа налево, - ( x + at),и слеванаправо, -( x  at). Пусть начальное возмущение отлично от нуля на конечноминтервале [x0 ,x1]. На диаграмме (x, t) распространение начального отклоненияизображается в следующем видеtx - at = x0x + at = x1x - at = x1x + at = x0x0x1xПрофиль волнового возмущения остается неизменным на семействе характеристик x at= const,и отличен от нуля лишь в полосах x0  const x1 , что означает распространениеволн в пределах полос, ограниченных характеристиками x at = x 0 , x  at = x1 ,проходящими через крайние точки интервала [x0 ,x1]. Пользуясь данной диаграммой,можно построить суммарный профиль волн в любой фиксированный момент времени.Если, например, профиль имеет вид равностороннего треугольника, то суммарныйпрофиль в разные моменты времени будет иметь видt=0t=(x-x0)/4at=(x-x0)/2at=(x-x0)/aВ случае возбуждения струны только начальным импульсом решение содержит лишьвторое слагаемое формулы (8):u(x , t) =12axa  ( ) d .x  atРассмотрим простейший случай, когда начальный импульс постоянен и отличен от нуляна конечном интервале [x0 ,x1], и его амплитуда равна 2a.

При этом, решение будетразностьюu(x , t) =  (x + at)   (x  at)(9)двух первообразных подынтегральной функции. В данном случае эта первообразная () = . там, где начальный импульс отличен от нуля, и  () = 0 там, где он равеннулю. Следовательно,0 ; x  at  x 0 ; (x + at) =  x  at  x 0 ; x 0  x  at  x1 ; - волновой фронт перемещаетсяx1  x 0 ; x1  x  at ;налево; (x (10)0 ; x  at  x 0 ;at) =  x  at  x 0 ; x 0  x  at  x1 ; - волновой фронт перемещаетсяx1  x 0 ; x1  x  at ;направо. Здесь в средних строчках величина  x0 играет роль неопределенной константы,возникающей при интегрировании, которая выбирается так, чтобы при t = 0 прямаяx  at  x 0 проходила через точку x = x0 .Графически, суммарное возмущение может быть изображено в каждый фиксированныймомент времени сложением этих волновых фронтов, имеющих (с учетом знака) видПоследовательные результаты такого сложения в моменты времени tj = j(x1 – x0) /4a( j = 0, 1, …) изображены на следующих рисункахx0x1t=0x0t= (x1 – x0) /4ax0x0x1x1x1t= (x1 – x0) /2at= 3(x1 – x0) /4ax0t= (x1 – x0) /ax1Задача возбуждения полу бесконечной струны.Случай полу- бесконечного интервала 0  x   с точки зрения физики означает, чторассматриваются лишь такие значения временной переменной t , при которых начальныевозмущения струны не успели дойти до ее правого конца, и его влияние можно неучитывать, считая, что он расположен бесконечно далеко от левого конца.

В этом случае,к исходной постановке, - уравнениям (1), (2), добавляются краевые условия первого иливторого рода: u(0, t) = 0 , или ux(0, t) = 0. (Условие жестко закрепленного края, илисвободного края, например, упругого стержня).Решение такой задачи можно свести к решению ее же на бесконечном интервале    x  , применив метод отражения, суть которого содержится в условии нижеследующейтеоремы.2Теорема (метод отражений).

. Решение краевой задачи ut = a uxx ; u(x, 0) =(x) ;ut(x, 0) = (x) на интервале 0  x   с краевым условием u(0,t) =0 (или ux (0,t) =0)может быть построено как решение задачи на всей прямой    x  , если продолжитьфункции(x), (x), задающие начальные условия, в область    x  0 нечетным(или четным) образом.Вначале рассмотрим случай краевого условия u(0, t) = 0 , и построим функции  (x) и (x) следующего вида:  ( x ); x  0,  ( x ); x  0, (x) = .(x);x0.(x);x0. (x) = Применяя формулу Даламбера (8) с начальными условиями(11) (x) и  (x) на всейчисловой прямой    x  , и обеспечивая, тем самым, удовлетворение уравнению (1)и начальным условиям (2) при x 0 , вычислим, чему равна функция u(x , t) при x = 0:  at     at 1 at ( )d ,или, подставляя сюда явный вид (11)u(0 , t) =+2 a at2функций  ,  ,u(0,t) =  at     at 21 at1 0+ ( )d  (  )d .

Меняя переменную2 a 02 a at на   во втором интеграле, получим1 at1 0u(0 , t) = ( )d + ( )d = 0, то есть, краевое условие выполняется.2 a 02 a atВ случае краевого условия второго рода, построив продолжения начальных условий ввиде ( x ); x  0, ( x ); x  0, (x) =  (x) = .(x);x0.(x);x0.из той же формулы (8) получим производную u x (x , t) в виде(12)u x (x , t) =  x  at     x  at   x  at     x  at +.22aВ точке x = 0:u x (0 , t) =  at     at  at     at +.22aУчитывая продолжение (12) для функциипродолжение для функции (x) , и тот очевидный факт, что четное (x) приводит к нечетному продолжению ее производной,получимu x (0 , t) = at     at 2+  at     at 2a= 0..