Лекции #4 по Мат.Физ. 12 (Электронные лекции)

Линейные и квазилинейные уравнения в частных производных первогопорядка.I. Линейным однородным уравнением в частных производных первого порядка в R3называют равенствоP(x,y,z)uuu+ Q(x,y,z)+ R(x,y,z)= 0.xyz(1)Здесь u = u(x,y,z) – искомая функция, P(x,y,z) , Q(x,y,z) , R(x,y,z) - достаточногладкие функции своих аргументов. Если рассматривать их как компоненты векторного3поля в R , то равенство (1) геометрически означает ортогональность этого векторногополя градиенту u искомой функции. С каждым гладким векторным полем связанопонятие векторных линий (или интегральных кривых) этого поля, определяемых какрешения системы О.Д.У видаdxdydz==,P ( x, y , z )Q ( x, y , z )R ( x, y , z )(2)которая, введением параметра независимого t , может быть переписана в обычном видеdxdydz Q ( x, y, z ) ; P ( x, y, z ) ; R ( x, y , z ) .dtdtdtХорошо известно, что решения системы (2) могут быть выписаны в виде первыхинтегралов1 (x, y, z) = C1 ; 2 (x, y, z) = C2 ; 3 (x, y, z) = C3 .Взяв два из этих интегралов,1 (x, y, z) = C1 ; 2 (x, y, z) = C2 , получимдвухпараметрическое семейство линий, называемых характеристиками .

Покажем, преждевсего, что левая часть любого интеграла (x, y, z) = C системы (2) удовлетворяетуравнению (1). Действительно, вдоль любой интегральной кривой d 0, так как  =C.Следовательно, вдоль такой кривойd=dx +dy +dzxyz 0 . При этом, dx = Pdt ; dy = Qdt ; dz = Rdt,если x = x(t); y = y(t) ; z = z(t) – интегральная кривая в параметрической форме.Подставляя эти выражения в тождество, получим(P+Q +R)dt  0 , или, так как dt  0 ,xyz+ Q(x,y,z)+ R(x,y,z)0.(3)xyzТождество (3) означает, что интеграл удовлетворяет уравнению (1).

Если теперь взятьP(x,y,z)два любых первых интеграла 1 (x, y, z) = C1 ;2 (x, y, z) = C2 системы (2), то(1 (x, y, z); 2 (x, y, z)), где  - произвольная дифференцируемая функция, такжебудет ее интегралом, поскольку вдоль интегральных кривых (1 (x, y, z);2 (x, y, z))= ( C1; C2 ) = C . Получаем, чтоu(x ,y, z) = (1 (x, y, z); 2 (x, y, z))(4)является решением уравнения (1). Покажем, что такое решение является единственным, тоесть, если(x,y,z) - решение уравнения (1), то существует такая дифференцируемаяфункция (p, q) двух переменных, что(x,y,z) = (1 (x, y, z); 2 (x, y, z)).Действительно, так как все три функции(x,y,z) ; 1 (x, y, z); 2 (x, y, z) являютсярешениями уравнения (1), тоP+Q +R = 0;xyz 1 1 1P+Q +R = 0;xyz(5) 2 2 2P+Q +R = 0.xzyРавенства (5) – однородная линейная система трех алгебраических уравненийотносительно функций P(x,y,z) , Q(x,y,z) , R(x,y,z), которые, очевидно, не равны нулютождественно.

Следовательно, определитель этой системы должен быть равен нулю:x 1x 2xy 1y 2yz 1= 0.z 2zНо этот определитель является якобианом(6)D ( , 1 , 2 )функций (x,y,z) ;D ( x, y, z )1 (x, y, z);2 (x, y, z), причем, ввиду независимости первых интегралов 1 (x, y, z); 2 (x, y, z) , покрайней мере, один из миноров второго порядкаD ( 1 , 2 );D ( x, y )D ( 1 , 2 ) D ( 1 , 2 );D ( x, z )D( y, z )отличен от нуля. В курсе математического анализа доказывается теорема о том, что в этойситуации функция(x,y,z) является функционально зависимой от функций 1 (x, y, z);2 (x, y, z). Что выражается в виде равенства =(1 (x, y, z); 2 (x, y, z). Это и доказывает наше утверждение.II.

Нелинейным (квазилинейным) неоднородным уравнением в частных производныхпервого порядка называют уравнение видаP(x,y,z)zz+ Q(x,y,z)= R(x,y,z) .xyЗдесь z = z(x, y) – искомое решение,(7)от которого зависят также коэффициентыуравнения (7). Это уравнение можно привести к линейному однородному, если искатьрешение в виде неявной функцииu(x,y,z(x, y)) = 0.(8)Действительно, если z(x, y)) – решение уравнения (7), превращающее равенство (8) втождество, топроизводныхP(x,y,z)uu  z+xz x0;uu  z+yz y0;и подставляя значенияzu u  zu  u=/ ;=/, в уравнение (7), получим уравнение (1):xx z yy zuuu+ Q(x,y,z)+ R(x,y,z)= 0.xyzСледовательно, процедура построения решения уравнения (7) сводится к предыдущей, норешение z = z(x, y) находится как неявная функция(1 (x, y, z); 2 (x, y, z)= 0.(9)III.

Предыдущие решения не были единственными, в силу произвольности функции  .Задачи на построение единственного решения ставится следующим образом.Найти решение уравнения (1), или (7), проходящее через кривую, заданную уравнениями1 ( x, y, z)= 0, 2 ( x, y, z)= 0.Задача решается следующим образом. Если два первых интеграла 1 (x, y, z) = C1 ;2 (x, y, z) = C2 системы (2) построены, составляется система четырех уравнений1 (x, y, z) = C1 ;2 (x, y, z) = C2 ;1 ( x, y, z)= 0 ;2 ( x, y, z)= 0,(10)из которой последовательно исключаются переменныеx, y, z.

Остается одноравенство( C1; C2 ) = 0 , или C1 =  (C2 ), связывающее константы C1; C2 , причемфункция, или  явно определена. После этого единственное решение задачивыписывается в виде (4), если решается задача с уравнением (1), или в виде (9), еслирешается задача с уравнением (7).Замечание.Задача может иметь неединственное решение, если окажется, что двапоследних равенства системы (10) являются первыми интегралами системы (2), то есть,линия, ими определяемая является характеристикой. В этом случае через такую линиюпроходит бесконечное множество интегральных поверхностей.Примеры.1.

Найти общий интеграл уравненияz z+= 1.x  yСоставляя характеристическую систему уравнений dx = dy = dz , находим два первыхинтеграла этой системы в виде x – y = C1 ; z – x = C2 . Общее решение выписываетсяпри этом в виде( x – y ; z – x) = 0, где  - произвольная дифференцируемаяфункция. Можно выписать решение и в виде, разрешенном относительно z :z = x + ( x – y ), где  - также произвольная дифференцируемая функция.2. Построить интегральную поверхность уравненияxzz– y= 0, проходящую через кривую x = 0 ; z = y2 .yxИнтегрируя систему уравненийdydzdx==, получаем два первых интеграла:x0yz = C1 ; x2 + y2 = C2 .

Исключая x , y , z из системы уравненийz = C1 ; x2 + y2 = C2 ; x = 0 ; z = y2 , получаем связь между C1 и C2 в виде C1 =C2 , откуда следует z = x2 + y2 ..