Лекции #3 по Мат.Физ. (Электронные лекции)

Лекция 31.8. Поля точечных источников.Рассмотрим теперь, к каким решениям приводят скалярные стационарные волновыеуравнения (уравнения Гельмгольца)~~U + k 2 U = 1~ p0(М, М0); V + k 2 V = - 1 m0 (М, М0),i i в свободном пространстве двух или трех измерений, для функций Боргниса или потенциаловДебая, в случае Е – поляризованного поля, когда вектор p0 равен p0e3 , или Н –поляризованного поля, когда вектор m0 равен m0e3 , соответствующие возбуждению поляточечным источником (электрическим, или магнитным диполем). Выбирая декартовупрямоугольную систему координат, в которой (М, М0 ) = (x - x0)(y - y0)(z - z0), вслучае трех измерений, и взяв преобразование Фурье по всем трем координатамUˆ ( 1 , 2  3 ) = u x, y, z  eRi[ 1 x   2 y   3 z ]dxdydz ,3получим алгебраическое уравнение вида~( k 2 -  12 -  22 -  32 ) Uˆ ( 1 , 2  3 ) = ~ 1 3 / 2 p0 ei ( 1 x 0   2 y 0   3 z 0 ) ,i  (2 )то есть следующее выражение для образа Фурье Uˆ ( ,  ) функции U1Uˆ ( 1 , 2  3 ) =23i ( x   y   z )1p0 ~e 1 0 2 0 3 0 ,i ~(2 )3 / 2k 2   12   22   32после чего U выписывается в виде1e i[ 1 ( x  x 0)   2 ( y  y 0)   3 ( z  z 0 )]p0 d 1 d 2 3~2222i ~(2 )33k 1   2  3R(1.8.1)Введем полярные координаты в пространствах переменных (x,y,z) и ( 1 , 2  3 ) :U (x, y, z; x0 , y0 , z0) =x – x0 = R sin cos , y – y0 = R sin sin , z – z0 = R cos ;  1 =  sin cos ,  2 = sin sin ,  3 =  cos ; где R = [(x - x0) 2 + (y - y0) 2 + (z - z0) 2] ½,  =(  12 1/2 22   32 ) .

Тогда интеграл в (1.8.1) сведется к1p0~i  (2 )3  2 i R cose   ~2 2 sin d dd ,k  2где cos = cos cos + sin sincos( - ) . Для упрощения дальнейших вычисленийпредположим, что источник расположен на оси z. Тогда  = 0 и cos = cos , и интегралыпо углам  и  легко вычисляются:0 0 01p0~  (2 )2 R0e i R e  i R~ k22d .Разбивая последний интеграл на два, и делая во втором из них замену переменногополучим на -,U (x, y, z; x0 , y0 , z0) =1e i Rp0 d . ~(2 )2 R    2  k~ 2(1.8.2)Интеграл (1.8.2) вычисляется через вычет в полюсе первого порядка в точкеприводит к выражению~ = k , что~i kRU (x, y, z; x0 , y0 , z0) =  p0 e,(1.8.3)i ~ 4 R222 1/2где R = [(x - x0) + (y - y0) + (z - z0) ] , - расстояние от точки источника до точкинаблюдения. Функциюe~i kRназывают функцией Грина уравнения Гельмгольца4 RU +~k 2 U = (М, М0) в свободном пространстве, или его фундаментальным решением.

Еслиисточник расположен в начале координат, R совпадает с радиусом сферической системыкоординат r.Рассмотрим теперь схему построения функции Грина в двумерном (плоском) случае, когдаполе возбуждается, например, бесконечной нитью переменного тока, параллельной оси OZ , иволновое уравнение имеет вид 2U  2U ~ 2 k U = 1~ p0(x - x0)(y - y0) .22xyi (1.8.4)Возьмем преобразование Фурье от уравнения (1.8.4) по переменной x : 2U~2k(-  2 )U =2y1p0 ei x 0 (y - y0) .(1.8.5)~2 i Согласно общему методу построения функции Грина обыкновенного дифференциальногоуравнения,eU(  ,y)выписывается~ i k 2   2 y однородногочастныерешенияe~i k 2 2 y ;уравнения в виде i k~ 2   2 ( y  y0 )eU(  ,y) = C  e iчерез~k 2   2 ( y0  y );y  y0 ;;y  y0 .При этом, константа C выбирается из условия равенства скачка первой производной решенияU(  ,y) в точке y = y0 коэффициенту при  - функции в уравнении (1.8.5).

В результатеполучим:U(  ,y) = 1p0 ei x 0 e~2 2  ~i k 2   2 y  y0~k 2  2.Взяв обратное преобразование Фурье от полученного выражения, приходим к решению видаU (x, y; x0 , y0) = 14  ~p0 e~i k 2   2 y  y0ei ( x  x 0 )~k 2  2d.(1.8.6)Сделав в (1.8.6) замену переменной интегрированияU (x, y; x0 , y0) = 14  ~p0e~ / k =  , получим~i k [ 1   2 y  y0   ( x  x 0 )]12d.Для дальнейшего упрощения подынтегрального выражения, сделаем еще одну заменупеременного интегрирования  = cos  , что возможно на всем пути интегрирования( -  ,  ) лишь в случае комплексности переменной  .

Построим образ C действительнойоси ( -  ,  ) на плоскости комплексного переменного  при таком отображении. Разделяядействительную и мнимую части в равенстве  = cos(0 + i 1), получимcos0 ch1 =  ; sin0 sh1 = 0.(1.8.7)Очевидно, что отрезок [-1; 1] действительной оси  отображается при этом в отрезокдействительной оси [-; 0] плоскости  , как наиболее близкий к началу координат, так какоба уравнения удовлетворяются значениями 1 = 0; -   0  0. Полу бесконечныйинтервал ( -  , - 1] отображается в вертикальную полупрямую 0 = -  ; 0   1   , накоторой удовлетворяются оба уравнения (1.8.7), а полу бесконечный интервал, [ 1 ,  ) - вотрицательную часть мнимой оси 0 = 0 ; - .

  1  0 :i1C0-0В результате, выражение для U (x, y; x0 , y0) упрощается доU (x, y; x0 , y0) =14  ~p0  e~i k [sin  y  y0  cos ( x  x 0 )]d(1.8.8).CДальнейшее упрощение выражения (1.8.8) сводится к введению декартового расстоянияR = [(x - x0) 2 + (y - y0) 2] 1/2 между точкой источника и точкой наблюдения, что позволяетпереписать это равенство в видеU (x, y; x0 , y0) =14  ~p0 (x  x0 )y  y0~i k R[sin  cos]RRed.CНетрудно показать, что независимо от знака модуля | y - y0| , дроби в показателе экспонентымогут быть представлены как косинус и синус угла , между направлением вектора R иположительным направлением оси абсцисс, что дает возможность переписать интеграл в виде~U (x, y; x0 , y0) =1e i k R cos(   ) dp0 ~4  C.Сделав замену переменного    +, получим выражениеU (x, y; x0 , y0) =14  ~ep0~i k R cosd(1.8.9).C  С интегралом по прежнему контуру, сдвинутому вдоль действительной оси на величину угла .

Покажем, что на самом деле выражение (1.8.9) не зависит от угла  , зависимость откоторого в (1.8.9) может быть опущена. Для этого исследуем область сходимости интеграла в~(1.8.9), определяемую действительной частью показателя экспоненты Re(i k Rcos) =~k Rsin0 sh1. Эта область очевидно определяется неравенством~k Rsin0 sh1  0,и состоит из полу бесконечных полос {(2k + 1)  0  2(k + 1); 1  0} ; {2k  0 (2k + 1); 1  0}.i1-02340CКонтур C +  должен проходить в области заштрихованных полос, в пределах которых онможет сдвигаться и деформироваться произвольным образом, так как интегрирование идет вобласти голоморфности подынтегральной функцииe~i k R cos . Поэтому,сдвиг  можно взятьпроизвольным, в том числе и равным нулю.

В дальнейшем будем обозначать контуринтегрирования C через W1. В результате, получимU (x, y; x0 , y0) =14  ~p0  e~i k R cosd(1.8.10).,W1(1)~то есть, интегральное представление функции Ханкеля H 0 (k R) первого рода, нулевогопорядка, умноженное на коэффициент 1 p0 . Здесь декартово расстояние между точками4 ~22 1/2наблюдения и источника R = [(x - x0) + (y - y0) ] . Иначе говоря, фундаментальноерешение (функция Грина свободного пространства) уравнения (1.8.4) в плоском случае есть1 p H (1) (k~ R) .

Если рассматривать уравнение (1.8.3) без коэффициента 1 p перед  000i ~4 ~функцией (что соответствует единичному значению дипольного момента p0 , и волновомууравнению непосредственно относительно компоненты электрического поля: U = Ez , как вслучае неоднородного уравнения (1.4.2)), стандартное выражение для фундаментального~2(1) ~решения уравнения U + k U = (М, М0) в плоском случае имеет вид i H 0 (k R) .4~(1)Отметим теперь общий смысл представления функции Грина i H 0 (k R) плоского случая в4виде контурного интеграла (1.8.10). Подынтегральная функция~e i k R cos есть плоская волнапри каждом фиксированном значении . Если под контуром интегрирования W1 пониматьпрямоугольный путь интегрирования на первом рисунке, полу бесконечные ветви которогопроизвольно расположены в заштрихованных полу полосах, то лишь на его действительномучастке эта плоская волна имеет единичную амплитуду и действительную фазу, то естьявляется плоской волной в обычном смысле (однородной плоской волной).

На полубесконечных же отрезках интегрирования, где  является комплексным, это выражение имеет~переменную амплитуду e  k R sin  0 sh 1 и фазу i k~R cos  ch , и называется неоднородной01плоской волной. Таким образом, представления рассматриваемой функции Грина вида (1.8.10)есть разложение цилиндрической волны в непрерывный спектр однородных и неоднородныхплоских волн.Рассматривая эту функцию при R   , и используя асимптотическое приближение дляфункции Ханкеля при больших значениях аргумента, получим~2i ( k R   / 4)iU (x, y; x0 , y0) .(1.8.11)~4 k ReТо есть, поле приобретает вид цилиндрической волны с амплитудой, убывающей- 1/2пропорционально R.Аналогично, фундаментальное решение e~i kRтрехмерного случая имеет вид сферической4 R-1волны, убывающей по амплитуде с ростом R как R .Рассмотрим еще характер поведения компонент полей E и H в полярной или сферическойсистеме координат на больших расстояниях от источника.

Для этого удобнее переписать22выражение для расстояния R в полярной или сферической системе координат: R =[r + r0–2 r r0 cos ( -  0)] 1/2; или R =[r 2 + r0 2 - 2 r r0 cos] 1/2 , где = cos cos0 + sin sin0 cos( - 0). При r  1, для расстояния R можновоспользоваться приближением R  r - r0 cos, и аналогичным, - в плоском случае. Вплоском случае, используя формулы предыдущего пункта для компонент полейэлектрического и магнитного типа в частном случае круговой цилиндрической системыкоординат ( 1 = r, , 2 =  ), и представление (1.8.4),получим, чтоE (Ez ) = О (r - 1/2 ); H (Hz ) = О (r - 1/2 ); Er ( H r ) = О (r - 3/2 ).Аналогично, в трехмерном случае можно получить оценки видаE (E ) = О (r - 1 ); H (H ) = О (r - 1 ); Er ( H r ) = О (r - 2 ).Иначе говоря, на больших расстояниях от источника продольные компонентыэлектромагнитного поля убывают много быстрее поперечных, и поле становится практическипоперечным..