Лекции #2 по Мат.Физ (Электронные лекции)

Лекция 21.6 Потенциалы электромагнитного поля. Поля точечных источников.Наличие границ раздела сред (границ препятствий), на которых необходимо ставитьдополнительные граничные (краевые) условия, сильно осложняет математический аппаратэлектродинамики. В частности, компоненты электрического и магнитного полей оказываютсясвязанными граничными условиямив случае достаточно произвольных границ, и задачапостроения полей E или H не распадается на независимые скалярные задачи для волновыхуравнений (1.4.2), (1.4.3) относительно отдельных компонент этих полей.

Например, в случаеграничного условия (1.5.3), на поверхности металла S оказываются связанными три компонентыэлектрического поля. В случае условий (1.5.2) на поверхности диэлектрика оказываютсясвязанными шесть компонент полей E , и столько же компонент полей H (внешних e иeвнутренних i). Импедансное краевое условие (1.5.4) связывает три компоненты поля E с тремяeкомпонентами поля H .Для преодоления возникающих трудностей в теории граничных задач электродинамики развитспециальныйаппарат,позволяющийуменьшитьчисловектор-функций,подлежащихопределению., путем введения вспомогательных искомых векторных и скалярных полей,называемых потенциалами.Рассмотрим, например, стационарную систему Максвелла (1.3.2), (1.3.3) в предположенииоднородности средыrot H + i ~ E = j e ;rot E - i H = 0,соответствующую случаю возбуждения лишь токами электрического типа, и введем векторноеeeполе A , называемое векторным потенциалом электрического типа, и такое, что H = rotA .Подставляя это выражение в оба уравнения системы, получимrot rotAe + i ~ E = j e ;rot ( E - i Ae) = 0.Из последнего равенства следует существование такого скалярного поляскалярным потенциалом электрического типа, чтоe, называемогоE - i Ae = - e .(1.6.1)i Ae - Заменяя электрическое поле в первом уравнении системы наeи пользуясьтождеством (1.4.1), получим~ (div Ae - i ~  e) -  Ae - k 2 Ae = j e .eПоскольку поля A и(1.6.2) e пока произвольны, с целью упрощения равенства (1.6.2) их подчиняютдополнительному условиюdiv Ae - i ~  e = 0,(1.

6.3)называемому калибровкой Лоренца. После этого, из (1.6.2) следует неоднородное волновоеуравнение для векторного потенциала~Ae + k 2 Ae = - j e .(1.6.4)Возьмем теперь уравнение (1.2.3) и подставим в него выражение для электрического поля E изравенства (1.6.1)div(- ~  e + i ~  Ae) = .eРаскрывая скобки и заменяя div A на i ~ eиз (1.6.3), получим неоднородное волновоеуравнение для скалярного потенциала~ e + k 2  e = -  / ~ .(1.6.5)Как уже отмечалось выше, в задачах электродинамики статические заряды, как правило, нерассматриваются. В этом случае уравнение (1.6.5) становится однородным.Если рассматривать симметричный случай системы Максвеллаrot H + i ~ E = 0 ;rot E - i H = j m,с возбуждением поля токами только магнитного типа, то совершенно аналогично вводятсявекторный A и скалярный  потенциалы магнитного типа: E = rotA , связанные калибровкойmmmЛоренцаdiv Am + i   m = 0,(1.6.6)mприводящей к неоднородному волновому уравнению для A ,~Am + k 2 Am = - j m ,(1.6.7)и однородному~ m + k 2  m = 0,(1.6.8)для  .

При этом, магнитное поле H выражается через A , mmmв виде H = - i~ A m - m .В общем случае неоднородной системы (1.3.2), (1.3.3), когда возбуждение задают обасторонних тока, - электрический и магнитный, воспользовавшись принципом суперпозиции,emможно выразить поля E и H через два векторных потенциала A и A . При этом, скалярныепотенциалы e, mможно исключить из рассмотрения, воспользовавшись калибровочнымисоотношениями (1.6.3), (1.6.6), что приводит к выражениям:E = i  Ae -1grad (div Ae) + rot Am;~i (1.6.9)1H = - i ~ Am +grad (div Am) + rot Ae.i (1.6.10)Отметим еще, что в случае нестационарной системы уравнений Максвелла потенциалы вводятсяаналогичным образом. Так, в предположении постоянства параметров среды, в нестационарномemслучае вместо волновых уравнений (1.6.4), (1.6.7) для A и Aполучаются нестационарныеволновые уравнения с потерямиA e2AeA - - = - j e,2tt(1.6.11)A m2AmA - - = - j m;2tt(1.6.12)emа калибровочные соотношения имеют видdiv A + e+   e = 0,tdiv Am - m= 0.teЕсли электромагнитное поле возбуждается токами только одного типа (электрическими илимагнитными), введение векторного и скалярного потенциаловсводят векторную задачуэлектродинамики, требующую нахождения, в общем случае, шести скалярных функций(компонент электромагнитного поля), к четырем искомым скалярным функциям.

Можноуменьшить это число еще на единицу введением другого типа потенциалов: векторныхпотенциалов Герцаeиmэлектрического и магнитного типов. Для этого достаточно определить скалярныепотенциалы  , e e = - div e ,mкак дивергенции вспомогательных векторных ролей  , emв виде m = - div m .Калибровочные соотношения Лоренца останутся при этом справедливыми, если положитьAe = - i ~  e ,(1.6.13)A m = i   m.(1.6.14)emПереписывая волновые уравнения (1.6.4), (1.6.7) для A и Aчерез  и emс использованиемравенств (1.6.13), (1.6.14), получим~ e + k 2  e = 1~ j e ,(1.6.15)~ m + k 2  m = - 1 j m .(1.6.16)i i Решая отдельно каждую из двух задач, соответствующую возбуждению поля одним типомeстороннего тока ( j , или jm), можно каждый раз свести ее к трем искомым скалярнымфункциям (компонентам потенциалов Герцаeилиm).

Решение для общего случаявозбуждения может быть получено, как и прежде, используя принцип суперпозиции, чтоприводит к следующим выражениям для полей E и H, имеющим более компактный вид, если вравенствах (1.6.9), (1.6.10) заменить векторные потенциалы потенциалами Герца:~E = k 2  e + grad (div  e) + i  rot  m;~H = k 2  m + grad (div  m) - i ~ rot  e.(1.6.17)(1.6.18)Рассмотрим теперь подробнее выражения для правых частей системы Максвелла (1.3.2), (1.3.3)je; jm, наиболее характерные для практических задач электродинамики. Согласно общемуподходу, принятому в задачах математической физики для дифференциальных уравнений,ключевой является задача с точечными источниками возбуждения, то есть задача для функцииГрина.

Задачи с любым другим непрерывным распределением сторонних токов решаются вявном виде путем интегрирования произведения плотности распределения источников нафункцию Грина по области локализации источников. В случае системы Максвелла точечнымисточником поля электрического типа является электрический диполь с плотностьюэлектрического тока je(M) = p0  (M, M0), где p0 - постоянный вектор, называемый дипольныммоментом электрического диполя, а  (M, M0), - дельта функция Дирака. Вектор p0 совпадает понаправлению с прямой, проходящей через пару разноименных колеблющихся зарядов диполя.

Вслучае возбуждения электромагнитного поля источником магнитного типа (магнитнымдиполем), плотность тока определяется в виде jm= m0  (M, M0), где m0 – постоянный вектор,называемый дипольным моментом магнитного диполя. Вектор m0 ортогонален плоскости малоговитка с током.1.7. Система Максвелла в ортогональных криволинейных координатах.Использование систем ортогональных криволинейных координат при постановке и решенииграничных задач электродинамики преследует цель максимально упростить вид граничныхусловий. Обычно выбирается та система ортогональных координат, в которой поверхностьразрыва свойств среды (или поверхность рассеивающего объекта) описывается в новыхортогональных координатах уравнениемi= const , где  i - одна из трех криволинейныхкоординат. Помимо этого, применение криволинейных ортогональных систем координатпозволяет, в ряде случаев, дополнительно уменьшить число независимых скалярных функций, решенийволновогоуравнения,черезкоторыеявновыражаютсявсекомпонентыэлектромагнитного поля, сведя их до двух функций (скалярных потенциалов).Напомним выражения для основных дифференциальных операторов векторного анализа вкриволинейных ортогональных координатах.

Если обозначить новые ортогональные координатычерез1= 1(x, y, z) , 2= 2(x, y, z), 3= 3(x, y, z); а единичные взаимноортогональные орты этой координатной системы (каждый из которых ортогонален поверхности i = const) через e1 , e2 , e3 , то основные векторные дифференциальные операторы примутвидgrad u = e1 uh1 1divA =1h1 h2 h3+ e2  u + e3  u ;h2  2h3 3 h2 h3 A1    h1 h3 A2    h1 h2 A3  ; 2 3  11e1h2 h3rotA = 1h1 A11e2h1 h3 2h2 A21e3h1 h2. 3h3 A3(1.7.1)(1.7.2)(1.7.3)Здесь h 1 ( 1 ,  2 ,  3 ) , h 2 ( 1 ,hi = x  i2   y  i2   z  i 2 ,  3 ) , h3 ( 1 ,  2 ,  3 ) - коэффициенты Ламэ:2 . При этом, оператор второго порядка div(gradu),совпадающий в декартовых координатах с оператором Лапласа  , имеет видdiv(gradu) =1h1 h2 h3   1u h h 23h1  1   2uh h13h2  2u  (1.7.4)   h h   1 2 h  3 33 Среди всех возможных ортогональных систем координат наибольший интерес представляют те,коэффициенты Ламе которых удовлетворяют специальным условиям:h 1 = g1 ( 1 ,  2 , )g( 3 ); h 2 = g2 ( 1 ,  2 , )g( 3 ); h3  1,что эквивалентно условию(1.7.5)  h 2   h 1  0 .

В этой ситуации возможно ввести два3  h 1 3  h 2 скалярных потенциала U и V, через которые выражаются в явном виде все шесть компонентэлектромагнитного поля. В самом деле, рассмотрим поля двух типов:E e = rotrot(e3 U); H e =  i ~ rot(e3 U);(1.7.6)E m = i  rot(e3 V); H m = rotrot (e3 V),(1.7.7)и стационарную однородную систему Максвелла с постоянными параметрами среды. Первое изуравнений системы rot H + i~ E = 0 очевидно удовлетворяется полями (1.7.6) при любойдважды непрерывно дифференцируемой функции U, что проверяется их непосредственнойподстановкой в это уравнение. Подставляя поля (1.7.6) в выражение rot E - i H ,соответствующее второму уравнению системы, приводим его к виду~rot[rotrot(e3U)  k 2 e3U].(1.7.8)Следовательно, второе уравнение системы Максвелла будет удовлетворено, если функция Uудовлетворяет уравнению~rotrot(e3U)  k 2 e3U = 0.(1.7.9)Чтобы получить одно скалярное уравнение относительно функции U, преобразуем(1.7.9),расписав операцию rotrot(e3U) с помощью символического детерминанта (1.7.3):  h2  h3U  +е 12h1 h3  3h 2 h3  3  h3 h1 1 е1 1e31h1 h2   1 h2 h3U   h h   1 2 1 3 h1  h3U  h h  2  3 2 h1  h3 U  h h  2  2 3 ~ 2  k e3U = 0.Пользуясь свойствами коэффициентов Ламэ (1.7.5), то есть тем, что h3h2h1;h1(1.7.10) 1 , и отношениямогут быть вынесены за операцию дифференцирования по переменной 3 , добавляяh2и вычитая в фигурных скобках слагаемое(1.7.2), dive3 =  h1 h2  h3U  , а также учитывая, что, согласно3  h3 3 1 h1 h2  , приводим равенство (1.7.10) к видуh1 h2  3 e3 U + gradU + e U div e  k~ 2 e U = 0.333 3 3(1.7.11)Второе слагаемое в (1.7.11) можно исключить, так как мы требуем выполнения равенства(1.7.8).В результате, получаем одно скалярное уравнение относительно функции U :~U  U div e3 + k 2 U = 0. 3(1.7.11)Аналогично, подставляя в систему Максвелла поля (1.7.7), и убеждаясь, что второе уравнениеrot E - i H = 0 удовлетворяется автоматически, получаем для функции V скалярноеуравнение~ V  V div e3 + k 2 V = 0. 3(1.7.12)Функции U и V носят название электрической и магнитной функций Боргниса.