Лекции #2 по Мат.Физ. Приведение уравнений в частных производных второго порядка к каноническому виду (Электронные лекции)

Приведение уравнений в частных производных второго порядка кканоническому виду.Общее квазилинейное уравнение в частных производных второго порядка имеет видa11 u x x (x, y) + 2a12 u x y (x, y) + a22 u y y (x, y) + (x , y ,u , u x , u y ) = 0,(1)где ai j = ai j (x, y). Если  - линейная функция своих аргументов u , u x, , u y , то уравнение(1) называют линейным. Преобразование уравнения (1) к простейшему виду производитсязаменой переменных =  (x, y) ;  =  (x, y).(2)Все частные производные пересчитываются при этом в новых переменных ;  , полагаяu = u( (x, y);  (x, y)).

Тогда,u x = u x + u x ; u y = u y + u y;(3)u x x = u   x x + u   ( x )2 + 2 u   x  x + u ( x )2 + u   x x ;(4)u y y = u   y y + u   ( y )2 + 2 u   y  y + u  ( y )2 + u   y y ;(5)u x y = u   x y + u   x  y + u  x  y + u   x y + u  y x + u  x  y.(6)Подставляя (3) – (6) в уравнение (1), получим[a11( x )2+ 2 a12 x  y+ a22 ( y )2 ] u+ 2[a11 x  x + a12( x  y +  y x ) +a22 y  y ] u  + [a11( x )2 + 2 a12 x y + a22 (y )2 ] u  + ( , ,u ,u  ,u  ) = 0,или,a11 u  + 2 a12 u  +a 22 u + ( , ,u ,u  ,u  ) = 0,(7)гдеa11 = a11( x )2+ 2 a12 x  y + a22 ( y )2a12= a11 x  x + a12( x  y +  y x ) + a22 y  ya 22= a11( x )2 + 2 a12 x y + a22 (y )2.Выражение дляa11 может быть преобразовано к видуa11 (y) [   x y22p2 2 a12a112 a12  xa 22 ].

Обозначая x = p, составим квадратное уравнениеa11  ya11ypa 22a11= 0,(8)корнями которого являютсяp1,2 = a12 a12  a11 a 2 22a11Следовательно,a11.(9)a11 преобразуется к видуa12 = a11 ( y) [ x +ya12  a11 a 2 222a112a12  a12  a11 a 2 2x][+].a11y(9)Выражение для a 22 преобразуется к такому же видуxa 2 2 = a11 (y) [ 2+a12 ya12  a11 a 2 22a11][x+ya12 a12  a11 a 2 22a11].(10)Обращение в ноль каждой из скобок в (9), (10) эквивалентно следующим уравнениям 1-гопорядка в частных производныхx +a12 a12  a11 a 2 22a11y = 0 ;x +a12 a12  a11 a 2 22a11 y = 0,(11)x +a12 a12  a11 a 2 22a11y = 0 ; x +Первый возможный случай: a12  a11 a 2 22a12 a12  a11 a 2 22a11 y = 0. 0 при всех x , y .

Тогда существуют дванезависимых решения, соответствующие системеdx =a11a12 2a12 a11 a 2 2dy ; dx =a11a12 2a12 a11 a 2 2dy , или2dy a12  a12  a11 a 2 2dy a12  a122  a11 a 2 2=;=.dxdxa11a11Общие интегралы (x, y) = C1 ;(12) (x, y) = C2 уравнений (12) называют характеристиками,а сами уравнения (12), - характеристическими уравнениями. Если принять за новыенезависимые переменные = (x, y);  =  (x, y) , то оба коэффициентаобратятся в ноль, и в новых переменных уравнение (7) приобретет вид2 a12 u  + ( , ,u ,u  ,u  ) = 0,a11,a 22или~ ( , , u, u , u )u  ==  ( , ,u ,u  ,u  ) / 2 a12 .(13) 0 при всех (x,y), позволяющему привести уравнение (1) к виду (13),В случае a12  a11 a 2 22оно называется уравнением гиперболического типа, а (13) является его канонической(наиболее простой) формой.Следующий случай : a12  a11 a 2 2 = 0 при всех (x,y), - уравнение параболического типа.2В этом случае оба уравнения (12) имеют одно и то же решение, и можно ввести только однуновую переменную (x, y) = C1 =  .

Поэтому, в качестве второй переменной  можно взять (x, y), независимую от (x, y) . Так как из условия обращения в нольлюбую функциюдискриминанта a12  a11 a 2 2 следует, что a12 =2a12= a11 x +xa 2 2 ( xa11ya 2 2 тоa11+  y x ) + a22 y  y , что преобразуется впроизведение двух скобокa12= ( a11  x +a 22При этом, коэффициент( a11  x +a 22 y )( a11  x + a 2 2  y).a11( x )2 + 2 a11a11 =(14)a 22 x  y + a22 ( y )2 = y )2 , и обращается в ноль, ввиду выбора в качестве  характеристики(x, y) = .

Следовательно, и первая скобка в равенстве (14) обращается в ноль, то есть,a12= 0. Следовательно, ненулевым остается только коэффициентa 2 2 , и каноническаяформа уравнения (1) параболического типа имеет видu  =~ ( , , u, u , u )=  ( , ,u ,u  ,u  ) /Последний случай a12  a11 a 2 22имеют вид  x +a12  i Da11(15) 0 при всех (x,y), - уравнение эллиптического типа.В этом случае имеем две характеристики– сопряженными величинами:a 22 . = (x, y);  =  (x, y), являющиеся комплексно = 0 + i 1;  =  , так как характеристические уравненияy = 0 ;x +a12  i Da11 y = 0, где D = | a122  a11 a 22 |, и если = (x, y) есть решение первого из них, то, очевидно  , - решение второго. Следовательно,уравнение эллиптического типа (1) приводится к каноническому видуu =~ ( , , u, u , u ) .(16)Вводя дифференциальные операторы первого порядка1 i2   0 1 ; перепишемu в виде22=1 i2   0 1 ;=2 1 операторы, получаем u  =  2 4  0 12.

Используя введенные дифференциальные . Отсюда следует вторая каноническая формауравнения эллиптического типа~  0  1 u =  ( , , u, u , u ) ,с оператором Лапласа    =0 1литературе..(17)2 2  2   21 0=42 , обычно употребляемая в.