Лекции #1 по Мат.Физ (Электронные лекции)

Лекция 1.1.1. Уравнения электромагнитного поля.Согласнотеориимакроскопическойэлектродинамики,электромагнитноеполе,распространяющееся в некоторой непрерывной среде, описывается четырьмя векторнымиполями, зависящими от точки пространства M и времени t : E(M,t) , D(M,t) ; H(M,t) , B(M,t), гдеE(M,t) – вектор напряженности электрического поля; D(M,t) – вектор электрической индукции;H(M,t) – вектор напряженности магнитного поля; B(M,t) – вектор магнитной индукции, изависит, кроме того, от еще одного векторного поля j(M,t) – плотности электрического тока, иодного скалярного поля(M,t) – плотности электрического заряда.

Связь всех этих полеймежду собой определяется классической системой уравнений Максвелла;rot H -D=j;t(1.1.1)rot E +B=0;t(1.1.2)divD =  ;(1.1.3)divB = 0 ;(1.1.4)где при записи использована система единиц СИ.Однако, система (1.1.1) – (1.1.4) не полна, поскольку число искомых функций (компонентвекторных полей) превышает число уравнений.

Поэтому, данная система уравнений должна бытьдополнена соотношениями, определяющими связь векторных полей D и E; а также B и H. Этизависимости D = D(E); B = B (H), нелинейные, в общем случае, характеризуют реакцию средына приложенное электромагнитное поле {E, H}, и называются материальными уравнениямисреды. Считается, что в вакууме D совпадает с E, а B с H . Мы ограничимся случаем линейныхзависимостей этих векторных полей, справедливых с высокой степенью точности, по крайнеймере для значений напряженностей электрического и магнитного полей, не слишком больших, ивлияющих на поляризацию молекул или атомов среды, но не на структуру вещества.Простейшими материальными уравнениями в линейном случае являются:D = ˆ E;(1.1.5)B = ̂ H;(1.1.6)j = ˆ E.(1.1.7)Последнее из этих равенств – закон Ома в дифференциальной форме, где ˆ имеет смыслпроводимостисреды.Остальныепараметрыˆ и ̂называютсясоответственнодиэлектрической и магнитной проницаемостями среды.

В общем случае эти параметры являютсятензорами (матрицами 33), компоненты которых могут, вообще говоря, также зависеть от точкипространства M и времени t . В этом случае среда называется анизотропной, неоднородной инестационарной. Анизотропия (неодинаковость зависимостей между компонентами векторовнапряженности и индукции по разным направлениям) характерна, например, для кристаллов илиплазмы.

На протяжении данного курса мы ограничимся изотропным стационарным случаем,когда проницаемости и проводимость среды являются скалярными функциями  ,  ,  и независят от времени. Если эти параметры являются константами или кусочно-постояннымифункциями, говорят, что среда является однородной и изотропной или содержит границыразрывасвойствсреды,являющиесяграницамителилинеограниченныхобластей,рассеивающих возбужденное в среде электромагнитное поле.

Подставляя уравнения (1.1.5) –(1.1.7) в систему уравнений (1.1.1) – (1.1.4), получим систему Максвелла в виде:rot H - E=j;trot E + H=0;t(1.1.8)(1.1.9)divE =  ;(1.1.10)divH = 0 ;(1.1.11)Отметим еще, что из уравнения (1.1.8), после применения к нему операции div , и замены divEна  из уравнения (1.1.10), следует уравнениеdiv j = -t,(1.1.12)называемое уравнением непрерывности и выражающее тот факт, что электрический токпорождается движением электрических зарядов.1.2. Стационарная система Максвелла.Система уравнений (1.1.8) – (1.1.11) называется нестационарной системой уравнений Максвеллаи предполагает для своей однозначной разрешимости наличие дополнительных начальныхусловий, задающих распределение электромагнитного поля в пространстве в некоторый моментвремени t = 0, принятый за начало отсчета.В теории дифференциальных уравнений в частных производных известен общий метод редукциитаких уравнений к уравнениям с меньшим числом переменных, если одна из переменныхпринадлежит бесконечному (или полубесконечному) интервалу: это метод преобразования Фуре(или Лапласа).

Согласно этому методу, вместо полей E(M,t), H(M,t), а также j(M,t),(M,t), спроизвольной зависимостью от времени, вводятся поля E (M, ), H (M,), j (M, ),  (M, ),зависящие от спектрального параметра  , имеющего смысл частоты колебаний:E(M,t) =  E ( M ,  )e0i td ; H(M,t) =  H ( M ,  )ei td ;0После чего система (1.1.8) – (1.1.11) переписывается в видеrot H + i  E = j ;rot E - i H = 0 ;div E =  ;(1.2.1)(1.2.2)(1.2.3)div H = 0 ;(1.2.4)Система (1.2.1) – (1.2.4) называется стационарной системой уравнений Максвелла. Общийподход к решению нестационарной системы (1.1.8) – (1.1.11) заключается в переходе кстационарной системе (1.2.1) – (1.2.4), построении ее решения при всехговоря, при [ -  ,  ] (точнее [ - А , А ], где А - достаточно велико), с последующим вычислениемнестационарных полей с помощью обратного преобразования Фурье.

Подчеркнем, чтонеобходимость решать стационарную систему (1.2.1) – (1.2.4) в широком частотном диапазоне,существенно осложняет соответствующий математический аппарат: слишком отличаются, какбудет видно в дальнейшем, математические методы, пригодные в низкочастотной ивысокочастотной областях, что отражает коренное отличие самой физической природы волновыхявлений в этих диапазонах. Полная реализация такой программы действий возможна лишь в техслучаях, когдаудается построить явное аналитическое решение стационарной системыМаксвелла, пригодное для всех значений , что случается достаточно редко.

Если жепостроение решения возможно лишь с помощью приближенных численных методов, техникапреобразования Фурье обычно не применяется. Вместо этого, гораздо проще непосредственнорешать нестационарную систему уравнений Максвелла, с использованием разных вариантовконечно – разностных методов по временной переменной.Тем не менее, стационарная система уравнений Максвелла (1.2.1) – (1.2.4) имеетсамостоятельныйфизическийсмысл,описываяпроцессустановившихсяколебанийэлектромагнитного поля на фиксированной частоте, когда все поля зависят от временигармонически:{ E , H } ei t, и момент включения источников, возбуждающих поля даннойчастоты, достаточно отдален ( t 1 ) .

Такой режим распространения электромагнитного поляназывают монохроматическим.Большая часть настоящего курса будет посвящена именно монохроматическому случаю, какключевой задаче вычислительной электродинамики. В дальнейшем, для упрощения обозначений,мы будем опускать черту над векторами E и H в монохроматическом случае.1.3. Источники электромагнитного поля.Из четырех уравнений стационарной системы Максвелла (1.2.1) – (1.2.4) только первое и третьеимеют ненулевые правые части. При этом, третье уравнение описывает потенциальную(статическую) часть электрического поля, которая не представляет интереса с точки зренияэлектродинамики. Поэтому, третье уравнение, как правило, также не содержит отличной от нуляправой части (статические электрические заряды не рассматриваются). Что касается первогоуравнения, то лишь оно может быть неоднородным.

При этом, учитывая закон Ома (1.1.7),вектор j может быть записан в видеj= E+je,где je(1.3.1)– сторонний электрический ток ,- источник возбуждения электромагнитного поля, т .е.вектор-функция, заданная в явном виде и не зависящая от возбуждаемого электромагнитногополя.

Подставляя выражение (1.3.1) в уравнение (1.2.1), преобразуем его к виду:rot H + i ~ E = j e ;где ~ = +i- комплексная диэлектрическая проницаемость, характеризующая общие(действительная часть ~ ), и потери, связанные с наличиемсвойства среды: поляризуемостьтоков проводимости, (мнимая часть ~ ). Если среда является чистым диэлектриком (изолятором),то мнимая часть у ~ отсутствует, Наоборот, существуют среды с сильной проводимостью, когдадействительной частью ~ можно пренебречь по сравнению с мнимой частью (ток смещенияEtв нестационарной системе Максвелла существенно меньше тока проводимости) и ~ становитсячисто мнимой величиной. Такая ситуация характерна, например, для задач геофизики.Для придания стационарной системе Максвелла (1.2.1) – (1.2.4) более симметричного вида,часто вводят в правую часть фиктивные магнитные токи jмагнитных зарядовmвитком, понимая под ними не поток, которых нет в природе (что следует, например, из уравнения (1.2.4)), авихревое электромагнитное поле Eкруговымmmэлектрическогоe= j / , Hmтокаmмалого=1i rot E m , возбуждаемое, например,диаметра (магнитнымдиполем).Подэлектрическим сторонним током j можно, впрочем, также понимать вихревое электромагнитноеполе E= j / , Heee=1i rot E e, возбуждаемоеэлектрическим диполем(паройблизкорасположенных разноименных зарядов, колеблющихся относительно точки симметрии счастотой  ).Заметим еще, что магнитная проницаемость среды также может быть комплексной величиной = ’ + i ’’ , характеризуя запаздывание реакции среды на приложенное магнитное поле.Таким образом, общий вид первой пары уравнений стационарной системы Максвелла можетбыть записан в видеrot H + i ~ E = j e ;(1.3.2)rot E - i H = j(1.3.3)m.1.4.

Плоские волны как простейшие решения системы Максвелла.eИсходя из однородной системы уравнений (1.3.2) – (1.3.3) ( j = 0; jm= 0), рассматриваемой внеограниченном пространстве, и в предположении постоянства параметров среды ~ ,исключить одно из векторных полей , можноE или H, получив одно уравнение второго порядка. Дляэтого достаточно воспользоваться известным тождествомrot rot A = grad(divA) - A ,(1.4.1)справедливым в декартовой системе координат для любого гладкого векторного поля A .Учитывая, при этом, уравнения (1.2.3), (1.2.4), получим~ E + k 2 E = 0;(1.4.2)~H + k 2 H = 0 ,(1.4.3)~где введено обозначение k = ~  - волновое число. Уравнения (1.4.2), (1.4.3) выполняютсяпокомпонентно, для декартовых составляющих полей {Ex , Ey , Ez } , {Hx , Hy , Hz }, и имеютнетривиальные решения видаi k(  x +  y +  z )E = E0 eH = .

H0 e;i k(  x +  y +  z ),Удовлетворяющие уравнениям (1.4.2), (1.4.3), если , ,  удовлетворяют соотношению2 + 2+  2 = 1.(1.4.4)E0 и H0 - некоторые постоянные векторы, связь между которыми определяется исходнойвекторной системой стационарных уравнений Максвелла. Так как тождество (1.4.4) означает, чтовеличины , , совпадают с направляющими косинусами некоторого вектора, удобно ввести~такой вектор k = k {,,  }, называемый волновым, что позволяет записать выражения дляполученных решений (плоских волн) в виде~krE = E0 e;~i krH = .