С.И. Масленникова - Расчёт переходных процессов в электрических цепях во временной области

Московский государственный технический университетимени Н.Э. БауманаС.И. МасленниковаРАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВВ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХВО ВРЕМЕННОЙ ОБЛАСТИРекомендовано редсоветом МГТУ им. Н.Э. Бауманав качестве учебного пособияМоскваИздательство МГТУ им. Н.Э. Баумана2006УДК 621.316.5(075.8)ББК 31.311М31Рецензенты: О.И. Мисеюк, Ф.Н. ШакирзяновМ31Ìàñëåííèêîâà Ñ.È.Расчет переходных процессов в электрических цепях во времен%ной области: Учеб. пособие. – М.: Изд%во МГТУ им.

Н.Э. Баумана,2006. – 36 с.: ил.Рассмотрен один из наиболее важных разделов электротехники –анализ переходных процессов в линейных электрических цепях с по%стоянными источниками и источниками, имеющими произвольныйзакон изменения. Описаны особенности решения задач в цепях пер%вого и второго порядка. Большое внимание уделено физическим про%цессам, сопровождающим коммутацию.Ил. 22.

Библиогр. 3 назв.УДК 621.316.5(075.8)ББК 31.311© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006ВВЕДЕНИЕПроцесс перехода от одного энергетического состояния элек%трической цепи к другому называется переходным процессом. Пе%реходный процесс вызывается коммутацией, т. е. мгновенным из%менением параметров цепи, ее схемы или параметров источниковэнергии в схеме.Переход от одного (докоммутационного) состояния к другомуобычно происходит не мгновенно, а в течение некоторого време%ни – времени переходного процесса.

Это объясняется тем, что каж%дому состоянию цепи соответствует определенный запас электро%магнитной энергии. Изменение же энергии в реактивных элемен%тах не может происходить мгновенно, так как в этом случаеdw, развиваемая в цепи, достигала бы бесконечномощность p =dtбольших значений. Следовательно, не могут изменяться мгновен%но и переменные, связанные с энергией. Следствием этих положе%ний являются законы коммутации:q(t− ) = q(t+ );ψ(t− ) = ψ(t+ ).Для линейных цепей законы коммутации чаще записывают так:uC (t− ) = uC (t+ ),iL (t− ) = iL (t+ ).Цель анализа переходных процессов в электрических цепях –определение временнÏх законов изменения токов или напряженийна заданных участках цепи в переходном режиме.Для расчета переходных процессов во временнËй области ис%пользуются два метода: классический метод и метод интегралов на%ложения.

Классический метод рекомендуется применять для анали%за цепей, процессы в которых описываются дифференциальнымиуравнениями не выше третьего порядка, при действии в схеме посто%янных или гармонических источников энергии, метод интеграловналожения – при действии источников произвольной формы.31. КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТАПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВРасчет переходных процессов классическим методом сводитсяк решению системы линейных дифференциальных уравнений с по%стоянными коэффициентами, составленных на основании законовКирхгофа для мгновенных значений токов и напряжений. Эта сис%тема приводится к неоднородному дифференциальному уравне%нию n%го порядка, общее решение которого имеет видy(t) = yчастн(t) + yoбщ (t),где yчастн (t) – частное решение неоднородного дифференциально%го уравнения; yoбщ (t) – общее решение однородного уравнения.Здесь под y(t) понимается любой искомый ток или напряжение.Частное решение неоднородного уравнения определяется видомфункции, стоящей в правой части уравнения, и поэтому называетсявынужденной составляющей yвын(t) .

Для цепей с постоянными илипериодическими напряжениями (токами) источников энергии вы%нужденное решение совпадает с установившимися значениями ис%комых функций. Общее решение однородного уравнения описываетэлектромагнитный процесс, происходящий в схеме без воздействиявнешних источников, и называется свободной составляющей yсв(t).Из теории дифференциальных уравнений известно, что реше%ние однородного уравнения ищется в видеnyсв(t) =∑ As l pst ,s=1где As – постоянные интегрирования, определяемые из начальныхусловий; ps – корни характеристического уравнения.4Основными этапами расчета y(t) являются: определение на%чальных условий; определение вынужденной составляющей; опре%деление корней характеристического уравнения и постоянныхинтегрирования.

Более подробно остановимся на определении на%чальных условий и корней характеристического уравнения.1.1. Определение начальных условийНезависимые начальные условия определяются по законамкоммутации, которые для линейных цепей можно записать в видеuC (0 + ) = uC (0 − );iL (0 + ) = iL (0 − ).Здесь учитывается, что обычно момент коммутации совмеща%ют с началом отсчета, т. е.

полагают tk = 0.Значения остальных токов и напряжений до и после коммута%ции в общем случае не одинаковы:iC (0 + ) ≠ iC (0 − );duCduC(0 + ) ≠;dtdtu L (0 + ) ≠ u L (0 − );diLdiL(0 + ) ≠(0 )didt −и т. д.Эти значения в момент времени t = 0+ определяются независи%мыми начальными условиями, характером (видом) коммутации идругими факторами. Поэтому они получили название зависимыхначальных условий.Порядок расчета.1.Определяем независимые начальные условия.Для схемы до коммутации, находящейся в установившемся ре%жиме, определяем мгновенные значения токов в индуктивностях инапряжений на емкостях, после чего подставляем в выражения дляuC (t) и iL(t) значение времени t = 0–.

В соответствии с законамикоммутации получаем uC (0 − ) = uC (0 + ), iL (0 − ) = iL (0 + ).2. Составляем для схемы, полученной после коммутации, сис%тему уравнений по законам Кирхгофа для мгновенных значенийтоков и напряжений. Подставляя в эти уравнения время t = 0+ инайденные значения uC (0 + ) и iL (0 + ), определяем зависимые на%чальные условия. При составлении уравнений контуры необходи%5мо выбирать таким образом, чтобы можно было использовать уженайденные независимые начальные условия.Пример 1.1. Для схемы рис.

1.1 определить значения всех то%ков и напряжений, а также их производных для моментов времениt = 0–, t = 0+, ∞если E = 30 B, R = 10 Ом, L = 10 Гн, С = 100 мкФ.Рис. 1.1Решение. Рассчитаем схему до коммутации, находящуюся вустановившемся режиме, и определим значения токов и напряже%ний. Так как в заданной схеме действует постоянный источникЭДС, то все токи и напряжения будут постоянными величинами.На рис. 1.2 представлена расчетная схема для t < 0. Для нее имеем:i 1(0 − ) =E= 1 A;3Ru L (0 − ) = 0;i 2 (0 − ) =E= 1 A;3RuC (0 − ) = i 2 (0 − )R =di1u L (0 − )(0 − ) == 0;dtLER = 10 B;3RduCi 3 (0 − )(0 − ) == 0.dtCРис. 1.26i 3 (0 − ) = 0;В соответствии с законами коммутацииuC (0 − ) = uC (0 + ) = 10 B;i 1 (0 − ) = i 1 (0 + ) = 1 A.Для схемы, полученной после коммутации (сопротивление Rзакорочено), составим уравнения по законам Кирхгофа для мгно%венных значений токов и напряжений:E = Ri1 + uC + u L ;0 = uC − Ri2 ;i1 = i2 + i3 ,откуда при t = 0+ получимE = Ri 1 (0 + ) + uC (0 + ) + u L (0 + );0 = uC (0 + ) − Ri 2 (0 + );i 1 (0 + ) = i 2 (0 + ) + i 3 (0 + ).Следовательно,u L (0 + ) = E − Ri 1 (0 + ) − uC (0 + ) = 10 B;di 1dti2 (0 + ) =(0 + ) =uC (0 + )= 1 A;Rdu Cdtu L (0 + )A= 1000 .cLi3 (0 + ) = i1 (0 + ) − i2 (0 + ) = 0;(0 + ) =i3 (0 + )= 0.CЗамечание.

Если требуется определить, например, значениеdi 2(0 ), то уравнения следует составлять таким образом, чтобыdt +можно было обойтись без определения вторых производных.Например, если используется левый контур, то для определе%d 2 i1di 2ния значения(0 + ), про%(0 + ) потребуется найти значениеdtdt27дифференцировав уравнение E = Ri 1 + uC + L+Ld 2 i1dt2+Rdi 2dtdi 1dt. Тогда 0 =di 1dt+.Уравнение 0 = uC – Ri2 позволяет легко определить зависимыеначальные условия:di 2dt(0 + ) =i C (0 + )1 du C(0 + ) == 0.R dtRCПри расчете тока i3(t) его производная по времени в моментвремени t = 0+ равнаdi Cdt(0 + ) =di 1dt(0 + ) −di 2dt(0 + ) = 1000A.cВынужденную составляющую токов определим при t = ∞ длясхемы (рис.

1.3):i1вын =EE= 1, 5 A; i 2 вын == 1, 5 A; iC вын = 0;2R2RuC вын = i2 R = 15 B;u L вын = 0.Рис. 1.3Пример 1.2. Для схемы рис. 1.4 найти независимые и зависи%мые начальные условия, если дано:J = 2 A; E = 50 B; R1 = R2 = R3 = 10 Ом; L = 0,01 Гн; C = 10 мкФ.8Рис. 1.4Решение. Рассчитаем токи и напряжения в схеме до коммута%ции и определим независимые начальные условия, учитывая, чтоi1(0–) = 0; uL(0–) = 0; i3(0–) = 0.Следовательно,i2(0–) = J = 2 A = i2(0+); uC (0–) = i2(0–)R2 = 20 B = uC (0+).Для схемы после коммутации составим систему уравнений позаконам Кирхгофа для момента времени t = 0+:J + i3(0+) = i1(0+) + i2(0+);E = i3(0+)R3 + uC (0+) + i1(0+)R1;E = i3(0+)R3 + uL (0+) + i2(0+)R2.Из первого уравнения получим i3(0+) i1(0+).Подставив это соотношение во второе уравнение, определимзначение тока i3(0+) : i3(0+) 1,5 A; i1(0+) i3(0+) 1,5 A.du CЗначение производной(0 + ) рассчитаем по соотношениюdtdu Cdt(0 + ) =i C (0 + )C=i 1 (0 + )C= 15 000B.c9Значение uL(0+) найдем из третьего уравнения:uL (0+) = E – i3(0+)R3 – i2(0+)R2 = 15 B.1.2.

Определение корней характеристического уравненияРасчет переходных процессов классическим методом требуетопределения корней характеристического уравнения. Характери%стическое уравнение наиболее просто можно получить методомвходного сопротивления из равенства Zвх(p) = 0.Порядок расчета:1. Составляем схему для свободных токов. Для этого в схеме,полученной после коммутации, все источники энергии заменим ихвнутренними сопротивлениями (внутреннее сопротивление иде%ального источника ЭДС равно нулю, внутреннее сопротивлениеидеального источника тока равно бесконечности), а элементы R, L,C – сопротивлениями, равными соответственно R, pL, 1/ pC.2.

Если в составленной схеме нет короткозамкнутых ветвей, торазмыкаем любую ветвь, определяем входное сопротивление состороны разомкнутой ветви и приравниваем его нулю Zвх(p) = 0.Для упрощения алгебраических преобразований следует размы%кать ветвь с наибольшим числом элементов, отдавая при этом пред%почтение ветви с сопротивлением 1/ pC. Если в схеме для свобод%ных токов есть короткозамкнутая ветвь, то размыкаем ту ветвь, вкоторой рассчитываем переходный ток. В цепях с магнитосвязан%ными индуктивностями для определения входного сопротивленияследует в схеме для свободных токов предварительно устранитьмагнитную связь.Число корней характеристического уравнения равно степенихарактеристического уравнения и не может превышать числа нако%пителей электромагнитной энергии. Число корней (или порядокуравнения) можно определить без составления этого уравнения поупрощенной схеме, которая получается после замены идеальныхпоследовательно или параллельно соединенных индуктивностейили емкостей соответственно.

Тогда порядок характеристическогоуравнения равен числу основных независимых начальных условийiL(0), uC (0) в послекоммутационной схеме после максимального ееупрощения (пример 1.4).10Пример 1.3. Для схем на рис. 1.5, а, 1.6, а, 1.7, а составить ха%рактеристические уравнения.абРис. 1.5Решение. После коммутации составляем схему для свободныхтоков (рис. 1.5, а). Размыкаем любую ветвь (например, R#Lp) и оп%ределяем входное сопротивление схемыZ3вх =R 2 (R 1 + Lp)1.+Cp R 2 + R 1 + LpПриравняв его нулю, получим характеристическое уравнениеR 2 LCp 2 (R 1 R 2C + L) p + R 1 + R 2 = 0.Это же характеристическое уравнение можно получить, ра%зомкнув другие ветви.Схеме на рис. 1.6, а соответствуют схема для свободных токов нарис. 1.6, б и характеристическое уравнение Z вх (p) = R1 + R2 + Lp = 0.Схеме на рис.