вопросы и типовые задачи для подготовки к экзамену

ВОПРОСЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУПО КУРСУ «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙИ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА» /2009гИУ-5,72 курс, 4 семестр1. Случайные события. Операции над событиями.ВопросыОпределения случайного испытания, пространства элементарныхсобытий.Классическое, геометрическое и частотное определения вероятности.Аксиоматическое определение вероятности, ее основные свойства. Теоремасложения вероятностей.Определение условной вероятности. Определение полной группыслучайных событий.

Вывод формул полной вероятности и Байеса.Определение независимых испытаний. Вывод формулы Бернулли иследствий из нее.Типовые задачи1. Играя в спортлото, владелец одной карточки зачеркивает 6 номеров из49 (6 номеров из 49 являются выигрышными). Найти вероятность того, что онугадает: а) 3 номера; б) 4 номера ; в) 6 номеров; г) не менее 3 номеров.2. Среди 25 экзаменационных билетов имеется 5 «счастливых». Двастудента по очереди берут билет. Кто из них, первый или второй, вытащит«счастливый» билет с большей вероятностью?3.

Какова вероятность того, что из трех наудачу взятых отрезков можносоставить треугольник, если длина каждого из них не превышает L и все егозначения равновозможные4. Из полной колоды карт (52 карты) наудачу извлекается одна карта.Рассматриваются события: А -- появление туза ; В – появление картыкрасной масти; С – появление бубнового туза; D -- появление десятки.Зависимы или независимы следующие пары событий:а) А и В; б) А и С; в) В и С; г) В и D; д) С и D?5. Студент пришел на зачет, зная из 30 вопросов только 24.

Зачетсчитается сданным, если студент отвечает на один вопрос, или после отказаотвечать на первый предложенный вопрос он отвечает на второй. Каковавероятность студенту сдать зачет?6. Из полной колоды карт (52 карты) наудачу одновременно вынимают 4карты. Рассматриваются события:А – среди вынутых карт будет хотя бы одна бубновая;В – среди вынутых карт будет хотя бы одна червовая.Найдите вероятность события A U B.7. Имеется две урны: в первой 3 белых шара и 5 черных; во второй – 4белых и 4 черных.

Из первой урны во вторую наудачу перекладывают 2 шара.1После этого из второй урны наудачу извлекают 1 шар. Найдите вероятностьтого, что этот шар будет белым.8. Изделия некоторого производства содержат 5% брака. Найтивероятность того, что среди 5 взятых наугад изделий:а) будут два бракованных;б) нет ни одного бракованного.9. Экзамен состоит из 6-ти вопросов. На каждый вопрос дано 3 ответа,среди которых один правильный.

Какова вероятность того, что методомпростого угадывания удаётся ответить по крайней мере на пять вопросов?10. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0,001.Найти вероятность попадания в цель не менее двух пуль, если производится5000 выстрелов.2.

Случайные величины. Законы распределения случайныхвеличин.ВопросыОпределение случайной величины, основные свойства ее функциираспределения.Определение дискретной случайной величины. Теорема о виде функциираспределения дискретной случайной величины.Определение непрерывной случайной величины. Основные свойства ееплотности распределения вероятностей.Определение случайного вектора, основные свойства его функциираспределения.Определение непрерывного случайного вектора, основные свойства егоплотности распределения вероятностей.Нахождение условного закона распределения для двумерногодискретного и непрерывного случайного вектора. Независимые случайныевеличины.Типовые задачи1. Случайная величина X имеет функцию распределения:⎧0, x ≤ 0⎪ 2⎪xF ( x) = ⎨ , 0 < x ≤ 2⎪4⎪⎩1, x > 2.а) Постройте график плотности распределения вероятностей;б) Найдите P{0,5 ≤ X < 1}.2.

Двумерная случайная величина (X; Y) имеет плотность2распределения p( x, y ) =C.π (3 + x 2 )(1 + y 2 )2Найдите:а) величину С;б) функцию распределения F(x; y).В) вероятность попадания случайной величины в квадрат,ограниченный прямыми: x=0; y=0; x=1; y=1.3.

Найдите плотность распределения вероятностей двумерной случайнойвеличины, функция распределения которой имеет вид:⎧(1 − e − ax )(1 − e − by ), x > 0 и y > 0⎪F ( x, y ) = ⎨0, x ≤ 0 или y ≤ 0⎪(α > 0; β > 0)⎩4. Дискретная случайная величина X имеет закон распределенияXP-20,1-10,200,310,320,1Построить ряды распределения случайных величин:а) Y = X 2 + 1.б) Y =| X | .5. Двумерная случайная величина (X, Y) имеет следующий законраспределения:Y\X-3-123-10,0100,0250,0350,03000,0400,1000,1400,12010,0500,1250,1750,150Найдите:а) Условную вероятность P{X=-1\ Y=0}.б) Условный закон распределения случайной величины Y при условии X=-1.6.

Двумерная случайная величина (X, Y) равномерно распределена втреугольнике с вершинами: O(0;0), A(3;0), B(0;2).Найдите:а) Плотности распределения случайных величин X и Y.б) Условные плотности распределения p1 ( x \ y ) и p2 ( y \ x) .Зависимы ли случайные величины X и Y.3. Законы распределения функций случайных величин.Числовые характеристики случайных величин.Вопросы3Определение закона распределения монотонной и кусочно-монотоннойскалярной функции случайной величины.Определение закона распределения скалярной функции случайноговектора.Определение закона распределения суммы двух случайных величин.Определение и основные свойства математического ожидания идисперсии случайной величины.Определение и основные свойства ковариации и коэффициентакорреляции двух случайных величин.Определение условного математического ожидания и его связь сбезусловным математическим ожиданием.Определениебиномиального,пуассоновского,равномерного,нормального и экспоненциального распределений, двумерного нормальногораспределения.Типовые задачи1.

Число d – частиц, достигающих счётчика в некотором опыте, являетсяслучайной величиной X, распределённой по следующему закону:X012345678910P0,0210,0810,1560,2010,1950,0970,0970,0540,0260,0110,007Найти: а) Математическое ожидание и дисперсию числа частиц,достигающих счётчика.б) Вероятность того, что число частиц, достигающих счётчика, неменьше четырёх.2. Случайная величина X имеет плотность вероятностиπ⎧22⎪π cos x, x ≤ 2 ,f ( x) = ⎨π⎪ 0, x > .2⎩Найти: MX ; DX .3.

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины X,соответственно, равны 2 и 10. Найти математическое ожидание и дисперсиюслучайной величины Y=2X+5.4. Случайная точка на плоскости распределена по следующему закону:Y\X01-10,100,1500,150,2510,200,15Найти математическое ожидание, матрицу ковариации и коэффициенткорреляции двумерной случайной величины (X, Y).5. Двумерная случайная величина (X,Y) имеет плотность распределения4⎪⎧4 xye − x − y , x, y > 0,f ( x) = ⎨⎪⎩ 0, x < 0 ∨ y < 0.22Найти математическое ожидание и ковариационную матрицу случайнойвеличины (X, Y).6.

Двумерная случайная величина (X, Y) равномерно распределена вквадрате, ограниченном прямыми:x+y+1=0; x-y+1=0; x-y-1=0; x+y-1=0.Показать, что случайные величины X и Y зависимы, но некоррелированны.7. Случайная величина (X,Y) равномерно распределена внутри кругарадиуса 1 с центром в начале координат. Найти математическое ожидание идисперсию случайной величины Z=XY.8. Случайные величины X и Y независимы. Случайная величина Xраспределенапонормальномузакону:f ( x) =12 2πe−( x −1) 28.Случайнаявеличина Y распределена равномерно в интервале (0;2). Найти: M(X+Y);D(X+Y); M(X-Y); D(X-Y); M(XY).9. Случайный вектор ( X , Y ) имеет нормальный закон распределения с⎛16 12 ⎞вектором средних (-3;4) и матрицей ковариаций ⎜⎟ .

Найти:⎝12 25 ⎠а) M (Y | X = 1 )б) P{| Y |≤ 7 \ X = 1}в) P{| X |≤ 3}4. Закон больших чисел. Предельные теоремы теориивероятностей.ВопросыВывод неравенств Чебышёва.Доказательство закона больших чисел в форме Чебышёва и егоследствия для схемы Бернулли.Формулировка центральной предельной теоремы и доказательствоинтегральной теоремы Муавра — Лапласа.Типовые задачи1. Оценить вероятность того, что среднее квадратичное отклонениелюбой случайной величины от её математического ожидания будет поабсолютной величине не более трёх средних квадратичных отклонений этойвеличины (правило 3σ ).52. Математическое ожидание количества выпавших осадков в даннойместности составляет 55см.

Оценить вероятность того, что в даннойместности выпадает осадков > 165см.3. Случайная величина X является средней арифметической 3200независимых одинаково распределенных случайных величин сматематическим ожиданием, равным 3, и дисперсией, равной 2. Найтивероятность того, что X примет значение в промежутке (2,925; 3,075).4. Производится обследование для вычисления удельного весазаболеваний гриппом среди всех заболеваний. Сколько амбулаторных картдолжно войти в обследование, чтобы отклонение относительной частоты отвероятности не превышало 0,06 с вероятностью 0,9972.5. Элементы математической статистики.ВопросыОпределение законов распределения «хи-квадрат», Стьюдента, Фишера.Определение и свойства выборочных функций распределения иплотности.Определение несмещенности, состоятельности и эффективноститочечных оценок.

Нахождение параметров равномерного распределенияметодом моментов. Нахождение параметров биномиального, пуассоновского,равномерного, нормального и экспоненциального распределений методоммаксимального правдоподобия.Определение интервальной оценки, доверительного интервала (ДИ),уровня доверия. Построение ДИ для математического ожидания нормальнораспределенной случайной величины при известной и неизвестной дисперсии.Построение ДИ для дисперсии нормально распределенной случайнойвеличины.Понятие критерия проверки гипотез.

Определение критической области иуровня значимости, ошибок первого и второго рода. Построение оптимальногокритерия для математического ожидания нормально распределеннойгенеральной совокупности при известной дисперсии для случая двух простыхгипотез.Проверка гипотезы о математическом ожидании нормальной случайнойвеличины и гипотезы о равенстве математических ожиданий двух нормальныхслучайных величин.Проверка гипотезы о величине дисперсии нормальной случайнойвеличины и гипотезы о равенстве дисперсий двух нормальных случайныхвеличин.Критерий согласия К.

Пирсона и его применение.Метод наименьших квадратов оценивания параметров линейной модели.6.