Глава II. Построение модели системы управления (Пупков К.А. - Моделирование и испытание систем автоматического управления)

Глава II Построение модели системы управленияРеальная система управления состоит из определенного числавзаимосвязанныхприборовиустройств,включая,конечно,объектуправления, обладающих различной физической природой. Эти компонентысистемы обладают наряду с характеристиками статической точностиопределенной динамикой, что особенно важно учитывать в системахуправления с обратной связью. Цель разработчика состоит в том, чтобыпостроить из разнородных компонентов систему управления, котораяобеспечивала бы желаемую точность ее работы с учетом динамики всех этихкомпонентов. По сути надо синтезировать такой закон управления, которыйобеспечивал бы требуемую точность и устойчивость системы.

Здесь мыпокажем, каким образом надо строить модель системы, поскольку без ееналичия практически невозможно синтезировать закон управления.Рассмотрим блок-схему системы управления динамическим объектом.В качестве объекта управления возьмем аэродинамический летательныйаппарат (рис. 8)Рисунок 8 – Блок-схема системы управления23Теперь покажем, каким образом данную блок-схему наполнитьконкретнымсодержанием,т.е.длякаждогоблоканадопостроитьматематическую модель.Заметим, что эту модель можно получить на основе аналитическихметодов, используя, например, теоремы механики и т.п., или, если этоневозможно, применяя различные методы идентификации на основаниииспользования экспериментальных данных.§ 1.

Построение модели объекта управления.Рассмотрим следующую схему плоского движения летательногоаппарата (рис. 9).Рисунок 9 – Схема плоского движения ЛАНа этом рисунке: Y - подъемная сила, Q – лобовое сопротивление,-аэродинамический момент, G- вес, V- вектор скорости, T- тяга двигателя, α –угол атаки,– угол тангажа,,24I.Составим уравнения движения, используя теоремы механики:1.2.3.4.5.(11)Эти уравнения – нелинейные, например, зависимостьот угла атакиα имеет вид (рис.

10)Рисунок 10 - ЗависимостьНа рисунке:II.от угла атаки α- балансировочный угол атаки.Проведемлинеаризациюуравненийотносительноустановившегося движения. Рассмотрим горизонтальный полет:Тогда̇III.̇̇̇Для установившегося движения уравнения будут иметь вид:Для возмущенного движения параметры будут иметь вид:25.IV.Разложим силы и моменты в ряд Тейлора по степеням вариации иограничимся первым членом разложения. Получим:()(()([][()(V.))(()())()])()()̇(())Подставим линеаризованные функции в исходное уравнение (11)и вычитая из них уравнение установившегося движения (12), получим26Если считать, чтот.е.

пренебречь вариациейдругие допущения, получим̇1.2.Эти уравнения в вариациях.Перепишем их в виде:̇1.2.или̇1.̈2.̇где,где,,Коэффициентыхарактеризуют:– аэродинамическое демпфирование;– статическую устойчивость;27и сделав- аэродинамическая постоянная времени.Их можно рассчитать по следующим формулам:̅̅̅;̅Рисунок 11 – Схема крылаНа рисунке: вА – средняя аэродинамическая хорда,ц.м. – центр масс, ц.д.

– центр давления.Выведем передаточные функции объекта управления:1.̇̇̇̇̇̇для уравнения ́̇̇[ ][ ]282.̈̇⁄()⁄Отсюда[ ][ ][][]где√√Рисунок 12 – Блок-схема объекта управленияТаким образом, мы представили динамику объекта управления.§ 2. Определение моделей измерительных средств элементовдвижения объекта управления.29Измерительные средства разделяются на две группы:1.Приборы, определяющие опорную систему отсчета внутриобъекта управления, относительно которой может быть определено егоположение в пространстве. Это, как правило, гироплатформы, которыесохраняют инерциальные оси неизменными относительно тех осей, всоответствии с которыми они установлены.2.Приборы, измеряющие угловые скорости и линейные ускорения.Приборы первой группы, как правило, не участвуют в динамикесистемы управления.

При проектировании таких приборов главное вниманиеуделяется их инструментальной точности и поддержанию ее в течение всегополета объекта управления.Приборы второй группы являются элементами замкнутого контурауправления, поэтому необходимо изучить их динамические свойства ииспользовать при проектировании систем управления.Рассмотрим 2 группу приборов.Интеграционный гироскоп – служит для измерения угла поворота иугловой скорости объекта управления (рис. 13).Рисунок 13 – Схема интеграционного гироскопаЗдесь: 1 – ротор;2 – демпфер;3 – рамка;30ось z-z – ось чувствительности;Н – вектор кинетического момента с, равный J ,где J - момент инерции ротора (1),– угловая скорость вращения ротора;̇ – угловая скорость тангажа.Требуется определить соотношение между̇ и углом и угловой̇скоростью поворота рамкиРассмотрим схему:Рисунок 14 – Расчетная схема гироскопаЗдесь:– угол поворота рамки;- перемещение точки А рамки, равное ≈при ее повороте;y – перемещение точки В за счет истечения воздуха через капилляр вдемпфере;– жесткость воздушной пружины;2с– жесткость токоподводов;– момент сопротивления от трения.̇̈(Если пренебречь жесткостьюсопротивления от тренияс, получим31)2– токоподводов и моментом̇̈().(14)На основе закона Пуазейля об истечении газа через капилляр, получим̇сила, с которой поршень давит на воздух.К – коэффициент пропорциональности.Преобразуем это выражение к виду:̇̇представим его в операторной форме⁄и подставим его в уравнение (14), получим̇̈⁄()Получим̇̈⁄⁄(̇[ ][ ]̇̈(⁄(̈̇)))⃛̈((⁄̇))32[ ][ ]̇()()где√√Рисунок 15 – Амплитудная и фазовая (логарифмические) частотныехарактеристикиИнтеграционный гироскоп вырабатывает сигнал, пропорциональныйуглу и угловой скорости поворота объекта управления вокруг (в данномслучае) оси z-z.Гироскоп сложен в изготовлении из-за калибровки капилляра.§ 3.

Демпфирующий гироскоп33Служит для измерения угловой скорости вращения объекта управлениявокруг центра масс.Схема демпфирующего гироскопа.Рисунок 16 – Схема демпфирующего гироскопаЗдесь: 1. Ротор с моментом инерции J.2.Демпфер.3.Рамка.4.Пружина.5.Потенциометр.H=– вектор кинетического момента;– угловая скорость времени ротора;̇ – гироскопический момент.̇:̈[][]34Рисунок 17 – Расчетная схема гироскопаУчитывая закон Пуазейля (скорость истечения через капилляр),получим̇где- сила, с которой поршень давит на воздух [н];y – перемещение поршня за счет истечения воздуха через капилляр;̇ – скорость истечения;К – коэффициент дальности.Перепишем (2) в виде:̇̇Представим это уравнение в операторной форме⁄и подставим его в уравнение (1), получим̇̈⁄()или, учитывая, что35̇̈⁄̇(⁄̈()⁄⁄(̈̇⁄)⃛)̈̇̇) ̇([()]̇()Амплитудная частотная характеристика гироскопа имеет вид (рис. 18):Рисунок 18 - Логарифмическая амплитуднаяхарактеристика гироскопа36§ 4.

Датчик линейных ускоренийСлужит для измерения ускорения объекта управления. Измерительнымэлементом является масса m, повешенная на пружине. Для демпфированиясобственных колебаний используется воздушный демпфер.Кинематическая схема имеет следующий вид:Рисунок 19 – Схема датчика линейных ускоренийC1 - жесткость механической пружины, С2 – жесткость воздушнойпружины, х – перемещение чувствительной массы m под воздействиемускорения, y – перемещение поршня демпфера за счет истечениявоздуха через капилляр.Запишем следующее уравнение:D – коэффициент пропорциональности;m1 – полная чувствительная масса.Для «y» запишем:37()⁄и подставив это выражение в (15), получим:()⁄или в преобразованиях Лапласа получим:()()где√Приближенноп.ф.датчикаускоренийколебательного звенагде§ 5. Рулевой приводРазличают:38представляютввиде1.

Гидравлический привод.2. Электрический привод.3. Пневматический привод.4. Привод на горячих газах.Рассмотрим пневматический рулевой привод:Рисунок 20 – Схема рулевого приводаНа рис. 20:Р.М. – рулевые машины;Р1 и Р2 – давление в полостях цилиндра рулевой машины.Рулевой привод представляет собой следующую систему, где входнойсигнал Uвх, выход-угол поворота руля.Рисунок 21 – Структурная схема рулевого привода39Передаточные функции п.ф. элементов привода имеют следующийвид:1.

П.ф. усилителя2. П.ф. струнного реле3. Уравнение, описывающее диапазон рулевой машиныгде:J – момент инерции, приведенный к оси руля;R – коэффициент скоростного трения;С – коэффициент нагрузки;F – площадь поршня;R – плечо.Приближенно описывают Р.М. в формеТогда структурная схема рулевого привода будет иметь вид (рис. 22):Рисунок 22 – Структурная схема рулевого привода40Желательно, чтобы при разработке рулевого привода частотныехарактеристики Р.П. имели вид, показанный на рис.

23:Рисунок 23 – Амплитудная и фазовая частотные характеристикизамкнутого РПТеперь можно перейти к модели контура стабилизации, посколькуопределены модели его компонентов. Контур обеспечивает стабилизациюобъекта при движении центра масс относительно траектории ЛА с однойстороны, с другой – должен обеспечить отработку управляющего сигнала дляобеспечения маневра объекта.41.