Mathcad - костян (Устройство управления ОЭП)

Домашнее задание №3 по курсу"Теории вероятностей и математической статистики"Группа: РЛ3-51Головащенко К.С.Вариант: 5Задание:1. Для заданной выборки найти оптимальную величину интервала группировки,сгруппировать статический материал.2. Найти частоту, относительную частоту, накопленную частоту и относительнуюнакопленную частоту каждого интервала группировки. Выполнить графическуюиллюстрацию.3. Найти статистическую функцию распределения и построить её график.4. Вычислить относительную частоту попадания случайной величины в заданный интервал.5.

Вычислить выборочные медиану и моду.6. Найти выборочную среднюю и среднюю дисперсию.7. Найти исправленную выборочную дис персию.8. Найти выборочные центральные моменты третьего и четвёртого порядков.9. Вычислить коэффициенты асимметрии и эксцесса.10. Произвести подбор распределения.11. Методами мометов и максимального правдоподобия найти точечные оценкипараметров распределения.12. Найти интервальные оценки параметров распределения.13. Вычислить теоретические частоты.14. Проверить с помощью критерия Пирсона гипотезу о виде распределения.Имеется выборка x из n элементов.x := READPRN ( "D:\Kostyan Documents\матан\тервер_дз№3_Андрей\var11_tabl.txt" )n := rows ( x)n = 90Сначала для неё составим вариационный ряд X, который состоит из тех же элементов, чтои x, но упорядоченных по возрастанию.X := sort ( x)Далее составляем интервальный статистический ряд.

Для этого выберем число интерваловв группе (по таблице)ln ( n)= 6.492ln ( 2 ) ln ( n)  ln ( 2) g := round g := 7Длина каждого интервала группировки D определится к акΔ :=max ( X) - min ( X)gΔ = 17.214Определим границы интервалов группировки, а также их с рединные значения. Учтём, чтолевая граница должна быть менее минимального значения, чтобы не попадать на границыинтервалов:i := 0 .. ( g - 1 )Xmini := min ( X) + Δ  iXmaxi := min ( X) + Δ  ( i + 1 )Начало отрезкаКонец отрезк а 22.5  39.714  56.929 Xmin =  74.143  91.357  108.571  125.786  39.714  56.929  74.143 Xmax =  91.357  108.571  125.786  143 Xmidi :=Xmini + Xmaxi2Середина отрезка 31.107  48.321  65.536 Xmid =  82.75  99.964  117.179  134.393 Далее определим число элементов N i, попавших в каждый отрезок.

При этом важноотметить, что правый конец интервала не включается, за исключением последнего.n-1N i :=if Xk  Xmini (Xk < Xmaxi  i  g - 1 )  ( Xk  Xmaxi  i = g - 1 ) , 1 , 0k = 0Полученный вектор N определяет частоту каждого интервала. Для получения век тораотносительных час тот необходимо к аждый элемент век тора N разделить на числоэлементов n:NRN :=nНакопленные частоты для интервала k будут определяться соответственно суммой всехчастот, предшествующ их элементу (k+1).iSNi :=NkRSN :=SNnk = 0Частота Относительная частота Накопленная частотаОтносительнаянакопленная частота5  11   24 N =  19   15  10  6  0.056  0.122  0.267 RN =  0.211  0.167  0.111  0.067 5  16   40 SN =  59   74  84   90  0.056  0.178  0.444 RSN =  0.656  0.822  0.933  1 Вычисления произведены верно, так как последние элементы век тора накопленных частоти относительных накопленных частот равны соответственно n и 1.Построим гистограмму распределения:Гистограмма распределения2825.222.419.616.8Ni21411.28.45.62.8022.542.58362.66782.75102.833122.917143XmidiДругой способ графического изображения предварительных результатов обработк ивыборки - это полигон частот.

Построим его.Полигон частот6054484236Ni302418126022.539.71456.92974.14391.357108.571125.786143XmidiДля примерного изображения функции распределения построим полигон нак опленныхчастот.Полигон накопленных частот907560SNi 453015039.71454.46969.22483.9898.735Xmaxi113.49128.245143Определим выборочную функцию распределения, к оторая показывает отношение числаэлементов, меньших чем x, к полному числу элементов.F ( x) :=1nn-1(if Xk < x , 1 , 0)k =0x := min ( X) , min ( X) +max ( X) - min ( X)n.. max ( X)Эта функция меняется скачкообразно, поскольку выборка имеет конечное числоэлементов.Выборочная функция распределения10.80.6F( x)0.40.2022.539.71456.92974.14391.357108.571125.786143xНайдём выборочную медиану.

Она удовлетворяет соотношению F(m e) = 0.5. Медианаделит площадь гистограммы пополам. Что бы найти медиану, сначала линейноинтерполируем относительную накопленную частоту RSN, т.е. построим к усочно-линейнуюфункцию F1(x), проходящую через точки (Xm ax0. ,RSN 0),(Xm axm-1бRSNF1 ( x) := linterp ( Xmax , RSN , x)G ( x) := 0.50.80.6F1( x)0.40.20050100150xРешим уравнение F1(x)=0.5. Выберем начальное приближение : gege :=Xmax0 + Xmaxg- 12GivenF1 ( ge ) = 0.656ged := Find ( ge )ged = 0F1 ( ged) = -0.226Мода определяется как точка наибольшего значения плотности распределения. Введёмплотность распределения как производную функции распределения, либо к ак частотураспределения.Определим максимальное значение для K:Kmax := max ( N )Kmax = 24Индекс, соответствующий наибольшему значению, равен:imax := match ( Kmax , N )imax = ( 2 )таких номеров в общем случае может быть несколько, поэтому imax-вектор.Определяем выборочную моду, как середину интервала с номером im ax0 :moda := Xmidmoda = 65.536( imax0)Далее вычислим начальные и центральные выборочные моменты:k := 1 ..

4μk :=1nn-1j =0( )Xjkνk :=1nn-1( Xj - μ1) kj =0Коэффициент эксцессаКоэффициент асимметрииA :=ν33A = 0.246Э :=( ν2) 2Начальные моментыν4( ν2)2-3Э = -0.534Центральные моменты081.1063μ =  7.308  10 5 7.161  10  7.498  107 014 -3.853  10730.247ν= 3  4.856  10  1.315  106 Для теоретической оценки будем использовать нормальный закон распределения. Егоплотность записывается как:-1f ( x , μ , σ) :=( x- μ)e2σ22σ  2πXср := μ1Xср = 81.106среднее значение выборк иσ :=σ = 27.023среднеквадратичное отклонение выборкиν22σ = 730.247дисперсия выборкиДля определения параметров ЗР используютс я точечные оценки. Для данного случаяопределим параметры ЗР m и s, пользуясь методами моментов и максимальногоправдоподобия.

Находим дисперсию:( )2DX := μ2 - μ1DX = 730.247Тогда среднеквадратичное отклонение для нормального ЗР равноσ1 :=DXσ1 = 27.023Математическое ожидание вычисляется из первого момента:MX := μ1MX = 81.106μ1 := MXμ1 = 81.1060.1f ( x , μ1 , σ1 )0.05050100150xДля оценки параметров методом максимального правдоподобия вводится функция L(m,s),которая называется функцией правдоподобия. Задача определения параметров сводится кнахождению таких параметров m и s, при которых значение L максимально. Длянормального ЗР функция L определяется как произведение вероятностей для каждогоэлемента выборки:n -1L ( μ , σ) :=Given()f Xj , μ , σj = 0После подстановки и упрощения получимnL ( μ , σ) := 1  e σ  2π n- 112( Xk-μ) 22 σ k = 0Для определения макс имума находим частные производные и, приравнивая их к нулю,получаем следующую систему:μ2 := min ( X)σ2 := max ( X) - min ( X)Givern-1( Xk - μ2) = 0k = 0n-12n  σ2 =( Xk - μ2)2k = 0 μ2   := Minerr ( μ2 , σ2) σ2 μ2 = 81.106σ2 = 27.023При оценке методом моментов были получены следующие результаты:μ1 = 81.106σ1 = 27.023Как видно, результаты равны.Оценка, полученная для среднеквадратичного отклонения, является смещённой.

Найдёмисправленную оценку S:S := σnn-1S = 27.174Поскольку полученные оценки не являются точными, необходимо определить, какоедопускается отклонение от реальных величин. Для этого применяются интервальныеоценки. Примем доверительную вероятность g равнойγ := 0.95α :=1-γ2Уровень значимости a равенα = 0.025Поскольку известна дисперсия, то будем использовать центральную статистикуT ( μ) :=MX - μσ nОна имеет распределение Стъюдента с n-1 степенями свободы. Вычислим квантильуровня 1-αqt ( 1 - α , n - 1) = 1.987нижняя граница доверительного интервалаa := MX -S qt ( 1 - α , n - 1 )a = 75.414nВерхняя границаb := MX +S qt ( 1 - α , n - 1 )b = 86.797nДля оценки СКО используем статис тикуT2 ( σ) :=(n - 1) S22σОна имеет X2 распределение с n-1 степенями свободы.

Вычислим квантильqchisq ( 1 - α , n - 1 ) = 116.989Нижняя граница ДИ:qchisq ( α , n - 1 ) = 64.793c :=S n - 1qchisq ( 1 - α , n - 1 )c = 23.702Верхняя граница ДИ:d :=S n - 1qchisq ( α , n - 1 )d = 31.849с вероятностью γ СКО попадет в интервалВыдвинем статистическую гипотезу Н0: СВ Х имеет норм. распределение спараметрами МХ и σХ. Проверим эту гипотезу исользуя критерий Пирсона()()Pi := pnorm Xmaxi , MX , σ - pnorm Xmini , MX , σNti := n  Pi 4.297  11.041  19.157 Nt =  22.451  17.774  9.504  3.431 5  11   24 N =  19   15  10  6 Если X действительно имеет нормальное распределение с параметрами MX, σто расхождение между M и N должны быть незначительны. Вычислим суммуквадратов отклонений с некоторыми весовыми коэффициентами g-1 ( N i - Nti )2U := Ntii = 0U = 4.252Сумма имеет распределение χ2τ := g - 3τ= 4τ степень свободыqchisq ( γ , τ) = 9.488В нашем случае U<qchisq(γ,τ), поэтому Н0 не отклоняется, Х имеет нормальноераспределение с параметрами МХ σX.