Коновалов А.Ю., Заборская О.М. - Расчет рад на прочность методом перемещений

Министерство образования Российской ФедерацииАрхангельский государственный технический университетРАСЧЕТ РАМ НА ПРОЧНОСТЬМЕТОДОМ ПЕРЕМЕЩЕНИЙМетодические указания к выполнению контрольных заданийпо строительной механике и примеры расчетаконструкций методом перемещенийдля студентов строительных специальностейАгТуАрхангельск 2003Рассмотрены и рекомендованы к изданиюметодической комиссией строительного факультетаАрхангельского государственного технического университета24 октября 2002 г.Составители:А.Ю. Коновалов, канд. техн.

наук, доц.;0,М. Заборская, ассист.Рецензенты:A . M . Кулижников, д-р техн. наук, проф.;З.А. Волкова, канд. техн. наук, доц.УДК 624.04Коновалов А.Ю., Заборская ОМ. Расчет рад на прочность методомперемещений: Методические указания к выполнению контрольных зада­ний по строительной механике и примеры расчета конструкций методомперемещений для студентов строительных специальностей. - Архангельск:Изд-во А Г Т У , 2 0 0 3 .

- 3 6 с .Подготовлены кафедрой строительной механики и сопротивленияматериалов.Рассмотрены основные теоретические положения расчета конструк­ций методом перемещений при воздействии внешних сия, неравномерноговоздействия температур, осадки опор. Приведены варианты контрольныхзаданий и примеры их выполнения.Предназначены для студентов строительных специальностей днев­ной и заочной форм обучения.Ил. 46. Табл.

3, Библиогр. 3 назв.© Архангельский государственныйтехнический университет, 2003П О Р Я Д О К РАСЧЕТА К О Н С Т Р У К Ц И ЙМЕТОДОМ ПЕРЕМЕЩЕНИЙМетод перемещений является одним из основных при расчете слож­ных строительных конструкций. В качестве неизвестных в этом методепринимаются упругие перемещения узлов системы:- углы поворота жестких узлов;- линейные смещения жестких узлов или групп узлов.Общее количество неизвестных в методе перемещений выражаетстепень кинематической неопределимости заданной системы.При расчете рам (балок) учитывают только деформации изгибастержней конструкций, пренебрегая влиянием продольных и поперечныхвнутренних сил, сближением концов стержней при изгибе.Расчет кинематически неопределимых плоских рам методом пере­мещений производится в следующем порядке:1.

Рассчитывают общее количество неизвестных,2. Принимают основную систему.3. Составляют канонические уразнения.4. Строят эпюры реактивных изгибающих моментов в стержняхпринятой основной системы от единичных смещений по направлению не­известных метода перемещений.5. Строят эпюру изгибающих моментов в стержнях основной сис­темы от всех внешних воздействий.6.

Вычисляют коэффициенты при неизвестных и свободные слагае­мые канонических уравнений.7. Выполняют проверку правильности расчета коэффициентов принеизвестных и свободных слагаемых канонических уравнений.8. Решают систему линейных алгебраических уравнений и устанав­ливают истинные смещения узлов конструкции от заданных внешних воз­действий.9. Строят эпюру изгибающих моментов в заданной раме.10. Выполняют проверку правильности построения эпюры изгибаю­щих моментов способами:а) статическим;б) деформационным.311. Строят эпюру поперечных сил.12.

Строят эпюру продольных сил.13. Проверяют правильность решения задачи.Общее число неизвестных п в методе перемещений для заданнойконструкции определяется как сумма неизвестных углов поворота жесткихузлов п и линейных смещений п„:уп = п+ п.у3(1)Для определения п следует подсчитать все жесткие узлы конструк­ции (все жесткие соединения стержней рамы между собой), исключая же­сткие соединения с «землей».Для определения п , из заданной конструкции следует получить шарнирно-стержневую систему путем врезания идеальных шарниров во всежесткие узлы, включая опорные жесткие заделки, и произвести анализ нагеометрическую изменяемость. Количество степеней свободы полученнойшарнирно-стержневой системы может быть подсчитано по формулеут5 = ЗК-Ш(2)5=ЗД-2Ш-С,(3)илигде К ДШС-количество замкнутых контуров;количество дисков;количество простых шарниров;количество опорных связей.По указанным формулам выявляется необходимое количество до­полнительных линейных связей и для закрепления шарнирно-стержневойсистемы.

Направление дополнительных линейных связей устанавливаетсякинематическим анализом геометрической изменяемости шарнирностержневой системы.лОсновная система метода перемещений получается из заданной вве­дением специальных дополнительных заделок во все жесткие узлы, ис­ключая опорные, и линейных связей по направлениям, выявленным в ре­зультате анализа на геометрическую изменяемость шарнирно-стержневойсистемы. Дополнительные заделки препятствуют только повороту жесткихузлов конструкции и не препятствуют их линейным смещениям.Приведены примеры выбора основных систем метода перемещенийдля ряда конструкций.4Пример1:а) заданная системаб) вычисление количества неизвестныхуглов поворота жестких узловн) вычисление количества неизвестныхлинейных смешений узловПп = IВ-9" "9///S=3K-Hl = 3-L-4=-lНеобходимо закрепить ригель отлинейного смешения вгоризонтальном направленииПримерп = п - «„ = 2 + } =3у2:б) вычисление количества неизвестныхуглов поворота жестких узлова) заданная система1*1г) основная системаI/?в) вычисление количества неизвест­ных линейных смещений узловг) основная система<<?=ЗД - 2 Ш - С - 3 - 2 - 2 - 2 - 2 = 0аил - и, + « = 1 + 0 = 1л5Пример3:б) вычисление количества неизвестныхуглов поворота жестких узлова) заданная система-оШп =2ув) вычисление количества неизвестныхлинейных смещений узловг) основная системаS= З Д - 2 Ш - С =3-5-2-6-2 = 1Необходимо закрепить среднийшарнир от смещения по вертикалия = п + я = 2 + ( =3уяК принятой основной системе метода перемещений прикладываютсявсе заданные внешние воздействия (нагрузки, воздействия температур, осад­ка опор) и получается эквивалентная система.

Для эквивалентной системызаписываются канонические уравнения метода перемещений, которые дляп раз кинематически неопределимой конструкции будут иметь вид>, ,г, + r z + г г +... -г г г„ += 0;uздг+Ал1 1т^2132'«2*2+;№ты+-+Vn=0;(4)'яЗ^Згде Z, - неизвестные перемещения введенных дополнительных связей;г-ц - реактивное усилие в дополнительной связи по направлению i отвоздействия единичного смещения г,; при расчетах следуетучитывать равенство г = г,,;RiF - реактивное усилие а дополнительной связи г от воздействия всейвнешней нагрузки.у6Каждое из уравнений выражает условие отсутствия реактивных уси­лий в дополнительно введенных связях.Подсчет коэффициентов при неизвестных и свободных членов кано­нических уравнений возможен двумя способами:а) энергетическим (перемножением эпюр):(5)(6)б) статическим - из условия равновесия отсеченных частей конст­рукции.Дальнейший порядок расчета конструкций методом перемещенийудобнее рассмотреть на конкретных примерах.РАСЧЕТ РАМЫ НА ПРОЧНОСТЬ М Е Т О Д О М П Е Р Е М Е Щ Е Н И ЙПРИ В О З Д Е Й С Т В И И В Н Е Ш Н Е Й НАГРУЗКИ( З А Д А Ч А 1}Из условия прочности наизгиб подобрать двутавровоесечениеэлементоврамы(рис.

1), если Е = 2,1 • I О кН/см\Vadm 160 МПа, EJ ~= const.q = 20 кН/м1 1 1 1 1 1 1 1IIт414F = 60K1I>=SXr-lОпределяемколичествонеизвестных углов поворотажестких узлов (рис. 2, а) илинейныхсмещенийузлов(рис. 2. б)./Т.Т73м/713мРис. 1. Заданная система1—3И у=1п =- 1п/А,///Л5 = З К - Ш =3-2-7= -1Рис.

2. Определение количества неизвестных метода перемещений7Общее количество неизвестныхп = п -г п ~ t -»- 1 = 2.Принимаем основную систему (рис. 3).уял)е -Ж?^i^H),Рис. 3. Системы мегода перемещений: а - основная; б - эквивалентнаяКанонические уравнения метода перемещений:к'г 2 +г 1ПХП\ 7\ l+rz+ \р = 0;гrz22 2+&2F=0-Для определения коэффициентов при неизвестных и свободныхслагаемых в канонических уравнениях строятся эпюры реактивных изги­бающих моментов от единичных смещений по направлению выбранныхнеизвестных z г и эпюра изгибающих моментов от воздействия внешнейнагрузки.

Все перечисленные эпюры (рис. 4, 5, 6) строятся в основной сис­теме с использованием таблиц реактивных усилий метода перемещений(ем. прил. 1).bа)2IEJРис. 4. Построение эпюры М\: а - схема деформаций элементов рамыпри повороте дополнительной заделки на угол f, = 1; б - эпюра М •.8д)2гЪ6EJ6Е14г=Ш1_8=3EJ3EJ43£/16=гРис. 5. Построение эпюры Mi: а- схема деформаций элементов рамыпри линейном смещении z = 1; 6 - эпюра Л/ г7Получаем:V60-4 1 Г. О=—I — [ = 45кН-м;=22,5 кН • м/7777Mr2=—-и и(3-и) ==60 4!,r _nL2•*34 2L=2j2QРис. 6. Построение эпюры MF= ^ 1 ( з - - ! - 1 = 41,25 кН-м.2 214JСледует помнить, что при подсчете ординат эпюрына участкахстержней конструкции, загруженных сосредоточенными силами F, вели­чины и и и - это доли пролета балки соответственно от левой и правойопор до точки приложения силы F.Рассмотрим статический способ определения коэффициентов принеизвестных и свободных слагаемых в канонических уравнениях.9Вырезается жесткий узел с эпюры А/,и рассматривается его равновесие:£ Л / = - г + 3 £ / = 0;иr =3EJ,где г | - реактивный момент в направлении ziот единичного смещения ^(рис.

7).uEJ}Рис. 7. Вычислениереактивного момента гВырезается жесткий узел со второйиединичной эпюры Ы г и рассматриваетсяего равновесие:Y,M =-г --ЯГп= 0;огде r\i - реактивный момент в направлении z\от единичного смещения z (рас. 8).Рис. 8. Вычислениереактивного момента ги2При вычислении линейной реакции r i в направлении 2г от единично­го смешения z,, можно воспользоваться условием взаимности:2г-г21=---EJ.12оС ?2гРама отсекается от опор и рассматриаается равновесие всех сил в направлении г-i(рис. 9), в данном случае в горизонтальномнаправлении:t12Е/2Рис. 9.

Вычисление линейнойреакции г"4'64где г-22 - линейная реакция в направлении z;от единичного смещения z .21гВырезается жесткий узел с грузовойэшоры Мр и рассматривается его равновесие:£Л/=-А22,5Рис. 10. Вычислениереактивного момента R\yот действия нагрузок101 Г+ 22,5 = 0;=22,5кН-м.где Л — реактивный момент в направленииZ\ от воздействия всей внешнейнагрузки (рис.

10).Рама отсекается от опор и рассматривается равновесие всех сил вгоризонтальном направлении;q = 20 кНЛчjJIIIIIIUfaД ^ = Л , - ^ = 41,25-60 =F-60KH= -18,75 к Н .Здесь R^ - линейная реакция внаправлении z от воздействия всейвнешней нагрузки (рис. 11).F2RA=41,25Рис. 1 ]. Вычисление реакции R fот действия нагрузок2Проверка правильности подчета коэффициентов при неизвестных вканонических уравнениях:(7)где У г , =г,. +г +г .

+г„ =ЪЕЗ-~EJ--EJ;IJ^1 1Мп1 2272 2-88+ —EJ = — EJ;5464= Л/, - Л / , - суммарная эпюра изгибающих моментов от единич­ных смещений в направлении неизвестных методаперемещений (рис. 12);sEJEJ{ 21 ( 1 3 „ , .2 3+—EJ4£/1.216RT\}+2-EJ-EJ-2-EJ-EJ864JEJ \ +316+—(2~EJ~EJ6£Л 8864388864Коэффициенты подсчитаны верно.Рис. 12. Эпюра Ms11Проверка правильности подсчета свободных слагаемых в кано­нических уравнениях:M' MFгДеS(8)=I X*i> 2 P = 22,5-18,75 = 3,75;fd - суммарная эпюра изгибающих моментов от единичных воздей­ствий;M' - эпюра изгибающих моментов от внешней нагрузки, построен­ная в любой основной системе метола сил, полученной иззаданной рамы путем удаления «лишних» связей (рис. 13);+RsFEJ£АЗ4)- - - [ 904-£/] +Ej{4)3+ — [ 2 - 1 2 0 - - & / + 1 2 0 - EJ\ =Ej{1632РисДЗ. Эпюра Л/J.44Проверка выполняется.После подсчета коэффициентов и свободных слагаемых длярассматриваемой рамы получается система линейных алгебраическихуравнений:' 3 £ £ , - 0,375 EJz- 0,375 £/z , +1642+• 22,5 = 0;EJz , - 18,75 = 0.2Решение системы линейных алгебраических уравнений:3,125Zi=85,0-EJИспользуя принцип независимости действия сил, получаем оконча­тельную эпюру изгибающих моментов путем суммирования соответст­вующих эпюр моментов (рис.