Коновалов А.Ю., Заборская О.М. - Расчет рад на прочность методом перемещений (1061792), страница 2
Текст из файла (страница 2)
14, а, 6, в, г):M=M zl1+M z22+M° .F(9)При построении окончательной эпюры Доследует учитывать, что еслииз решения уравнений получается величина z- со знаком «минус», то орди(12наты эпюры М i2 откладываются на противоположной стороне стержняiпо отношению к ординатам эпюры М,.Рис. 14. Построение окончательной эпюры изгибающих моментов (кНМ)в заданной раме от действия всей внешней нагрузки: а - эпюра M z ;б-эптора M^Zi\ в-эттюраЛ/°-; г - окончательная эпюра Мl]Проверки правильности построения окончательной эпюры изгибающих моментов:а) статическая проверка - все узлырамы должны находиться в равновесии(рис. 15):X М = 25,625 + 3,125 - 28,75 = 0.28,75Невыполнение условий равновесияузлов в окончательной эпюре изгибающихрис1 5- Равновесие моментовв жестком узле рамымоментов свидетельствует о неверном вычислении основных неизвестных метола перемещений z,-;б) деформационная проверка - полученное распределение внутренних изгибающих моментов должно удовлетворять граничным условиям.13При проверке выбирается любая основная система метода сил для заданной рамы и строится эпюра изгибающих моментов от воздействия единичного значения любой из адшпних» связей метода сил (рис.
16, а, б, в, г).447777?Рис. 16. Выбор основной системы метола сил: а - основная сисгемаметода сил: б-эпюра М[\ я- эпюра Л/^: г--эиюра М\ .Деформационная проверка:(Ю)гдеМ\ ~ любая из эпюр 16, б, в, г.Например:ММ' KJ76,39-76,875 0,015EJEJ 'Допускается погрешность расчета 2 %:76,89 - 76,875— 1 0 0 % = 0,019%<2%.76,8914При построении эпюры поперечных сил используется условиеравновесия любой отсеченной частирамы:М-М.Г£СП)©©©©©Для выполнения расчетов можРис. 17. Принятое условноено условно пронумеровать узлы пообозначение начала и концакраям рассматриваемыхучастковкаждого рассматриваемогоучастка рамыстержней рамы (рис.
17).Вырезается участок 1-2 и представляется в виде двухопорной балки(рис. 18).д=20 кН/мт Кк ==30кНзи К22*7hi - 3 м* 1/А=225,625 кНмРис. 18. Вычисление поперечных сил на участке 1-2Тогдах = 0,£> = 21,46кН;х = 3,£|22=21,46-20• 3 = -38,54 кН.Вырезается2-3 (рис. 19).участокМ = 3,125 кН-мК =07К =023Получаемп-V+©/ =3 м2325= 0+°"У =-1,042 кН.Рис. 19.
Построение эпюры поперечнойсилы на участке 2 - 315Вырезается участок 2-4 (рис. 20).М = 28,753,/J к Н мМ,= 30,315 кН-м2{•4=0' V =Q©2©64 = 4"*Рис. 20. Вычисление поперечной силы на участке 2 - 4Получаем=у| 'V4-^2=0, 30,315-(-28,75) _= 14,766 к Н .Вырезается участок 3 - 5 (рис. 21):АЛ =29.53 кН-м©- 29 ^3 - ОО+—= -14,765 кН.FAS=2MРис. 21.
Вычисление поперечной силына участке 3 - 5Вырезается участок 5 - 6 (рис. 22).iW = 60,94 кНмАЛ-29.53 кНмИмеемfiК "У |6©S56^0(60,94-{-29,53) _As = 2 мРис. 22. Вычисление поперечной силына участке 5 - 6= 45.235 кН.В результате получаем эпюру поперечных сил (рис. 23).21.46 кН14,765 кН14,766 к Н 4 5 . 2 3 5 кНРис. 26.
Эпюра поперечных сил16Для построения эпюры продольных сил (рис. 26) последовательновырезаются узлы рамы (рис. 24, 25) и составляются уравнения проекций всех сил на соответствующие оси координат.Для узла 3Л',•оQa= U042JV =Qis =14,765 (растяжение),23Лг35= -Q2i©Йз5== -1,042 (сжатие)14,7657V,Рис. 24. Равновесие узла 3Для узла 2^ 2 3 - 6 2 4 - ^ = 0 ;1 ^=^V=Л'L2; 3-22 4iVi2= 0623==14,765-- 1 4 , 7 6 6 = 0,001*0;1,042ГЛ =14,7652Э012=38,542 з = 14,7655^24=623-02=1.042-Ли- 38,54 = - 3 7 , 4 9 8 (сжатие)Рис. 25. Равновесие узла 217Для выполнения окончательной проверки правильности решениярама отсекается от всех опор и рассматриваются условия ее равновесия вцелом (рис.
27):= 60 -14,766 - 45,235 = 0,001 *, 0;£ Y = 21,46 - 20 • 3 + 37,498 +1,042 = 0;X X =-21,46-3 + 20-3-1,5 - 6 0 - 2 + 1,042-3 + 60,94 + 30,315 = 0,001*0.Из условия прочности приизгибе подбирается двутавровое поперечное сечение стержней рамы:9 - 2 0 кН/мртттттт21,46^=60кН14,766(12)М45,235'60,94jytp >(33)max .C37,498adm60,94.10 .160-10* '1,042sРис. 27.
Окончательная проверкарасчета заданной рамыW?>380,8753см .По сортаменту прокатной стали подбирается двутавр № 27а с моментом сопротивления W = 407 см , высотой сечения 27 см, площадьюА = 43,2 с м , моментом инерции J = 5500 см .3x24xПринятое поперечное сечение стержней рамы проверяется на прочность с учетом совместного воздействия изгибающих моментов и продольных сил по двум сочетаниям:а) в сечении рамы, где возникает максимальный по абсолютной величине изгибающий момент:МN(у — ++ сосавW. " Ат я ха =б60,94-Ю3(14)adm'31,042-1040743,2= -149,73 -102-0,24-10см= -149,97 МПа;a = [149,97[ МПа < a618cdm= 160 М П а ;2 Нсмб) в сечении рамы, где действует максимальная по абсолютной величине продольная сила:МN440743,2см'см3= -83,16МПа;о =|83,16МПа <о4Прочностьобеспечена.стержнейаЛи= 1бОМПа.рамывнаиболеенагруженныхсеченияхРАСЧЕТ РАМЫ НА ПРОЧНОСТЬ М Е Т О Д О М П Е Р Е М Е Щ Е Н И ЙПРИ В О З Д Е Й С Т В И И НЕРАВНОМЕРНОГО НАГРЕВА(ЗАДАЧА 2)Для рамы, рассчитанной в задаче 1, определить внутренние усилияпри повышение (изменении) температуры от исходного состоянияО °С: внутри рамы на 20 °С, снаружи на 40 °С (рис.
28). Рама изготовлена из стального прокатногодвутавра №27а, коэффициент линейного температурного расширения а - 1,25-Ю" .5Определяем температуру, °С:внутри контураt = 0 + 20 - 20;снаружи контура/„ = 0 + 40 = 40.BРис. 28. Заданное температурноевоздействиеПри расчете рам методом перемещений заданное температурное воздействие приводится к двум составляющим:а) симметричному(16)19б) обратносимметричному40-20= 10°С,Дг = 2/" = 2-Ш = 20°С.(IV)Г==22Подсчет количества неизвестных и выбор основной системы методаперемещений (рис.
29) подробно рассмотрены при решении задачи 1.Канонические уравнения:2/r z r z + ( д ; , + д ; , ) = о;ul ++nг22 222Д- К 2 / + * " , ) = 0.2Коэффициенты при неизвестных в канонических уравнениях зависят только от геометрии, жесткостных характеристик/777?/777?стержней рассматриваемой раРис. 29. Основная система методамы, принятой основной системыперемещенийметода перемещений и не зависят от внешних воздействий на конструкцию.
Их величины были определены предыдущим расчетом:г,!=jEJ ;xrr= r - - 0 , 3 7 5 £ 7 ; г-,nх2- —EJ .X64Для подсчета слагаемых R' и R' строится эпюра изгибающих моментов М\ в основной системе метода перемещений от симметричного(равномерного) нагрева по высоте поперечного сечения каждого из стержней.Необходимо для начала подсчитать возможные удлинения стержнейрамы основной системы метода перемещений (рис.
30).uа)О2lД, < «©= 4 0°СЖг„= 40 °С©©Рис. 30. Вычисление смещений узлов рамы при равномерном воздействиитемператур: а - принятое условное обозначение стержней рачы; 6 - схемадеформирования элементов в основной системе при равномерном нагреве20Получаем:ригель 1-2sЛ, = al t[l22= 1,25 • I0" • 300 • 30 = 0,1125 см;ригель 2-35Д =l/2a2l3-1,25 • 10" • 300 • 30 = 0,1125 см;стойка 2-45Д = al i' = 1,25 • 10~ • 400 • 20 = 0,10 см;3u24стойка 3-5А =al /л3 255= 1,25-КГ -400 -30 = 0,15 см.На изогнутых элементах рамыосновной системы (1 -2, 2-3, 2-4)строится эпюраЫ\при помощитаблицы реактивных усилий методаперемещений от линейного смещения одного конца балки относительного второго (рис. 31).Свободные слагаемые канонических уравнений определяются статическим способом {рис.
32, 33):Рис. 31. Эпюра М\Д^2-( 4= ^ 0 , 0 0 1 +^0,001125 +З43-Л3Ш31I3+(0,0015 - 0,001) = 0,9219 • 10" EJ:1 ^ = 0;Рис. 32. Вычисление реактивного момента R'Я"^7;R' \2Е7u\2EJ_30,1125 = -0,02109-10" £7.2h'Рис. 33. Вычисление линейнойреаыши R'it21При обратносимметричном воздействии температуры /" эпюра Ы] строится по таблице метода перемещений от неравномерного нагрева (рис. 34).3EJaM2НРис. 34.
Эгтюра М*{Н-высота поперечногосечения стержней рамы)Свободные слагаемые канонических уравнений определяются статическим способом (рис. 35, 36):3£/алго" _ 3EJaM3EJoAt _ л.Рис. 35. Вычисление реактивного момента Я\6г1 ^ = 0;ЗЯ/ослг3£/адг- 2/ft53£/1,25-10" -202/ftРис. 36. Вычисление линейнойреакции Щ2 • 0,27 • 43= 0,3472 - 1 0 " £ J .(Решается система канонических уравнений:[3£А, - 0 , 3 7 5 £ /-3г1+ £7(0,9219 + 0)10 = 0;3| - 0 , 3 7 5 £ А , + - | т £ / г , + £ / ( - 0 , 2 Ю 9 + 0,3472)10- =0,L6433Z[ =-0,475 10" ; z = -1,3414 • 10~ .Окончательная эпюра изгибающих моментов (рис.
37) строится с использованием формулыM= Mz+ Mz+ ( M '( 1 8 )2t22ll22tа)6)5.225/77772.6125EJ= ПООО кН-м5,533^767Рис. 37. Слагаемые окончательной эпюры моментов:а-эпюра М]?]; б-эпюра Л / г22Для рамы, выполненной из cTajTbHoro прокатного двутавра с принятойжесткостью (по расчету на воздействие внешней нагрузки в задаче 1),7,С22EJ - 2,0-10 • 5500 = 11,0- 1 0 П • с м = 11000 кН• м .Окончательная эпюра изгибающих моментов приведена на рис, 38, а.Эпюры продольных и поперечных внутренних сил строятся по аналогии с расчетом в задаче 1 и приведены на рис.
38, б, в.4,949^.в)5,6123.9627,561 12,5113,1283,1283.128Рис. 38. Эпюры внутренних усилийпри воздействии неравномерногонагрева: а - эпюра М, (кН-м);6 - эпюра Q, (кН); в - эпюра N, (.кН)9,5743,96223РАСЧЕТ РАМЫ Н А ПРОЧНОСТЬ М Е Т О Д О М П Е Р Е М Е Щ Е Н И ЙП Р И О С А Д К Е ОПОР ( З А Д А Ч А 3)Для рамы, рассчитанной в задаче 1, выявить внутренние усилия призаданных смещениях средней опоры: а — 4 мм; А = 6 мм; 0 = 0,002 рад(поворот по часовойстрелке);1£7=11000 кН-м (рис. 39), жесткостьвсех стержней одинаковая.X2U—^—Зм—^Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
