Кондратьева Л.Е. - Основы метода конечных элементов

Федеральное агентство по образованиюГосударственное образовательное учреждениевысшего профессионального образованияВладимирский государственный университетКафедра сопротивления материаловОСНОВЫ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВВведение. Расчет стержневых системКонспект лекцийСоставительЛ.Е. КОНДРАТЬЕВАВладимир 2007УДК 624.04/519.61ББК 38.112/22.192О-75РецензентДоктор технических наук, профессорВладимирского государственного университетаА.В. БелевичПечатается по решению редакционно-издательского советаВладимирского государственного университетаОсновы метода конечных элементов : Введение.

Расчет стержО-75 невых систем : конспект лекций / Владим. гос. ун-т ; сост.Л.Е. Кондратьева. – Владимир : Изд-во Владим. гос. ун-та, 2007. – 36 с.Предназначен для использования при освоении теоретической части курсов«Машинные методы расчета строительных конструкций», «Машиноинформационныепрограммы в строительстве», «Численные методы в строительстве» и др., где изучаетсяметод конечных элементов (МКЭ). Рассмотрены принципы и приемы дискретизацииисследуемых областей различных видов, приведения внешних нагрузок к узловым,матрицы жесткости различных одномерных элементов в местной и глобальной системах координат, основные соотношения для отдельного одномерного элемента и длястержневой системы.Написан для студентов специальностей 270102 «Промышленное и гражданскоестроительство», 270105 «Городское строительство и хозяйство», 270115 «Экспертиза иуправление недвижимостью».

Может быть использован студентами других специальностей при изучении МКЭ.Ил. 31. Библиогр.: 6 назв.УДК 624.04/519.61ББК38.112/22.1922ВВЕДЕНИЕИстория развития и области примененияметода конечных элементовМетод конечных элементов (МКЭ) – численный метод решениядифференциальных уравнений, широко используемый в различных областях техники (ракето- и самолетостроение, кораблестроение, строительствои др.). Основоположником теории МКЭ считается Р. Курант (1943 г.).М.

Тернер, Х. Мартин и др. внедрили МКЭ в строительную механику имеханику сплошных сред (конец пятидесятых – начало шестидесятых годов двадцатого века).Существенно расширили область применения МКЭ Б. Сабо, О. Зенкевич и др. (конец шестидесятых – начало семидесятых годов), показав, что егоможно использовать для решения любых дифференциальных уравнений.Большой вклад в развитие МКЭ внесли отечественные ученые Л. Розин, В. Корнеев, В. Постнов и др.Развитие МКЭ неразрывно связано с совершенствованием вычислительной техники, ускоряющей сложные численные расчеты. Соответственно совершенствовались вычислительные программы, реализующие этотметод. Наиболее распространенными программами расчета конструкцийна основе МКЭ являются в настоящее время COSMOS, ЛИРА, STARK(строительные конструкции).Основная концепция метода конечных элементовОсновная идея МКЭ состоит в том, что любую непрерывную в некоторой области величину (например, внутреннее усилие в фундаментнойбалке, перемещение в плите перекрытия и т.п.) можно аппроксимироватьдискретной моделью, которая создается из множества кусочно-непрерывных функций, определенных в конечном числе подобластей (элементов).

Обычно такими функциями являются полиномы – линейные, квадратичные, кубичные и т.д. Кусочно-непрерывные функции строятся с помощьюзначений непрерывной величины в точках соединения элементов (в узлах).Таким образом, чтобы определить неизвестную непрерывную величину, нужно определить ее значения в узлах.3Основные этапы создания дискретной модели неизвестной величиныследующие:1. В исследуемой области задается конечное число точек (узлов).2. Значения непрерывной величины в каждом узле считаются неизвестными, они должны быть определены.3. Исследуемая область разбивается на конечное число подобластей(элементов), имеющих общие точки (узлы).4.

Непрерывная величина в каждом элементе аппроксимируется полиномом, который определяется с помощью узловых значений этой величины: для каждого элемента определяется свой полином, но его коэффициенты подбираются так, чтобы сохранялась непрерывность величины накаждой границе элемента.Основную идею МКЭ иллюстрирует следующий пример.qРассматриваются прогибы v вхстержне (рис.

1).Непрерывная величина – функv(x)ция прогиба v(x) . Ее область опредеlления (исследуемая область) – стерРис. 1жень длиной l.Задается пять точек (узлов). Фикv5v4сируются прогибы в каждом узле:v3v2v1 , v2 ,..., v5 (рис. 2).v1Аппроксимирующая функция –12435линейный по х полином, так как на каждый элемент приходится по два узла.Рис. 2Окончательная аппроксимация v(x) –vчетыре кусочно-линейные функции,v5каждая из которых определена на отv4v3дельном элементе (рис. 3).v2v1xНеизвестные узловые значения1v(x) должны быть отрегулированы та5243ким образом, чтобы приближение к исРис.

3тинной функции v(x) было наилучшим. Это осуществляется минимизацией некоторой величины, связанной сфизической сущностью задачи. Процесс минимизации сводится к решениюсистем линейных алгебраических уравнений относительно узловых значений v(x) .4Если неизвестная непрерывная величина ϕ определена в двух- илитрехмерной области, аппроксимирующими являются функции от х и у илиот х, у и z соответственно. Двумерная область разбивается обычно на элементы в форме треугольника или четырехугольника, трехмерная область –на элементы в форме тетраэдра или параллелепипеда.

Аппроксимирующиефункции изображаются в таком случае плоскими (рис. 4, а) или криволинейными (рис. 4, б) поверхностями (двумерная область).ϕϕууххб)а)Рис. 4Из сказанного выше следует, что основными преимуществами МКЭявляются следующие:1. Возможность исследовать тела (конструкции), составленные изнескольких материалов (так как свойства материалов соседних элементовмогут быть разными).2.

Возможность исследовать области (конструкции) любой формы(так как криволинейная область аппроксимируется прямолинейными элементами или точно описывается криволинейными элементами).3. Возможность учета различных граничных условий: с разрывнойнагрузкой, смешанных.4. Возможность составления общих методик и программ для решения различных по физике задач одного определенного вида (например,программа осесимметричной задачи о распространении тепла может бытьиспользована для решения любой задачи данного типа: о распределениинапряжений в осесимметричной конструкции и т.п.).5Дискретизация областиРазбиение области на подобласти – первый этап в решении задачиМКЭ. Эта операция требует инженерных навыков и опыта.

Неудачное разбиение приведет к ошибочным результатам решения задачи.При разбиении области необходимо уже иметь некоторые общиепредставления о результатах решения задачи, чтоб уменьшить размерыэлементов в тех частях области, где ожидаемый результат может резко меняться, и увеличить размеры в тех частях, где ожидаемый результат близокк постоянному. Вообще, при разбиении области всегда идет поиск золотойсередины: с одной стороны, элементы должны быть достаточно малыми,чтоб получить результаты необходимой точности; с другой стороны, чемкрупнее элементы, тем меньше вычислительной работы.Одномерные элементыОдномерный элемент – это стержневой элемент.

Он используетсяпри расчете стержневых конструкций (фермы, балки, рамы и т.п.).Одномерные элементы могут быть с двумя узлами (рис. 5, а), тремя(квадратичные) (рис. 5, б), четырьмя (кубические) (рис. 5, в).а)б)в)Рис. 5Двумерные элементыОсновные виды двумерных элементов – треугольные и четырехугольные (рис. 6).Рис. 66Толщина элементов может быть постоянна или может являтьсяфункцией координат. Такие элементы используются при расчете различных пластин (плиты перекрытий, стеновые панели и т.п.).Трехмерные элементыНаиболее часто используются трехмерные элементы в виде тетраэдра или параллелепипеда (рис.

7).Рис. 7При рассмотрении конструкций специфической формы (например,осесимметричных) используются специальные элементы (рис. 8).zθrРис. 8Разбиение области на элементыРазбиение одномерной конструкции на элементы не представляеттрудностей.При разбиении двумерной области чаще используются треугольныеэлементы.Сначала область делится на треугольные и четырехугольные подобласти (зоны): границы между зонами определяются изменением геометрииобласти, изменением нагрузки, свойств материалов.Затем зоны разбиваются на элементы.

Наиболее легко разбить треугольную зону, выбрав определенное количество узлов вдоль каждой сто7роны зоны и соединив соответствующие узлы линиями (рис. 9). Если накаждой стороне такой зоны выбрано по п узлов, число полученных треугольных элементов равно (п − 1)2 .Рис. 9Четырехугольные зоны обычно разбиваются соединением узлов напротивоположных сторонах (рис. 10). Если число узлов на двух противоположных сторонах такой зоны одинаково и равно п и т для двух пар противоположных сторон, число прямоугольных элементов этой зоны будет2(n − 1)(m − 1) .ЖелательноеразбиениеНежелательноеразбиениеРис.

10Четырехугольные элементы в дальнейшем можно разбивать на треугольные проведением более короткой диагонали в четырехугольнике.Разбиение более короткой диагональю дает элементы, наиболее близкие кравностороннему треугольнику, что ведет к более точным результатам.Равномерное разбиение, когда все элементы имеют одинаковые размеры, используется редко. Обычно из-за ожидаемой концентрации напряжений размеры элементов варьируются, и эта возможность являетсяважным достоинством метода конечных элементов.

Наиболее простой способ изменения размеровэлементов – применение черырехугольных зон с различным числомузлов на противоположных стороРис. 11нах (рис. 11).8Нумерация узловПорядок нумерации узлов влияет на эффективность вычислений метода конечных элементов. Реализация МКЭ приводит к решению системыалгебраических уравнений, большое число коэффициентов которой нулевые. В матрице коэффициентов этой системы все ненулевые коэффициенты заключены между линиями, параллельными главной диагонали матрицы (рис. 12).Расстояние между главной диагональю иШиринаодной из этих линий называется шириной полополосысы матрицы (см.

рис. 12) и является показателемa a a 0 0 0 0⎤эффективности вычислений: чем ширина полосы ⎡⎢⎥уже, тем меньше размер требуемой машинной ⎢a a a 0 0 0 0 ⎥памяти и время вычислений. Ширина полосы ⎢a a 0 a a 0 0 ⎥⎢⎥определяется порядком нумерации узлов:⎢0 a 0 a a 0 0⎥⎢0 0 0 a 0 a a ⎥B = (R + 1)Q ,⎢⎥aaa0000⎢⎥где В – ширина полосы; R – наибольшая для ис- ⎢⎣ 0 0 0 0 0 a a ⎥⎦следуемой области разница между номерами узлов в элементе; Q – число неизвестных в каждомРис.

12узле.Таким образом, при нумерации узлов необходимо стремиться к тому,чтобы разница между номерами узлов в элементах области была как можно меньше. Для простой прямоугольной области это проиллюстрированона рис. 13. Вариант а менее эффективен: наибольшая разница между номерами узлов в элементе 8. Вариант б более эффективен: соответствующаяразница – 4.1917251018234511 12 13 1419 20 21 222667815 1623 2427 28 29 305113 172125 292610 14 18 2226 303711 15 19 2327 31812 16 20 2428 32431 329б)а)Рис. 139РАСЧЕТ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМОбщая постановка задачиРассматривается пространственная стержневая система.Предполагается, что материал стержней идеально упругий.Система является линейно-деформируемой.Стержневая система разбивается на конечное число элементов, соединенных с соседними в узлах.