Иванов Ю.А. - Принцип возможных перемещений

Федеральное агентство по образованию_______________________________________________________________Государственное образовательное учреждениевысшего профессионального образованияСанкт-Петербургский Государственный технологический институт( Технический университет )________________________________________________________________Кафедра теоретической механикиЮ.А. ИВАНОВПРИНЦИП ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙМетодические указанияСанкт-Петербург2009УДК 531Иванов Ю.А. Принцип возможных перемещений: методическиеуказания.- СПб.: СПбГТИ(ТУ), 2009.- 23 с.В методическом указании содержится систематизированный материал порешению задач курса теоретической механики.Сделан акцент наприменение основных законов динамики применительно к особенностямспециальностей технологов.

Методические указания предназначены длястудентов первого и второго курса всех химико-технологическихфакультетов. Предлагаемое методическое указание соответствует рабочейпрограмме курса теоретической механики.Илл. 12, библиогр. 3 назв.Рецензент:Бартенев Д.А. доц. канд.

техн. наук, кафедра ТОХМСПбГТИ(ТУ)Утверждено на заседании методической комиссии физикоматематического отделения 03.04. 2009Рекомендовано к изданию РИСо СПбГТИ(ТУ).2СодержаниеВведение…………………………………………..…..………… . 4Общие теоретические положения…………..…..……… 5I.I.

Возможные перемещения.………………………….. …..5I.2. Идеальные связи……….…………….…………….……..9I.3. Принцип возможных перемещений.…………………...112. Рекомендуемая последовательность решения задач………...133. Примеры решения задач……………………………………….144. Контрольные вопросы………………………………………….21Литература……………………….……………………………...203ВВЕДЕНИЕБольшая часть курса теоретической механики изложена с использованиемвекторной алгебры, В данных методических указаниях используетсявариационная теория, которая,благодаряЭйлеруиЛагранжу,получила широкое применение в аналитической механике.Аналитическая механика оперирует скалярными величинами.

Векторнаяи аналитическая механика - это два различных описания одной и той жесовокупности явлений природы. В случае свободных частиц, движениекоторых не ограничено заданными связями, эти два способа описанияприводят к идентичным результатам. Для механической системы сголономными связями аналитический подход оказывается болееэкономичным и простым. Множество элементарных задач решаетсяметодами векторной механики без применения аналитических методов.Однако, при решении болеесложных задачпредпочтительнывариационные методы, как наиболее общие и универсальные.Несмотря на простоту принципа возможных перемещений, решениезадач с его использованием вызывает у некоторых студентов определенныетрудности.Принцип возможных перемещений - это один из принципов механики,который в наиболее общем виде устанавливает условия равновесия любоймеханической системы. Отличительная особенность данного принципасостоит в том, что при его применении вычисляется элементарная работа.одних только активных сил на перемещениях, которые можно сообщатьточкам системы.

Необходимость использования принципа возможныхперемещений возникает в тех случаях, когда требуется определить:зависимость между величинами активных сил при равновесии системы,имеющей число степеней свободыS ≥ 1, либо зависимость междуконструктивными параметрами механической системы, находящейся вположении ее равновесия, а также когда требуется определить внутренниеусилия реакции в опорах.

При этом заранее исключаются из рассмотрениявсе неизвестные и не требующие определения реакции идеальных связей.4ОБЩИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯI.I Возможные перемещенияВозможными перемещениями механической системы называютсябесконечно малые воображаемые перемещения, которые она могла бысовершить с учетом наложенных на неё связей в данный момент времени.Возможные перемещения - векторы, условно обозначаемые символомδ r , имеющие следующие особенности:- возможные перемещения не вызываются силами, а являются любымивоображаемыми перемещениями этих точек по возможным траекториям,допускаемым связями системы;- возможные перемещения бесконечно малы и не зависят от времени;- в случае связей, изменяющихся с течением времени (нестационарных) ,под возможным перемещением для данного момента времени понимаютбесконечно малое перемещение, допускаемое всеми наложенными связями,взятое для этого момента времени;- в случае связей, не изменяющихся с течением времени (стационарных),направление действительного элементарного перемещения d r совпадает сδ r тогда как для нестационарныхсвязей действительное перемещение d r не совпадает ни с одним изодним из возможных перемещений,возможных перемещений.В общем случае может существовать множество различных возможныхперемещений.

Однако, для каждой системы в зависимости от характераналоженных на неё связей можно указать определенное число такихнезависимых между собой перемещений, что всякое другое возможноеперемещение может быть представлено как их геометрическая сумма.Например:● свободная материальная точка имеет бесконечное множество возможныхперемещений в произвольных направлениях, каждое из которых можнопредставить в виде суммы трех координатных векторов:δ r= δ x i + δ y j + δ z k5● если на свободную точку наложим одну связь в виде поверхности, покоторой эта точка может двигаться, не отрываясь от нее, например, нашарик, лежащий на какой-нибудь поверхности (например, криволинейнойили плоской), то можно указать множество направлений по касательной кповерхности (или вдоль плоскости), которые являются направлениямивозможных перемещений для данной несвободной точки.

Однако любое еёвозможное перемещение δ r можно получить как сумму двух независимыхвзаимноперпендикулярных перемещений:δ r= δ x i + δ y j● если на материальную точку наложены две связи, т.е. точка движется полинии, например, шарик в желобе, то можно представить себе, лишь двавозможных перемещения по направлению к касательной δ r 1 и δ r 2.

В этомслучае лишь одно возможное перемещение является независимым, так какδ r 1 = - δ r 2.Число независимых между собой возможных перемещений системыназывается числом степеней её свободы.Так, рассмотренный вышешарик на плоскости, если его считать материальной точкой, имеет двестепени свободы, а если он расположен в желобе, то одну степень свободы.Свободное твердое тело имеет шесть степеней свободы (независимымиперемещениями будут три поступательных перемещения вдоль осейкоординат и три вращательных вокруг этих осей).Приведенные рассуждения можно распространить на любые точкимеханической системы. Число параметров (координат), определяющихположение механической системы в любой момент времени, зависит отколичества точек (или тел), входящих в систему, и от числа наложенныхсвязей.

Ограничимся рассмотрением только геометрических связей (т.е.когда связь налагает ограничение только на положения точек системы),образующих класс голономных механических систем.В результате оказывается, что число независимых координат,определяющих положение системы с геометрическими связями, равночислу степеней свободы этой системы. В качестве таких координат можновыбрать любые параметры (имеющие любую размерность). Независимыемежду собой параметры, число которых равно числу степеней свободысистемы и которые однозначно определяют положение каждой точки (илитела), называют обобщенными координатами системы.Условимся обозначать обобщенные координаты q1, q2,… qv,… qs,(v=1, s ), где s - число степеней свободы системы.Поскольку обобщенные координаты между собой независимы, то ихэлементарные перемещения δ q1, δ q2,… δ qv,… δ qs будут также междусобой независимы.

При этом каждая из указанных величин определяетсоответствующее, независимое от других возможное перемещение системы.6Так как обобщенные координаты однозначно определяют положение nточек системы, то радиусы-векторыrI(i=1, n )этих точек являютсяфункциями обобщенных координат. Радиусы-векторызависеть явно от времени:rIмогут такжеr I= r I (q1,q2,…,qv,…,qs,t).(1.1)Рассмотрим теперь возможные перемещения i-й материальной точкисистемы и выразим возможные перемещения их обобщенных координат.Принимая во внимание, что возможные перемещения сообщаютсяточкам системы в фиксированный момент времени, т.е.

δ t=0, то наосновании (1.1) определим ихδr I= ∂ ri δ q1+ ∂ ri∂q1∂q 2δ q2+…+ δ qv+…+∂ ri∂ riδ qs= ∑δ∂ rs∂vУчитывая функциональную зависимость радиуса-вектора от времени, вматематике вводится более общее понятие δ ri , которое называетсяизохронной вариацией радиуса-вектора. Входящая в выражение (1.2)величина δ qv является изохронной вариацией сообщенной координаты qv.Рассмотрим определение возможных перемещений на примерах.ПРИМЕР1.Определим возможные перемещения точек А и B рычага А В (рисунок 1),который может вращаться в плоскости чертежа вокруг оси. проходящейчерез точку О.Рисунок 17Вращающееся тело имеет одну степень свободы S = 1.Примем за обобщенную координату угол поворота рычага q= γ .Мысленно повернем рычаг на ничтожно малый угол δ γ в положительномнаправлении отсчета угла поворота γ . Тогда векторы возможных перемещений точек A и B δ rA и δ rB будут направлены по касательным ксоответствующим радиусам-векторам OA и OB ,а величины их могут бытьприняты равными δ rA = OA δγ ; δ rB = OBδγ .Таким образом, возможные перемещения точек А и В выражаются черезодно возможное приращение обобщенной координаты.ПРИМЕР2.Рассмотрим возможные перемещения точек A и B кривошипношатунного механизма (рисунок 2), состоящего из кривошипа OA радиусомR, шатуна AB длиной l ползуна B, имеющего одну степень свободы S=1.Рисунок 2 – Модель кривошипно-шатунного механизмаВ качестве обобщенной координаты выберем угол поворота кривошипаq= γ .Мысленно повернем кривошип OA на угол δγ и изобразим возможныеперемещения точек А и B , т.е.