7 кластер (Раздаточные материалы)

Глава ХХ ОПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ДВОЯКОЙ СИММЕТРИИ 109. Характеристика трансформированного изображения и его получение Оптические системы, сформированные из оптических деталей с круговой симметрией, когда плоскость предмета, а следовательно, и плоскость изображения перпендикулярны к оптической оси, дают изображения, подобные плоскому предмету, т. е.

с постоянным масштабом по всему полю. Любое осевое сечение этих систем равнозначно. В некоторых случаях требуются системы, образующие изображения с различным масштабом в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Такие системы необходимы, например, в регистрирующих приборах (световой поток от нити накаливания электролампы заполняет протяженную щель прибора) и в широкоэкранном кинематографе, когда съемки и показ широкоэкранных фильмов обеспечиваются с помощью обычной 35-миллиметровой кинопленки, и т. п. Процесс получения изображений с переменным масштабом называется трансформированием. В результате трансформирования прямоугольник с одним соотношением сторон преобразуется в прямоугольник с другим соотношением сторон или вместо прямоугольника получают фигуры в виде параллелограмма, трапеции или другого четырехугольника. Примером трансформирования с привлечением оптической системы круговой симметрии является получение изображения предмета, находящегося на наклонной плоскости по отношению к оптической оси (см.

рис. 32 и 33). Как правило, системы двоякой симметрии формируют из цилиндрических линз или из их комбинаций с осесимметричиыми линзами, В этих системах различают два сечения. Одно из них (сечение 1), в котором действуют направляющие цилиндрических поверхностей (обычно дуги окружностей), называется главным (первым), а сечение !1, ему перпендикулярное, в котором находятся образующие цилиндрических поверхностей, — вторым. В некоторых случаях в обоих сечениях имеются и направляющие и образующие цилиндрических поверхностей, тогда выбор одного из этих сечений произволен.

Оптические системы этого вида называют анаморфозными (алавогрпози (греч.) — искажение формы!. При действии анаморфозных систем изображения принимают расширенный, суженный или наклонный вид по сравнению с первоначальным видом предмета (см. рис. 254). Расширение изобра- ЗЗО Праднлгя Рнс. 254. Внды трансформированных изображений ження может происходить как за счет увеличения ширины а, так и за счет уменьшения высоты И, а сужение — при увеличении высоты и уменьшеяии ширины. За основу геометрических представлений о расширенном и суженном иэображениях принимают отношение ширины изображения к ширине предмета — коэффициент ширины И = а,(а и отношение высоты изображения к высоте предмета — коэффициент высоты Ив = Иг(И.

Отношение коэффициентов ширины и высоты А = И,/Ив представляет собой козффиииент анаморфозы. Образование наклонного изображения основано на расширении или сужении условного прямоугольника, в котором исходный предмет повернут на некоторый угол. Параметрами трансформированного изображения в этом случае являются угол наклона хр, коэффициент ширины И, и коэффициент высоты Йл. Трансформированные изображения могут быть получены с помощью различных оптических систем двоякой симметрии, в которых в основном применяются цилиндрические линзы. Однако существуют системы с использованием цилиндрических отражающих поверхностей и преломляющих призм (3).

Рассмотрим действие цилиндрической линзы. На положительную (плосковыпуклую) цилиндрическую линзу (рис. 255) направим пучок параллельных лучей, который образует изображение в виде отрезка прямой, перпендикулярного к оптической оси и проходящего через задний фокус г"' сечения Р, длина этого отрезка д~~ (в сечении !!) ранна длине 1 цилиндрнче.

ской линзы. Если точечный источник света А (рис. 256) по отношению к этой же линзе расположен на конечном расстоянии -и, то его изображение имеет вид отрезка прямой, перпендикулярного к оптической оси (рис. 256). Расстояние а' этого изображения Рнс. 255. Леаствне ан- лнядрнческоА линзы 'вля случая, когда точечный предмет находится в бесконечности ЗЗ! Рис.

256, Дейстзне цилиндрической линзы для случая. когда точечный иредмет находится иа конечном расстоянии от линзы Рис. 257. Дейстние цилиндрической линзы для случая, когда предмет имеет лннейчатую форму от линзы находят по формуле отрезков (88) с учетом положения главных плоскостей линзы в сечении 1. Длина изображения хп (в сечении 11) зависит от длины линзы и линейного увеличения рг в сечении 1. Считая линзу бесконечно тонкой, имеем: х~~/1 = (а' — а)/ — а ж — 8~ + 1. Следовательно, хп ж (1 — ~~)!.

Заметим, что вследствие действия аберраций изображение будет иметь вид полоски, обращенной вогнутостью к линзе. Если электролампа имеет прямую нить накала, расположенную параллельно образующим цилиндрических поверхностей (рис. 257), то положение иэображения по-прежнему можно определить по формуле отрезков, а длина изображения х' ж 1(1 — р,) — х~„ где х — длина нити накала. Ширина иэображения в сечении 1 будет ду' = ()з ду, где ду— ширина нити накала.

Освещенность изображения, полученного при действии цилиндрической линзы, определяют с учетом того, что апертурные углы в двух взаимно перпендикулярных сечениях (1 и 11) неодинаковы. Обратимся к рис. 257, на котором источник света в виде малпй площадки б11„перпендикулярной к оптической оси, трансформируется в прямоугольник со сторонами х' и с(у', нмекнций площадь сИ1'.

Если принять, что яркость /. излучающей площадки Й1 одинакова по всем направлениям, то на основании уже известных зависимостей (см. гл. Ч11) можно написать следующую приближенную формулу для определения освещенности изображения: Е' ж т/.И' м т/.1/У/а' ж 4тй Мп о( з!п о;ь 332 где т — коэффициент пропускания системы; и( и п(~ — апертурные углы в пространстве изображений в сечениях 1 и 11 соответственно. 110. Цилиндрический и сфероцилнндрический объективы-аиаморфоты Объекгпив-анаморфот — оптическая система, образующая изображение, имеющее различный масштаб в двух взаимно перпендикулярных направлениях.

Для предмета, расположенного в бесконечности, коэффициент анаморфозы А =1(11п, где Д— заднее фокусное расстояние системы в сечении 1; Д~ — заднее фокусное расстояние системы в сечении 11, Если предмет находится на конечном расстоянии от оптической системы, то в сечениях 1 и П должны быть различными линейные увеличения, и коэффициент анаморфозы А =" ()г1рп (477) Наиболее часто объектив-анаморфот применяют при киносъемке или проецировании предметов, расположенных на конечном расстоянии. Частным случаем такого объектива является конденсор-анаморфот. Рассмотрим объектив-анаморфот, состоящий из двух бесконечно тонких компонентов с фокусными расстояниями '1( = 1( и 5 = 1п. Компоненты 1, 2 представляют собой цилиндрические линзы, образующие которых скрещиваются под углом 90' (рнс.

258). В сечениях 1 и 11 как бы действуют различные оптические системы, каждая из которых имеет свое линейное увеличение: ~~ = (аз+ п)1ан (478) бп ='ах1(ау+о), (479) где Ы вЂ” расстояние между компонентами; а, — отрезок, определяющий положение предмета Относительно 1-го компонента; Рио. 258. Реиродуииионныа объектив аиаморфот на двух ииаиидрнчеекихиннв 333 аз — отрезок, определяющий положение изображения относительно 2-го компонента.

При использовании формулы отрезков получим: для сечения / а! '= /! (аз + Й)/(/; — аз — г(); (480) аз = [/! (а! — г() — а!с([/(а! + /!), (48! ) для сечения // а! = [/з (аз + !() — а~0)/(/з — аа\; (482) аз = )2 (а\ д)/(а! с(+/2). (483) Приравняв правые части формул (48!) и (483), получим следующее уравнение: а~!(/, — г( — /) + а!!((г( — 2/!) +/гг( = О, (484) которое совместно с одной из формул (480) или (482) прн известных значениях /г, /а и г( позволяет определить отрезки а! и аз и таким образом оценить коэффициент анаморфозы [см. формулы (477) — (483) ). При /[ = Я = /' уравнение (484) примет вид: аз! +а! (2/ — !() — / г( = О.

В этом частном случае — а! = аз, поэтому [$п = !/[)!. Следовательно, коэффициент анаморфозы А = [)!/Р!! = [)), (486) а отрезок а, по формуле (478) равен: а, = с(/(! + р!).. (487) Подставив а, в уравнение (485), после преобразований получим: (8,/(! + [),)) сР— /' ( ! — [),) А = О. (485) По условию г( ~ О„поэтому имеет смысл решение с( = Г (! — И)/[) !.

(488) Используя равенство (486), получаем: с( = /'(А — !)/у А. (489) Пример. Рассчитать основные параметры объектива, у которого А = 28, а /' = !00 мм. Согласно формуле (489) !( = 480 мм; по формуле (488) [)! = — 8 и, следовательно, рг! =- — 0,2. Отрезок о, по формуле (487) равен — )20 мм, а аз = —.— о, = )20 мм. Ахроматический репродукционный объектив-аиаморфот показан на рис. 259.

В каждом из двух сечений этот объектнв можно рассматривать как систему из двух компонентов (линз и плоско- параллельных пластин для сечения / и плоскопараллельных ' 334 Рис. 259. Ахроматический репродукционный объектив-анаморфот пластин и линз для сечения 11). Для обоих сечений должно быть соблюдено равенство расстояний по оптической оси от предмета до изображения. Сфероцнлиидрический объектив-анаморфот образуется сочетанием цилиндрических и сферических линз.

Выбором толщины линз и показателей преломления обеспечивается равенство расстояний по оптической оси от предмета до изображения в обоих сечениях. Возможны различные варианты размещения сферического и цилиндрических компонентов (8). Например, обе цилиндрические линзы 1, а могут быть размещены по разные стороны от сферического компонента 2, а их образующие скрещиваются под прямым углом (рис.

280). В сечении 1 действуют второй и третий компоненты с эквивалентным фокусным расстоянием /!, в сечении 11 — первый и второй компоненты с эквивалентным фокусным расстоянием /!!. Таким образом, коэффициент анаморфозы А =Я/2!. (490) Из формул (58) н (59) найдем фокусные расстояния /! (и /!!, а также положение эквивалентного фокуса г' (отрезки ар ! и арм): ' 1! = 1213/(12+ 13 аг)' 1!! =- 1!/2/(/! + 12 — 2(!)' а! ч =- !аз (6 — !12)/5+ ~з — аг)' ар и =/гб — а!)/(Г~+6 а!). При этом необходимо обеспечить выполнение условия !(2=-.