Галеев Э.М., Тихомиров В.М. - Оптимизация (теория, примеры, задачи), страница 4

1.11. у(хихз) = хзхз(б — х> — хз) — > ехгг. 1,12. у(х„х,) = ез*>+з*'(8х> — бх,х, + Зхз) — ехгг. > 1 13, у(х>,хз) = е*' *'(5 — 2х> + хз) ехгг. 1.14. у(х„хз,хз) = х,х,х,(7 — х, — 2хз — Зхз) ехгг. > 1.

15.,у(х>, хз) = / (! + хзс+ х>) Ж вЂ” гп!п -> (задача о полнномах Лежандра второй степени). 1 1,14, у(х>,хпхз) = ) (1~+ хзС +хз1+х>) М вЂ” пцп. — > (задача о полиномах Лежандра третьей степени). 1.17. Найти экстремумы неявно заданной функции двух переменных хз —— у(х„хз), если Е(х>, хз, хз) = х> + х, + хз — каз — хзхз + 2х~ + 2хз + 2хз — 2 = О 23 Ф 2. Коиечиомериые гладкие задачи е равенствами 42. Конечномерные гладкие задачи с равенствами В этом параграфе даются необходимые и достаточные условия экстремума в гладкой конечиомерной задаче с ограничениями типа равенств.

2.1. Постановка задачи Пусть У>: К" — > К, ь = 0,1,...,пь, — функции и переменных, Считаем, что все функции У> обладают определенной гладкостью. Гладкой конечнамернои экстремальной задачей с ограничениями типа,оавенств называется следующая задача: Уь(х) — > ехгг; Уг(х) = О, ь =1,...,гп. 2.2. Необходимые и достаточные услоаия экстремума 2.2.1. Принцип Лаграшка Сформулируем необходимое условие экстремума 1 порядка в гладкой конечномерной задаче с ограничениями типа равенств — принцип Лагранжа. Л (й,Л)=0 е>ь>ь =О, 1=!,...,гь ч=ь ~Л;уг(й)=0. дЛ(х, Л) дх.

Это соотношение называется условием стационарности. Точки, удовлетворяющие условию стационарности, называются стационарными. Доказательство проведем от противного. Предположим, что условие стационарности не выполняется. Это означает, что векторы У (й) = (' -') = дУг(й) дУ,(й) Л г = 0> 1,,пь линейно независимы Поэтому дх, '"' дх„)' дУь(й) дУь(й) дх> дх„ дУ (х) дУ (х) дх > дхь уду,(а) ! ранг матрицы А = ~ дх. ) >=ь,...,п> ! равен Теорема.

Пусть х Е !г>сехггР— точка локального экстремума в задаче (Р), а функции У>, ь = 0,1,...,т, непрерывно диффвренцируемы в окрестности точки х (условие гладкости), Тогда существует ненулевой вектор мнозкителвй Лагранзка Л = (Ль,Л>,... > Л ) Е К~+', Л ~ О, такой, ы что для функции Лагранзка задачи (Р) Л(х,Л) = 2 Л;Уг(х) выполняется >=О условие стацивнарткти 25 й 2. Конечномерные гладкие задачи с равенствами 24 Глава 1. Экстремальные задачи из+ 1. Тогда по теореме о ранге матрицы (см. [13, с. 71[) существует матрица М порядка (т+ 1) х (го+ 1) с определителем, отличным от нуля. Допустим для определенности, что этой матрицей является матрица, составленная из первых столбцов матрицы А: дУ»(х) дУ.(й) да( дх бес .. ".

= десМ Ф О. дУ„,(й) дУ'.(й) д, дх„, Не ограничивая общности, считаем, что Уо(х) = О. Действительно, если Ях) ~ О, то следует рассмотреть функцию То(х) = То(х) — То(х) н лля нее будет Го(У) = О. Положим Р(х) = (Ро(х),...,Е (х)) (уо(х л ю .,й»),уы(х,йы~с, у»)) для вектора х = (хн..., х„,+с). Функция Р отображает некоторую окрестность точки х =- (хн...,й ы) б К +' в К +', и является (в силу условий гладкости теоремы) непрерывно дифференцируемым отображением в этой окрестности.

Р(х») = О. Кроме того, якобиан отображения Р в точке х отличен от нуля, т.е. бес [ ) = ссесМ Ф О. /дР,(х») с [ дх ) с=о,с, .,ы 3 1= ~,...,лн- ~ По теореме об обратной функции а конечномерных пространствах (см. следующий пункт) существует обратное отображение Р ' некоторой окрестности точки у = О в окрестность точки х такое, что Р '(О = 0) = х» и (Е '(у) — )К '(у)~ < К[у — у[ еь [Р '(у) — х[ < К[у[ с некоторой константой К > О. В частности, для достаточно малого по модулю е определен вектор й(г):= Е (е,О,...,0), для которого [х(е) — х»[ < К'[е[.

Это означает, что Р(х(е)) = (е,О,...,0), что равносильно равенствам Уо(х(е),х +з,...,й») = е, Тс(х(е),хс +н...,х ) = О, с = 1,...,т. Таким образом, для вектора х(е) = (х~(г),...,х„,ьс(е),х,с,...,й») выполняются условия Уо(х(е)) = е, Л(х(е)) = О, с = 1,..., щ, и при этом [х(е) — й[ < К[с[. (2) Из соотношений (1)-(2) следует, что вектор х не доставляет в задаче экстремума, ибо вблизи его существуют допустимые векторы х(е), на которых функционал уо принимает значения как большие так и меньшие чем То(х) (напомним, что зо(х) = 0). Получили противоречие с тем, что й б 1осехсг Р.

Таким образом, наше предположение (противного) неверно и тем самым теорема показана. 2.2.2. Конечномерная теорема об обратной функции. Теорема Вейерштрасса Теорема (конечномерная теорема об обратной функции). Пусть Р: ГГ К" — непрерывно дифференцируемое отобуагкение некоторой окрестности су С К' точки х в К", Р(х) = у и лкобиан отобралсения Р гАР,(х) т' в точке х отличен от нуля [бес Р'(х) = бес сх ) ~ О). Тогда сСх существует обратное отобрахсение Р ' некоторой окрестности К точки у в окрестность точки х такое, что Р (у) = й и [Е '(у) - К '(0) [ < К[у - 0[ сс у б Р с некоторой константой К > О.

Пусть г; К" К вЂ” функция и переменных. При исследовании вопроса о достижении функцией п переменных экстремума часто используется следующая теорема, Теорема Вейерштрасса. [16, т.1, с.235[ Непрерывная функция на непустом ограниченном замкнутом подмноокестве конечнаыерного пространства скомпакте) достигает своих абсолютных максшпума и минимума. Выделим простое следствие из этой теоремы, которое часто будем использовать.

Следствие. Если функция Т непрерывна на К" и 1пп у(х) =+со 1»1»» ( 1пп З(х) = — со), то она достигает своего абсолютного минимума 1»1 с» (максимума) на любом замкнутом аодмнолсествв из К". Напомним, что множество А в метрическом пространстве называется компактом, если из всякой последовательности. элементов А можно выбрать сходящуюся к элементу из А подпоследовательносгь или (равносильное определение) если из всякого покрытия А открытыми множествами можно выбрать конечное подпокрытие. Ограниченное и замкнутое мно кесгво конечномерного пространства является компактаи. 2.2.3.

Необходимое усаовие экстремума П порядка Сформулируем необходимое условие минимума П порядка в гладкой конечномерной задаче с ограничениями типа равенств. 26 Глава 1. Зкстремальиые задачи Теорема. Пусть х Е 1оспцп Р— точка локального мвнимума в задаче (Р), функции Д, а = О, 1,..., гп, двалсды непрерывно дифференцируемы в окрестности точки Я (условие гладкости), д!ш11п'(1,(х),...,1' (х) ) = и (условие ре!улярности). Тогда сушествует множитель Лагранжа Л = (1,Л„...,л,„) Е К'"ы таков, что длл функции Лагранжа задачи (Р) а Л(х, Л) = 1о(х) + 2 Л,1,(х) вынолняются условия стационарности: ~=! Л.(Е, Л) = О <=» 1о(х) + '> Лг1,.(й) О Ф=! и нготрицательностк (Л.а(х,Л)Ь,Ь) >О ЧЬ; (1,'(х),Ь) =О, !=1,...,ш.

Мы сформулировали необходимое условие минимума. Необходимое условие максимума формулируется аналогично, за исключением того, что множитель Лагранжа Л = (-!,Л„...,Л ) Е К ы и соответственно функция Лагранхга Л(х, Л) = — 1ь(х) + 2" Л;1г(х). !'= ! 2.2.4. Достаточное условие экстремума П порядка Сформулируем достаточное условие минимума П порядка в гладкой конечномерной залаче с ограничениями типа равенств. Теорема. Пусть функции 1„а = О, 1,..., пз, дважды непрерывно дифференцируемы в окрестности точки У (условие гладкости), дпп Лп (1,'(Е), (х) ) = и (условие регулярности). Сувгествует множитель Лагранлса Л = (1, Л„..., Л ) Е К +' такой, что для функции Лагранжа задачи (Р) Л(х, Л) = 1о(х) + 2 Л;1г(х) вьи!олняютсл условия стационарности: г=! л.(х,Л) =о е 1о(а)+',~ Лг1,'(х) =О !=! и нолозкительности: (Л,а(х,л)Ь,Ь) > О ч Ь зь О: (1!.(х),Ь) = О, а =1,...,гп.

Тогда х Е 1осго1п Р— точка локального минимума в задаче (Р). Мы сформулировали достаточное условие минимума. Достаточное условие максимума формулируется аналогично, за исключением того, что множитель Лагранжа Л = (-1, Л„..., Л ) Е К~+~ и соответственно т функция Лагран!ка Л(х, Л) = — 1о(х) + 2', Лг1г(х), ' Во означает линейная оболочка . $2. Коиечномерные гладкие задачи с равенствами 2.3. Правило решения Для решения гладкой конечномерной задачи с ограничениями типа равенств слслует.

1) Составить функцию Лагранжа Л(х,Л) = ) ЛгД(х). в=о 2) Выписать необхолимое условие экстремума 1 порялка — условие стационарносги функции Лагранжа: Л,(Е,Л) = О е=»,~ Л,1,(х) = О. в=о 3) Найти точки х, удовлетворяюшие условию стационарности (эти точки называются стационарными). При этом следует отдельно рассмотреть случаи: а) Ло = О, Ь) Ло = 1 (или любой положительной константе), с) Ль = — 1 (или любой отрицательной константе).

В случае а) стационарные точки могут доставлять и минимум, и максимум в задаче. В случае Ь) стационарные точки могут доставлять минимум в задаче. В случае с) стационарные точки могут доставлять максимум в задаче. 4) Найти решение среди стационарных точек или доказать, что его нет. При этом можно пытаться воспользоваться непосредственной проверкой или перейти к исследованию условий экстремума П порядка в каждой стационарной точке. Выписать матрицу вторых производных Л, (х,Л) и пространство .б = (Ь Е К" 1(1'(Е) Ь) = О а = ! ш) Проверить выполнение достаточных условий экстремума — положительную определенность матрицы вторых производных: (Л„(х, Л)га, Ь) > О Ч Ь Е Ь, Ь Ф О.

Если это условие положительности выполняется, то точка х доставляет в случае Ь) локальный минимум в задаче (а Е 1оспппР); в случае с) локальный максимум в задаче (х Е 1осшах Р). 5) Если не выполняются достаточные условия экстремума, то надо проверить выполнение необходимого условия экстремума — неотрицательную определенность матрицы вторых производных: (Л„(х,Л)Ь,Ь) > О ч Ь Е Т.