Галеев Э.М., Тихомиров В.М. - Оптимизация (теория, примеры, задачи)

ББК 22 18я73 Предисловие Л«нтинп с и штин пг) лгггт ти лспо нуи )нгнггнсглигн) ггогыернсле Рпссиисиогп фондо фундомсннгоо»ни г нсогег)ононий !проект )лб 98-01 — 14126) Галеев Эльфат Михайлович, Тихомиров Владимир Михайлович Оптимизания: теория, примеры, задачи. — Мз 5)литпрнал УРСС, 2000.— 320 с. 15ВЫ 5-8)60-0041-7 1ВВ1Ч 5 — 8360-0041-7 1! 11И! 111111 Ос Э. М. 1алеев, В. М. Тнхоч пров, 2000 10 7)днторпал УРСС, 2000 785836 000417 Книга посвяшепз важпеишплг проблемам натали««анни. Она построена на базе преподавания ~сории опшмизации па ллсхаппко-матсллапшеском факультете МГУ. В основе сс лежат курсы, пргл ппалшые и 1998/99 юдах Э.

М.!анеевыч (Глони 1 — 5) и В. М.Тихомировым (быва 6) Рассматриваются фрагменты слсдуюших разделов теории экстре»люлиных .юла г явленного и аьшуклоло програмлшроаання, лгатемглтическоло програлллшропання, классического вариашюнно|о исчисления и оптнллального управлении. Прнводятси как необхолнмые так н достаточные условия экстремума. Дяя изучения этих разлелоя в необходимом обьеме даются элементы функционального и выпуклого анализа. В каялом паралрафе после теоретической части прияолятся примеры решения злшач, предлагаются задачи дхя решения на семинарах, контрольных н ддн домашних заданий.

Лается обзор обших методов теории экстремума. Лля стулеитов вузов по специальностям Математика», «Прикладная математика», а также для аспирантов, преподавателей и научных работников. Залачи на отыскание наибольших и наименьших величин являются актуальными на протяжении всей истории развития человечества.

Особенное значение они приобретают в настоящее время, когда возрастает важность в наиболее эффективном использовании природных богатств, людских ресурсов, материальных и финансовых средств. Все это приводит к необходимости отыскивать наилучшее, или как говорят, оптимальное решение того или иного вопроса. Первые задачи на максимум и минимум были поставлены и решены в глубокой древности, когда математика только зарождалась как наука. Теория экстремальных задач начала создаваться в начале 17 века, и затем она активно развивалась вплоть до наших дней, включая в свою орбиту крупнейших математиков таких как Ферма, Ньютон, Лейбниц, Бернулли, Лагранж, Эйлер, Пуанкаре, фон Нейман, Канторович, Понтрягин и других.

В наше время невозможно мыслить себе полноценное математическое образование без элементов теории экстремума. Книга состоит из 6 глав. Первые пять глав, составляющих первую часть, написаны Э.М.Галеевым. Они содержат материал курсов оптимизации, читаемых на курсах лекций по методам оптимизации, линейному программированию, оптимальному управлению и вариационному исчислению на механико-математическом факультете Московского государственного университета, а также в некоторых институтах естественно научного профиля. Данный курс лекций был разработан целым рядом профессоров и преподавателей механико-математического факультета МГУ.

На начальном этапе курс формировался усилиями В, М.Алексеева, В.М.Тихомирова, С.В.Фомина. Методическая разработка доказательств, а так же подбор и составление задачного материала во многом были проведены Э.М. Галеевым. При написании этих глав использовался материал, содержащийся в ранее опубликованных книгах: (АТФ) Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В.

«Оптимальное управление», Мд Наука, 1979; (АГТ) Алексеев В. М., Галеев Э. М., Тихомиров В. М. «Сборник задач по оптимизации», Мд Наука, 1984; (ГГ) Галеев Э. М., Тихомиров В. М. «Краткий курс теории экстремальных задач», Мл Изд-во МГУ, 1989. Эта часть книги является расширением вариантом пособия Галеева Э. М. «Курс лекций по вариационному исчислению и оптимальному управлению», Мх Изл-во мехмата МГУ, 1996. Она предназначена для курсов, включающих элементы теории экстремума любого уровня и приспособлена к действующим ныне программам.

Все чертежи в 7АТЕХ'е 2е выполнены Ааьфирой Галеевой. В этой части рассматриваются следующие разделы теории экстремальных задач: задачи без ограничений, гладкие задачи с ограничениями Предисловие типа равенств и неравенств, линейное программирование, классическое вариационное исчисление, оптимальное управление, необходимые и достаточные условия экстремума в классическом вариационном исчислении.

При изучении данных разделов требуется знание основ математического анализа и линейной алгебры, изучаемых на первых двух курсах технических и педагогических вузов, университетов. Предполагается, что читатели знакомы с элементарными приемами дифференцирования и интегрирования функций, умеют решать простейшие дифференциальные уравнения, знакомы с элементарными навыками работы с матрицами (умножением, транспонированием, нахождением обратной). Все остальные используемые в курсе математические понятия подробно определяются.

В первой главе рассматриваются задачи без ограничений, задачи с ограничениями типа равенств, с ограничениями типа равенств и неравенств для числовых функций и переменных и в нормированных пространствах. Для каждого типа задач приводятся решения соответствующих примеров. Олним из примеров является старинная задача Аполлония о нормалях к эллипсу. Методами теории экстремальных задач решается задача из курса алгебры о приведении квадратичной формы к главным осям.

Большое внимание уделяется выпуклым задачам. Даются элементы выпуклого анализа, причем выпуклый анализ в зависимости от уровня математической подготовки читателя может рассматриваться как в конечномерных пространствах, так и в линейных нормированных пространствах, вводится понятие субдифференциала и доказывается теорема Куна — Таккера. В этой же главе даются некоторые элементы функционального анализа и дифференциального исчисления в нормированных пространствах. Вторая глава посвящена линейному программированию.

В ней вначале даются постановки задач линейного программирования, правило решения задач в канонической форме по симплекс-методу, приводятся с решениями примеры. Вводится понятие двойственности, затем проводится строгое обоснование симплекс-метола, дается ряд методов нахождения первоначальной крайней точки. Полученные навыки применяются к некоторым наиболее известным типам задач линейного программирования — транспортным задачам и задачам о назначении. Основная цель при этом — ознакомление студентов с имеющимися методами решения задач линейного программирования и проведение обоснования этих методов. Обоснование проводится таким образом, чтобы лля решения подобных задач в дальнейшем возможно было бы самостоятельно создать метод решения и провести его обоснование.

В пособии приведены доказательства теоремы существования решений и теоремы двойственности, позволяющие более глубоко понять данный курс. Предисловие В третьей главе приводятся следующие элементарные задачи классического вариационного исчисления: простейшая задача, задача Больца, изопериметрическая задача. Все эти задачи являются частным случаем более общей задачи Лагранжа.

Как частный случай задачи Лагранжа рассматриваются задача с подвижными концами и задача со старшими произволными. В четвертой главе рассматриваются залачи оптимального управления. Приводится формулировка и доказательство принципа максимума Понтрягина в общем случае, а также принципа максимума для задачи со свободным концом. Решаются простейшая задача о быстродействии, задача Ньютона и ряд других задач оптимально~о управления. В пятой главе даны необходимые и достаточные условия экстремума в простейшей задаче классического вариационного исчисления. Глава 6, составляющая вторую часть, написана В. М.Тихомировым и посвящена обзору всей теории экстремальных задач с единых современных позиций.

Она основана на записях курса лекций, читавшегосл Тихомировым В. М. на механико-математическом факультете МГУ осенью 1998 года. В ней в сжатой форме выражено воззрение на теорию экстремальных задач, составившее стержень книг Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. «Теория экстремальных задач», Мл Наука, 1974 и Алексеев В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В. «Оптимальное управление», Мл Наука, 1979. Эта часть рассчитана на преподавателей вузов и университетов (в особенности, на ведущих занятия по курсам оптимизации), студентов старших курсов университетов и научных работников, интересующихся проблемами теории эксзремума и местом, которое занимает этот раздел анализа в современной математике. Глава 6 написана в надежде на то, что она поспособствует модернизации курсов оптимизации в будущем.