Габасов Р., Кириллова Ф.М., Альсевич В.В., Калинин А.И., Крахотко В.В., Павлёнок Н.С. - Методы оптимизации, страница 10

6. 1 О. '.У(НО КССТВО ИЗЧЫВЗЗ ВСЯ йод,;РйфМКОМ фКНКЦИМ ~(Х)„Х б Л С" К )'СО(ЗЗМЗ 6.9. Ф).'ИКЦР / (Х), х Е Л' С.. Й'". ОЛ~МдеЯЕйййй йО ВЫЛУй;- .Зхи .вайо.®.~~с~йзс Л', зыйуклй ~йоздо й ~йояько й~й~дй, коздо ее йодф~й- ~"3йй "" ВЫЛККЛО~И ИЙО„К4Ч:,йЫО, ДОКИЗОИЫЯЬСМЗО. ПУСТЬ Дх)„Х 6:.

Х, — ВЬЦТУКЛЗЯ фуНКЦНЯ. ПО :Вобым дв~м точкзм х „х' б- е~и~ (х =-(х, У ), х =(х „уз), .т~. х ~=-Х. у~~Д(х'), у >Дх~)) состзвлм выпуклую комбннзцию 7(Ц== )л +(1-А)х" =-(3х'+(1-Цх, ) У +(1-А)У ), Х:~(), Ц. ПО- скОлькУ Х вЂ” БыпУклос миомвство, то Е-т +(1 — А)х е А. Из ОпрсдвлсииЯ мио)ксствз стй ) и ВыпУклости функцйи ~(х), хе А, слвдУст, ~то )„у +(1 — ЦУ > Х/(х )+(1 — ).Ц(х ) > ~(лх +(1 — Х)х ), т. с, Х(А) б 6~А ~ . С лрутой стороиы, 1тусть мио ксство с~й / Выи) кло, Рзссмотрим двс с~о точки х~ =:(х', /(х~))., х =(х', Дх )).

При любом Ае~(), 11 имеем х(г.)-'=Ах +(1 — ).)х = Цл + (1 — ) )х, Х~(х ) -' (1 — Ц,~(х ))с ерш„~. По ти!Осдзлс3$ик) мио)кзствз 601 7 зто Озизчзст, что А~(х )+(1 — ),)~(х") ~ НВ рио, 6.19 прйВ0дс))ы прийсры Вь)йуклык Оболочск фу))кции ~1.т1 = -к + 4, к к Й, О))ролйло))иой иВ раа))илиык 0) ро)кйк Х, 15, Выпуклая фуикцня )'Дх), х о л' й", неирерыВВВ Во ВиутреиИИК ТОЧКВК ИВПУОТОПО ВЫПУКЛОКО К)))О)КООТВВ А'. Докй)о)))окьо)))ВО. 11уоть к ~)й)Х.

'То)ла оу)))оотВуот тйкоо о, >О, ЧТО ХЕ Х, ООЛЙ ', Х вЂ” 7~~ ~ Ь~. ПОЛОЧПТЗСМ ЧИО))О О "-' П)1П '~ —, —, В > О, , 6, В1)) 11).271 П ))Я БОЗьмем произВОльйыЙ Всктор х, улОВлстВОря)о)яиЙ иораВВйстВу 11х — х ~~< 5. Поло)кич ):, = о,е,, соли х,.--.т >О: у, =--о,): — в про- тиВИО)) олучао. Готла к - к = 1), )', + ... + ))„у„„)де )), > О, 1 = 1,)) . Кро~о 16.23) 1100кольку ~~х — 7~~ < 6, тО из 1)).27) пОлучим 1х, ';". 1 ')), )' =1.й. 113 Вь)йук- ЛОПАТЫ фуЯКЦИИ / (Х1, х ~ Х, Ц ЯСрВВВИСТВ О 'Л )))А, < 1, 1 -'=" 1. Р), О))СДуВТ И В)111):$ '1ОМ 11~)ОГ~)1)МЫИРОВЗНИИ ИССЛСЛУ)ОТСЯ ТЗЛЗЧЙ МИНИМИЗЗЦИИ В1,1Г1УЕ1ЫХ ф~'ИКАЙ, НС ЕЗ)КДЗЯ 11Ь1ИУК)11)Я 1И:.1З)КС СТТ)ОГ1) ВЫИ)'К- Х1 .'1ЗЯ1 фЯМЕБЙЯ ИМСС Г '1"ОЧК)1 МйНИМ:,'Е)З, ЛЙГКС ССЛИ ОНЗ ОГРЗИИ- ~(х)=: Е"' ~1СИЗ СИИЗ)'.

ЗЗМСТИМ, ЧТО ОГ~ЗНИЧСИНЗЯ ОНИ)'~' СТ1)ОГО БЫИХК)1ЗЯ "Х у.' ~~1'ЕНЕИИЯ ) 1Х 1 =- С НЗ МИО)КСС 1'" В А ---,ХС й: Х>ф НС ИМССТ РИС. 6. '2 ТОЧКИ МИНЙМУМЗ фИС. 6.22). СПРЗВС)ЬЯИВЫ УТВСРЗКЗСН11Я: :)) ~' В11ПУКЛОЙ фуНКИИ11 ~(Х), Х Е Й., ЛОКЗЛЬИЫЙ МИНИМУМ СОВ11З" 1;1СТ С 1';106ЗЧЫ1ЫМ; 01 НС1)УСТОС МНОКССТВО )1 ' ТОЧСК МИНИМУМЗ ВЬИ~К)10Й фуНКЦИ)1 11 Й, Х 6 Й, ВЫГ1УКЛО. ОНО СОСТ01Г1 Иэ СДИНСТВСНИОЙ ТОЧКИ„ССЛИ !.",.'."ИЕИИЯ / (Х), Х С К ', СТ~)ОГО ВЫ1)УКЛЗЯ; Е) СИЛЬНО ВЬИ1~КЧЗЯ ф~НКБДИЯ ВССГДЗ ИМССТ ТОЧКУ МИИИМУМЗ И ОИЗ С;,1ИНСТВСИНЗ.

ЛОЕ1Х)й67СЛЬСРИ60. ИЗ УТВСР)КДСИИЯ 1Т СЛСДУСТ, ЧТО ВЬПТУКЛЗЯ фуйКЦНЯ ИС М1))ЕСТ ИМСТЬ ЛВУХ РЗЗ)ЛИЧИЫК ЛОКЗЛЬБЫ)1 М101)1ЫУМОВ. ДСЙСХВИТСЛЬНО, СОЛИ Х'. Х'ЕК', — ТОЧЕК ЛОКЗЛЬИО10 МИИИМУМЗ ВЫ)ТУКЛОЙ фуНКЦИИ ."1Х!, Х~1 й.", и ~ДХ'1> )11Х ), ТО ДЛЯ ТОЧКИ Х~).) =-) Х'+11 — ЦХ~, Р. ~",~0, Ц„ИМССМ УГО,:1НО МЗЧУН) ОК~)ССТИОСТЬ ТОЧКИ Х' И ПО)ТОМ~ ИОСЛСЛ11СС СООТИ01ПСНИС 001)ТИВОРСЧИТ ТОМ~', ЧТО Х вЂ” ТОЧКЗ ЛОКЗЛЬНОГО МИНИМ')'МЗ, Т. С.

11т'1-- /~Х)'1, „:.~ОКЗЗЗТСЛЬС1"ВО УТВС1))КДСИИЯ б ОЧСВИДНО. ;,11)КЗ)КОМ УТВСО)КЛС11ИС В. МНО)КССТВЗ ЛСбСГЗ СйЛЬйО ВЫГ1УКЛОЙ -;,Р~'ИКИИИ ОГРЗНИЧСИЫ, И, КРОМС ТОГО, ОНИ '.)ЙМКНУТЫ В СИЛ~1 ИСПЩ)Ь1ВНО" СТИ ГЛ1.1ЬНО ВЫПУКЛОЙ 1~)УНК11НН. ПОЗТОМУ ИО ТСОРСМС ВСЙСРВ1ТРЗССЗ СУ1ИССТ11~*СТ ТОЧЕЗ М)1ИНМ1'МЗ, И ОНЗ СДИ)1СТБСННЗ В СИЛ~~" СТ~)ОГОЙ ВЫПУКЛОСТИ ф"НЕННИ, ;;,'.ки1 х„(,У) ==.х =- х+М, ()~(0, О ~, — план ядачн (7.11), еслн (), >О -р~:",-ах~~йы ~~ало, Зтп ~л~,дуех йз хо~ а, нто и сйлу (7.12) аыйплняй)~~я А(У,(х), .7)х = А(1„(х), У)х+ ОА(/„,(х), /М.'Ь(~„(х)), х (У (х)) = х(.7 (х)) + ОЙ.7 (х)) = К(,У,(х)) > О. ~де <, .'~ 11, 1 =1;л. Фупкцйй ~(1) =' у (Г~,...,~ ), 1 с Й „называетея иизи- уиАФм,м, маципи 1й,, 1 =- 1,й, / =- 1,Р1) -' мтц~йпей зкепоненх, задача ~8.12), аооМпе говора, не йвдае~еа задачей аыпуадоео про- ~-рах~ыпроаайна, Введе'м обозначения х, = 1а~,, у =.1„ги: х„., =1п:, е,П~,' 1, ~~, = — 1пе„~'=.1,л.

В новых переменных задача (8.12) принимает аид Р(х,Х) = ~ е*""' + ~~, ~ ~а„~ — г,„„— Ь,, ~ч ~~=1 Где х= «х., ~ =:1,~п„х„... 1=1,и)„Х =(А;, 1=1„п), заиказем задачу, авонез'веййу~о а задаче 18, 13): ф ~Х) = ЛН~Х)ЛХН + ЛНЙ„ЛХН ~2 = -614,.(Х) ~+6'В,~~., ~'.) '2 Прн В =- и задача «7.9) станоантсЯ задачей ЛП, графнческий метод рсп.сння которой Описан В разд, 1,2. Ддя Идентификации н построения Оптимальнмх пданОВ задачн !'~.9) будем испОльзоаать следунлпий Гсометричсси1 Очеандный ериййрйй ~ййш.иалайО~йй„аотормй В Обпзем сзучае будет доназан В 1 д, 3; йтдй з' й зОдОЧВ ~9.9) Ой~ййзйзлсй ййз-дй й йтодьйо ~йоадО, йода ,«Чйзйз~~дйой ~фдеаой ф~йй~йй НО дйзбо~1~ дой~~сйпсно,ну йой~~ййдейййз ~у ] йеоярйццй~'зьйд' Вектор 1 е й"„~, '1 ~~ = 1, назыааетсЯ доиу1сиимым йавравлейиам В точас х Отйосительпо множестаа А', есдн суптестаует таеос числО О" > О, что х+ 01 е Х 1'О ~ ~О; О').

На рнс, 9,1 Изображена мпо~кестаа НВНОмним ГСОметрический смысл прО-' ' ~ = -раджах) изВОЛНОЙ НО напраВленйГО В ВВклндОВОИ метрнке. ЛнтиГраднент ~ = -дхаф ~х ) функпнн ~'(х), х~й', В тО ке х каракте- Х Р=.Р риз~ет Величину н напрааленне наискОрей- ВВСГО уменьепения функции В тОчке х . ПрОРие.

9.2 екння пр~с ВектОра с нй напраалснне 1 е. Й . 11 1!~ =1, раВиа прОнзВОднОИ фуикпий / ~.х), х 6 Й ', пО напраалении 1 В тОчке х и характеризует пачальнук> скОрОсть уменьиения функции ~(.х), л'б й ', прн дана~;енин ВЛОль на праВлениЯ 1 фис. 9.2). Приступим к репзенниз зааачи (9.9).

ПредаарительнО Ос~~нсстаим ВспОмОГВГельньГВ пОстрОення. ИзООразим на плОскОстн переменных х~, х~ мнОГО~ГОльнОе мнОкестВО планОВ Л. В случае А' =0 задача ~9.9) ис имеет ре~пениЯ из-за иссовмсстиости ее ОГраничений. 1):~'сть Л' ~ В. ИзОбразим миО~ксстВО тОчек ОезуслОВИОГО минимума нелеВОЙ ф'~'нкпии л = (х 6 К: Вх+ с =- О~ . ВОзмОжпы три случая: 1) Ои В ~ О (стОлбны й',, ~Х, матрины В лннейнО нсзааисимы); ~) Де~ ~ ~ — О (Век тОры .*~ ~~ чинейнО зааисимы ) н Век ГОры линейиО заВисимы; 3) Ое$0 =-0 и ВектОры с„д, .линейнО исзааисимы, РзссмОтрим Гсперь для случЙя 1 си- 1Т;1Н11и, и300рз1кенные 11з рис. 9.4„0, 8, к01дз точкз х лежит из ребре множествз 11остронм проскцико зи'п1Грййиснтз ц1ВО~(х') 1ГЙ Йто ребро, Гели Вектор орто10нзлен ребру, т, е.

проекция рйвнз ну- ЛКЬ То Х' = Х вЂ” ОПТИМЗЛЬИЫ11 ПЛЙН (рИС. 9.8), Б СЛУЧЗЕ, КОГТЙ ПроекЦИЯ ОТЛИЧИЙ ОТ НУЛЯ, пос'Гу11Йем ЙнзлОГично с117)'Йции 10. Случай 2: с1е10= О и Векторы с, д1 линейно 3Йвисимы (множество Л" 10чек бе3условн01 О минимумй целеВОЙ ФУнкции — прЯмзй, рис.

9.9). .о кйчестве нзчзлы10ГО Г1риблшкения В03ьмем Точку, ВН3)зльно Олижййц1у10 к прямОЙ Л . 1 зкой точкОЙ может Окй3ЙГься: О) Вер1циий х' Г Х (рис. 9,9, ~1); б) л106ЙЯ точкй ребрй„пзрзллельнОГО прЯ~~Й Л 1рис, 9,9, б, В), СОГлзсно критери10 Оптимзльности точкз х' В с11тУзции о и Все точки укзЗЙИИОГО ребрз В ситуйции 0 являи)тся Оптимзльными плЙ11зми. ПО3томх процесс рец1ениЯ 3Йдйчи (9.9) нз 3том 3ЙВерцхзетсЯ, Случ~тй 3: ОС~В=О и Векторь1 с, 11 линейнО не3звисимы (мно-ке- стВО Л' ТОЧСК бе3УслОВИОГО мин11мУмз ЦСЛ~ВОЙ фУикции пУсто). Построим прЯм~'10 Л е = 11х б-: Й: И1х == О1. состОЯ1цу10 и3 точек бе3Условио- го минимума каздрзтичного члена иелеаой функ1)нн Задачи 19.9)„и проее11и)О ВектОрз -с 1)з прямук) Аа р = прт 1 е) ° Пусть Х,1 1Л Ф- О. Нзчием ДВИГзт1~ея пО прямо)1 л, и изпраилении ~), При Этом дВИ)кеиии значение каз.ц)зтичноГО члена Остзетея рзаным нулю, 3 знзчеиие л)1нейиого члена уменьиьается со екоростыо ПОЭТОМУ ЕСЛИ ДВИЬКЕЬН1Е ПОЕЛЕ ПОПЗДЗНИЯ НЗ Л НЕ ПОКИДЗЕТ МО МНО)КЕЕТВО, ТО ИЕЛЕВЗЯ фУНКИИЯ НЕОГ))ЗНИЧЕИНО УМЕНЬИ1ЗЕТСЯ, Т, Е, ЗЗДЗ- чз 19.91 ие имеет реи)ениЯ 1'рие, 9.10, а).

В елучае, когда указанное даи)кение покидает Х, зз пераое прибли)кеиие т примем поеледниио точку ИЗ Л'фие, 9.10, 6). А =~~.л й': А,, ~О, з.з >01~1с1. Множество А состоит из олной точки Х =1-27.'16; 15~16), которая нахолнтся из системы уравнений 3~,-З., + 6=-О, -т, ~ 11Хз =-12 =-О, т. с. Л 11А =З 1рис. 9.13) и реализуетсв случай 1: 3/ 2 -1/2'1 ос1 ~=.8~0 11~о 1 В качестве начального приближения возьмем то ку Х =-(О; 157161, котораа вйзуальйо блиасайл~ая к Т~~К~ А .

ВьР4ислйм антй$ралиент =-(--81~'32; 27.'32) н ностройм нроекнниъ Ра, Влоль лоиУстнмосо иа, правления,:Рр иа лрямой 1з Возьмем точку А -'"-1О; 21. Построим ант14Гра лйсйт ~', = (--2; -51 и ироекни~о на Р Ъ 1 в точке Х . ПовсРнем ЙРоскнни ~РЯ н около точек А, А соотастстасн" 3 „„., ° 1 НЗЗОВСМ ((Рн~вНАйМИ ПЛЗНЗ Х . ИЗ ОПРСДСЗСНИЯ ОПСРток СЛСДУСТт ЧТО,О (Х) — ., НЗЧЗЛЬНЗЯ СКОРОСТЬ ИЗМСНСНИЯ ПСЛСВОЙ фУ(нх(~ИИ Д~Х), ССЛИ У ПЛЗБЗ Х УВС-; личн(Взть сдйнстВснную компонснту х,, ОстзВляя нснзмсннььмн Остзльнь(с. 3'со13смз 9.2 (критсрнй оптнмзльиости).

Д(Я орнлн4(~(льнос~~ рр7ойо;-,, Х" йСО6ХОдННО и дОСРЛйРЛОЧйо, РРРРР(РбЬ~ С, и ОНЕНК(( МОК.,~РАЗОРЯЛ~( СООРРРм-,.:,'=: ИОИМСИУЯН 1Х") >О нрИХ" =А; Л,(Х") тО ррЯ~Х, =-(~,; 19,13).':;;,. 1Х ).-О Лрд А ~Х, <6~„/рв,1. ДотсйЗйтРИ'.ЛЬСРРтето. НСООЗЮдйМОСУттст. ПРСДПОЛотт(НМ ОТ Й1)ОТИВНОГОч;-,"(Ре что суисстВуст тзкой оптимззьный плзн х, что соотно(лсннЯ 19.1~) нс ",:, ВЫПОЛНЯК)ТСЯ НЗ НСКОТОРОМ ИНЛ,СКСС „('. (Б (, Т, С. Отметим, что во всех свтчавх Цв О. Построим вуч х(р) = ' =х -6г, ЯщпЛ, ~х ), 6>0, с комнонснтзми х, (6) =х~, — 6Я(дпЛ,.(х'), х,~6) ах~, ~'~.1'( ~'., гдс г, =(0,...,0„1, О„...,О) с К'. Согласно(9.14) при ' Всск достаточно мзлых 6>О Вскторы х('6), 6 > О, будут плзнзми ыда-' чн 19.1 ). Подсчнтзсм нзчзльну(О скорость измснсниЯ цслсВОЙ функпни: ПРИ ДВИКСНЙН ВДОЛЬ ЛУЧЗ Х(:„6)т 6 > 0: ф~х(6)) ф'ах(6)) ~Ь~В)~ '®6 Зво СХ ~6 1О З = Мт(ОМ(,„(-е,.арво (т')) = -~Ь,,(х" ((< ((. 1»1ОСЛСЛНСС НСРВВСистВО По,»1ТВСР®Ласт оптнма3ЬНОСТь 1311апа .т, 1(срааснстао ф(т)l ~;.т, > () при .т, = А, и нсрааснстао ф (я) от, < О ПРИ Л', .'= »'1, — Э3'О ЖИИЮМ4 ЯЬНЬИ.' ИРМЗй»айй "йС~Я6СНИИдй В ТОЧКС Х, Ра 1»С»»1'.: ГВО» ~» (Х) /ГХ„= 0 - ОИЖИМЯЛЬИЫЙ йрйаййй",~ЧМСИСЛ»1ВО.