Том 2 (Седов Л.И. - Механика сплошной среды), страница 11

По| ^>любыхlimобразом,B3.11)уравнениянетрудноиСтоксаимеем'¦'=Напряжениетрениязависитоткоординаты0,332у -^хиB3.17).падаетсростомх.262VII .Гл.ПолноеГидромеханикаоднойсопротивлениепластинкиучасткаЪшириныстороныподлиныипрямоугольногоL представит-потокуформулойсяLR{Ъ=xdx=0,664bfp\iLUlтренияполучим.оОтсюдакоэффициентадляi*RгдеU0L/v.-Такимобразом,впорциональноциенттрениячислаРейнольдса.Напомним,нойпоступательнойобратнопропорционаленРейнольдсачислахидеальнойвста,парадоксскорости.квадратунойпограничноготолщинаслоя;иЕслиизвытесненияпредставляетсятолщинуусловияB3.10)товеличинуслояпограничного0,995,биможно0,005Израсчета6ПрибольшойныхзначенияхполучаетсяUo,скоростикоординатывесьма=ф'/из5,16/ж!B3.19)аме-имеетпродоль-пограничномвна89.рис.например,0,5%Uo,уравненияi==-\B3.19)чтоследует,j/-^.малойхмалой.~изинеб определить,=Uo=ср' (?)функцииДаламбераизображенувычислить0,995малыхприскорости,е.т.жпостоян-стелформулойкоторойвидизстепениопределяетсякривой,Uo-квадратномураспределениескоростикомпонентысдоеu/U0=корнюкоэффи-ажидкостипервойСогласноТолщина3/2,вязкойвкогдапропорциональнапро-степенивдвижениюсопротивленияскоростьюпропорциональнажидкости,сопротивлениеUoскоростисилаB3.18)полноеслучаеэтомобтеканиячтоA^.,=вязкоститолщинаB3.20)(u./p)пограничного=vиумеренслояб24.ПриэффектыНекоторыебольшиха;>0иторможениящаютсянаб*величину=[(UQ-t>'U0ви) dyU^[1запластинкислое90),q/ (i)]счеттокалиниисме-формулойопределяемую-263жидкостиотвдалипограничном(рис.=0">ужидкостивязкойдвиженияУ™-dl=Отсюда6*Аналогичнымнуобразом6обзадачобтеканиипрофилейНекоторые§ 24.вязкойвВслоя,продольныйТочкапограничногонуля.ототрываслоядавленияминимумадр/дх>0.идеальнойтеланормалямподвиженияобтеканиипрофилейдавлениюпеременно,идавленияВне-давле-слоеприравноеградиентотличенб*.Вслоя.утолщенныхэффектыпрофилю,пограничногораспреде-обтеканиител,пограничномзадачахплоскихобтекаемомуслояос).—»переменнымвнешнемдляважныежидкости(Нпограничногораспределениявытеснениятолщинывеличинунавотелуполучатьможнодругихпограничногозаданнымграницеуточнениядальнейшиеобтекаемомупожидкостьюсвнешнейнаслучаяхкоторыхний6*вытеснениятолщи-ирешениипритолщиныопределениюбслояопределятьтолщиныидавленийлениемпограничногоможноК90.Рис.~~~толщинуб*вытеснения1,72]/=точкедр/дхпереднейдр/дхвпоэтомупрофилюпо<0,0,заточкойпрофиленадавлениякритическойB2.8)др/дх)уравненияхотдавленияуменьшениипригранице(производнаяминимума=подавлениевнешнейнаточкиминимуматочкидодавления264Гл.НапрофиляобтекаемогоповерхностиприлипанияидвиженииГидромеханикаVII .v=0=кромеэтого,ниянадлянапряжениядр\Важнойхарактеристикойразличныевиды91.Рис.В(у)иВверхностивозвратноекривойд2и/ду^^>^>надает,случаеЖИДКОСТИ.(у)0д2и/ду2итоB4.1)покасательнаяди/дувсправаслояпограничномслоесле-и,0,^>химеемк0=пограничногосечения,др/дхточкойза=Если0.проходящегоперегиба^>отпо-получаетсяслояивнешнегосущественночерезD,0.поэтомуточканерезкимкмонотоннопо-толщинысущественнойжидкости,зависящимотрываОтрыввозникает.увеличениемпривеститеченияимеемкоторойвпрофилявдольслояВ,точкуВточкедавления,давлениеможетвСледовательно,минимумапограничногосопровождаетсяслоястановитсяВнейВточкиВточкойточкаотрывосновногоотдлялежатьграничногопограничногостройкеинапе-жидкости.идолжнавоз-DточкевотрывЗаимеется0точкеточкойВ0.фдр/дхСлевадвижениеНаобязательноскоростейТочкаявляетсявозникаетпрофиля.этойвпоэтому0.Впоказанырегиба.при=точке0,=слоя.вертикальна,хдовательно,0.т<Стимеемскоростейслоепограничномкри-91рис.продольныхпог-раничногопрофилякривойtВточноявляетсяслояНараспределенияотрывникаеткривойB4.2)скоростей.кривыхтре-'/у=опродольныхвязкогосилыимеемпограничногораспределенияваяB4.1)поверхностнойпрофиляобтекаемогоповерхностидуВустановившемсяприполучаетсяiвусловийоснованиинаB2.8)уравненияизперекотороеотсвойствввязкостиэтом§ 24.ОпереходеэффектыНекоторыеДвижениеламинарного""т^фбулентный1051вбольшихПрислой,ТакжетерныеприкакивпограничномОбластьрости,пределениянаправлении,слоеболеерезкоесопротивлениясвызываетсоответственноиоченьбольшиеющиеничногослоя,костейвтактрубах,жепомощьюоснованыскоростейты,общегопограничныхобусловленноесопротивления.слоев,=(ди/ду).\iпогра-движенийжидзаконахоихарактеристикустанавливаемыхдругихнасохранения.законоврошо90%исоотношениях,Приновызыва-данныхэмпирическихнасопротивлениядотурбулентныхрасчетихтрениятурбулентногорасчетикаксреднихинтегральныхразличныхраспределенияспециальныхсопротивление,силыисследованиевооб-жидкостиотсутствуют,скорости,скоростипрактическиградиентынапряженийзначенияТеоретическоепо-оченьвозникаеткоторомвскоростипоперечныебольшиетурбулентномвповерхностиподслой,пульсацииимеютсяповерхностейобтекаемойналаминарныйневелики,расчетачтостенок,тренияВместепоявлениюкприводитвблизисилгладкихслоеграничномтонкий50скоростей.среднихпопе-впограничномтрения.обтеканииПрищежидкостистенкахтру-интенсив-происходитчастицповерхностныхдругвтурбулентномвскоростейградиентоврезкихувеличениеотличаютсядвиженияхслоенаРас-п.турбулент-вирезкоэтогот.иламинарномговоря,выравниваниеобтекаемыхпроисходитприлипаниеэтимпульсацийтурбулентныхсчетзавозско-средах)сжимаемыхпограничноммакроскопическихперемешиваниеречномявлениемхарактеризуетсявприитурбулентномвноекаксинтенсивныхвообщеслоях,жеобщеготурбулентные.впереходасечениюсме-погра-ламинарногомногослоепоРейнольдса,движениетрубахвхарак-числаимеет(вслой.имеютсяламинарноепереходапограничномТакоттрубах,вточкачастипограпередне-пограничныйзначенияплотностипограничныхдруга.расстоянииЯвлениескоростейбах,некоторомслоеилидавления,вмо-ламинарныйтурбулентныйдвиженийвиРейнольдсахарактерныепереходател,вразвиваетсятурбулентныйвпогранич-трубе,турбулентным.переднейжидкостижидкостиламинарныхвобтекаемыхламинарнымв—никновениемролибытьнадвижениислояничного0жетгазаиповеРхностичислапритурбулентным.няетсясдвижениетелапризнакиотипереходиткоторыхномкаккоторыйтелакраяпереходанаповерхностиничныйгослое265жидкостижидкостиномзначенияхобтекаемойвязкойдвижениядвижениителкорабли,ижидкостяхвобтекаемыхПоэтомутакжекаксамолеилодкиподводныевязкимт.способып.,отсоставляеттрением,ихо-газахкактаких,итеориявлиянияметодына266Гл.свойстватеченийтренияобтекаемойразногопающихт.п.,врезультатеповерхностей).каемыхОсобенноламинарноготурбулентный.ныхслоятакимпередвинутьточкусопротивлениеЗатягиваниезация»)Вотпечивающихотрывашероховатостивызываетслоя.мущенияи,вибрациямивременнойвноготурбулентныйслояотсосаВышеничногоничноговкаккторможениюНаличие0слоепограничномченияпотокахвныхгазепоперекпотока).жидкости,пограничногопограничноголаминарногопограпогра-турбулентноголаминарного(возрастаниегазапослоев,пограничныхявляетсяособенностьюслояипротивпотокуламинар-турбулентных,нокакслоя,илидавленияилиперехоламинарпомощьюслоя.жидкостирактернойнесжимаемойотрывеотрывслучаедвижениемдавлениявозрастающегоприводитвсдостигнутьизипреждеегоизатягиванияможнообвоз-различныеслоеслой;такжеспо-пограразличнымиламинарномвопростакжезамет-обтекаемойспособствуютсильножидкостиявление,этосвязаноналичиенаислучаяхрассмотренВозможенслоя;правило,немедленприменениеговоря,вызванныевмассслоя.чтостурбулизациюпотоке,некоторыхЗаметим,Во-вторых,выступовпограничныйзаторможенныхбылспе-обес-давлений.устойчивостипотереспособами.поверхностей,неравномерностивозмущения,набегающемв(«ламинари-поверхностей;В-третьих,иснизитьприменениеслоя.частности,враза)дваслоявообщеразличныхпреждевременнуюилиничноговВо-первых,связано,пограничногообтекаемыхгладкихверхностичемраспределениетечениятурбулизациейзеркальнообтекаемыхформпогра-профиляразличныминих.изплавноепоявлениеболеенетеченияпроисходятвспециаль-вдольпотокуламинарногобезотрывныхциальныхподостигаетсянекоторыхпримерыразличныхламинарногоперехода(иногдаслояпричинслойпограничныйнижепограничногозатягиванииустраненииприламинарныйтурбулентныйиобте-гладкихприе.т.слоя,существеннотрения.существованияпутемповерхностидостигаетсявыигрышосуществленияввысту-волнистостизеркальнопограничногопереводящихС помощьюможномерничногоустраненииповерхности:применениябольшойвозмущений,заметно(пришвов,сварочныхе.сопротивлениеобтекаемойнаслое,шероховатостишероховатостинеровностейродазаклепок,отзависитэтоуменьшениемспограничномсильнопричемповерхности,уменьшаетсянойбольшоеоченьтурбулентномпри§ 21,вуказывалосьуженойимеютслоях,пограничныхвСопротивлениекакдуГидромеханиказначение.практическоет.VII .ха-толькоВгаза.нетолькоте-газовыхрез-§ 2ti.киеОпределениеизмененияскороститемпературы,изменениярезкиечаяхихимическогоческихчаяхПроблемыбольшимискоростями,лемамиvlt)венныхсt),заданныхпроб-ладаннымдифференцируемыеt)tсвоихкомпонентбазисекакэ,-,пространст3)областинекоторойвскоростейполядляфункцииИмеемисточ-плотностих3,соответствующемвремениих2,помощьювхгпространства.довасгазевявляютсяобъемной(ж1,о)вихряиопределяемогох3,непрерывныекоординаткусочнопопонятийх3,х2,(х1,х2,(ж1,пограничныхдвижущихсястепенискоростейопределениеvl&i,=этислоях.слоя.поляНапомнимеВсеисточникаминиковслумеж-жидкости.илитонкихтел,пограничногоОпределениевихрямповерхэтихтеплообменагазавнагреваниязначительнойвтеории§ 25.vпотокомионизацией,Всвойствазначениеисизлучением.иимеюттеплообменастати-различ-испарениемизначениебольшоеимеютислу-большихсвязанныедиффузиейсобтекающимиявлениянонекоторыхвозникатьмогутпроцессы,важноестенках,випотокеоплавлениемтела,теломдунааторможениягазовомреакциями,обтекаемогоособенноности2A7источникамсреды.физико-химическиеродапплотности,вхимическимивихрямприлипаниятемпературахтемпературахногопоиз-засоставабольшихПрискоростейполяевкли-VkyfcB5.1)и'те1О)где\ gug—картовойноей©.массы06определенииприданном=-тг|,1.ГОЬ2V=координатgмеханическийнесжимаемойДляб=0,присмысли=ддддх1дх"-дх*метрическогоиэ;инвариантных1жидкости©=Ф> 0юkqлюбогоноситьсяростей.поля,векторногоклюбомувекторномубивсяпоследующаяполю,Втензора.Iгл.иисточниковтоизвестно,©можнонетолькоспо-легха-ввестидляот-можеттеорияаде-деталь-характеристикvе^тятьрактеристикиВэ'.=дифференцированияI ИнвариантныеиоперациймощьювекторномскоростейполеB5.2)отсутствиивихревое.всредыдвижениеЕслиет=ткомпонентыgjj—системевыясненVe2Э3Э2кполюско-268Гл.ляизнойНапример,уравненийвслучаеjстационарного(см.ЛHrotгдеэлектромагнитногоVI,гл.1)т.Hdivи=4л-тока,электрическогоимеетилиместоdivмагнит-МсвязьB5.3)31,4яскаляр—анамагниченностивекторомотсутствуетпо-векторадляимеем^j=векторопределяетсяностьГидромеханикаМаксвелланапряженности—VII .М;еслинамагничен-k1FT(кг=Жdivconst),=тоДляэлектрическойвектораэлектрического.?7JPгдеЗадачаеслик2Е=(/с2A +заданнымconst),=Многие4л/с3)источниковнияДальшеполескоростейtoдлядвижениякинематическийимеетсофункцийособенно,ды(х,еотвприлагаютсяПрежденоговсемto.нийвсегоt)е->0(х,Всеввозникаетэтимвекторногоудобствтеорияхрассмотримш~>0z,t)вскалярноевыводахi?xсвойстваотформулывекторныхопределениипространстве,полегвходитзаданииприкоординати,ивыво-полей.непрерывкогдаивовекторноетолькополекаквнеш-оо,B5.7)чтопримем,прифизическиенижебезграничномвтеориянепосредственнозависимостиобвихрейнижесвязанаиу,говоритьполеопроявитьсязадачупоследующихПоусловиюинеиобразомиРазвиваемаясреды.различныхvбудемеполученныезаданоtпараметр.оиt.пространствеВремясисточникахДинамическиескоростейполязадачиразреше-послеей».терминологическихоб объемныхv,сплошнойсреды.существенныму, z,временимогутнепо-постановкесвязиза-плотностисоответствующегохарактерсвойствамисредывообщефизикеприопределяютсяВопределениярадиопоискомогоротациизаданиемвихрейвеличинычерезполязадачуполяуииуравнений.проблемаобратнуюпредварительнымполявспомогательныхплот-B5.6)векторногомеханикевсреотсутствует—4лрг.=дивергенциихарактеристикиважнаяЕмtраспределенияиэтиилиарассмотримопределениитеориисвязаны<25.5)divP),—тоdivданнойвектора.средственно(реимеемполяризации,поляризацияЕслиНижеog<ви4л=зарядов.поля8?divиопределениявекторногопо0стационарногоМаксвеллаэлектрическойвекторраспределенияРностьилинапряженности=—B5.4)Еуравненийизполяrot=0.ifdiv=Ух?,+у2 +z2->§ 25.т.ее.поляисчезаютпри(оидекартовыvОпределениеЕдинственностьпространства).вбесконечности,задачиимеютсяvрешение.vxрешенияДляоо.В(х,второгоИзвекторногоB5.9)divvфункциясция§ 12,0,Rxсвнутренноститаккак0месторешениязадачиопределенииполяприО—>приB5.9).чтоgradвекторvпотенциаль-(х,ц>z)у,ф.(grad(p)ooбесконечности.началевB5.10)0,=гармоническаярегулярная—Каккоординат.потенциальногоскоростьграницеРассмотримфунк-показанопотокаобласти,сферыИг—>тооо,тождествомпоставленнойутахзанятойпотоком;=Наоснованиястирешениядвечтоиповерхности,новсюдучтоединствен-доказываетдоказаннойполеполепри8скоростей0ий^=0.=единственно-задачуопреде-основнуюразделимПерваяпотенциальноеторноежидкости0,ееследует,задачи.«ьопределитьнадостигаетсяотсюдазадачи.на^КсхочникГ^6"вторая—сжимаемойвек-что—*¦имеетvеслипотенциалцентромлюбойvчто=0.внаследует,Постановкаz)у,исчезающимдостигатьсядлянулю,следует,причеммаксимальнаядолжнаотсюдаоб(х,фградиентом,радиусаПокажем,0 следует==чтопредположим,г).у,rot-уиза-единственноеимеемсуществуетДфе.вектораудовлетво-поставленнаяделе,(х,v2v0=следовательно,равенствае.чторавенV—ность—•B5.8)толькосамомиполяравенстваи,z)у,тождественноv-l—v2=—>ныйт.дляе.zу,оо.иметьможетdivt!в(х,т.доказать,дачадваторсферу269источникамБудем#!->приНетруднорешенияоставленнойт.ибесконечностьвисчезающее•У-+0ИзвихрямусловиюряющееR1поудаленииточеккоординатырешение,искатьскоростейскоростейзадача—(безвихревое)привек-0ийгфне-движениявихревогоОчевидно,О;=чтореше-Гл.270полнойниепервойРассмотримравнойрешениякоординатые,достаточнозаданнойсафункция,черезФ.большогозначенияпричем,В.некоторыепринятьг\,?,).точек,х, у,(|,епотенциалищетсягладкаякусочноЗдесьъ—МысначинаяY^>iJr42=далееиза-которыхкоординапримем,вчтонекото-?2+/с^>ОиО<"Я,<^1гдетолькоB5.12)некоторойвнутрисходимостиТаккакинтеграла,представляющеговженныхI,точкахФ?.(х,плот-z)у,вПокажеметRi=собойYx""тегрированиерадиусаопределяеткакпреждерасполо-Положимвсего,взятыйпофункцию+ У2~i-z"чтовсемуФ*-*•(х,l[Rx.сцентромфункциюz),у,ЧастьпроизводитсяRoвсилувначалех,у,внутренностикоординат,z,B5.12)условияинтегралистремящуюсяинтегралапо„-.ovсходитсяпространству,°°-сум-видеисточников,E)rfgMCB5.13),нуляестествен-топотенциалпотенциаловц,отпространства.объемнойсмыслимеетчастнос-отличноисточников,искатьмыеобластирасходанорешениекогдаsностиВпостоянные.подходящиевыполняется,конечной—неравенствоти,в^-о,=неравенствовыполняется0обозначатькоторыхве(|,т],?)—рогог).необходимофункцииисточниковточек,тыпотенциалаПуассонау,свойствахраспределениеданоотысканиюк(х,еубудемг),B5.11)е.=уравнениюо|,АФисводитсяполучениячерезФgrad=решенияудовлетворяющегочастью,предположениярешенийсуммыИмеемзадачу.первуюz),видевпредставитьзадач.vПостроениеу,Ф(х,правойДляГидромеханикаможнозадачивторойиVII .исчезающуюкB5.13),всферывопределянулюкоторойнекоторогобесконечностиприин-§ 25.ВстваОпределениеслучае,когдаB5.12)следует,еполяскоростейЦ=- 0вкакизиRtцрифнеравен-изesinY<x%dx92.г=Я*J/2 ++Схема?J+иу(УПГ/ (/?,)легко9sinИз92.рис.изdQdtp,B5.14)+UЙ~2.-объемныйточностьюс/интегралпостоян-доДействительно,определить.имеемв12ля-ъ~/A).~os'Ri"гB5.15)Такимобразом,f (Rx),формулойB5.13),точкахностяхныеиимеетаначения.i?!приилиразрывыпотенциал—>своюсохраняютвыводыторыхнеравенстваналичииприследовательно,аЭтиaвеличинычтоФункциюнойR2dR=ясенрасчета-1 очевидно,X <^оТн^алГГскоросхибесконечностиz2для-B5.14)х),координатах=Рис.0 <0 сходится.условияобласти,ксферическихRxввеличин271источникамибесконечной<гясмыслвихрямчтоzdxтакпонастремитсясилу,(х,принимаетфункцияB5.12)г), определенныйу,нулюкеслиотдельных]некоторыхилиооФлинияхинтегрируемыеl/i?i.какеплотностьивповерхбесконеч-неко-272Гл.ДляЕслиможноконечнойвконечнопространстваинтегрируемо,интегралтобесконечностивl/R\a.каклетворяюттоинтегралнельзяэтомурешениедляискатьТеперьB5.13),ПуассонаB5.11).2)предположим,первыеныеобозначимФ,вМ,точкеФункциюеФ,г\,аопределеннуюпроиз-доказать,непрерывнаиссферыобласть3)'частныеэто?)ds/dr\,dE/dt,.дляпросто-имеетконеч-х,координатамиS малоготеченияформулепотом,уравнениюточкачерезвформулойвторыечтобы(%,de/3?,рассматриваемаяТвнутренность—черезцентромтогочтопроизводныеМПустьДляубедитьсяудовлетворяетислучаеэтомопределеннаяимеетводныеВпо-иотсутствовать.ещефункциясмысл,можетнеобходимо*)ограничениюB5.13).видевудов-неетерятьвообщеисчезаетvзначенияможетзадачичтоуравненшоТВТВ°РЯеТB5.13)задачиB5.13)скоростьилирешениерассдттриваемойПотенциалтыинтегрируемостиФ визаданныеекоординатнеравенствовыполняетсяпричемсходитсяЕслиначалевиB5.16)условиямB5.12),ГидромеханиканаписатьчастиилиB5.12),вФguadVII .жидкостисТ.внеB5.13),представимобласти3)',всуммывидефф'=ф",-[.гдеОчевидно,чтоФ"(х,таккакz)у,М,точкев?,точкивнешнейВаналитична.х\,?Вх)ньютонианскойсилпо(стр.272,т.1).постоянна,массдлотность2)ПриЕслиболеетонкомтоанализемассВселеннаячтоB5.12)неэто==потенциалаопределениераспределенияпринять,А1/гимеем0,поэтому0=механикеплотностифункцияпри3)',принадлежатДФ"ныхкМточкебудетпредположениексводитсягравитационэтойбесконечна,авыполняться.можноослабить.г;у,радиусазадачесредняя§ 25.Определениескоростейполявихрямпои273источникамследовательно,и,ДФРассмотримчастныетеперь(х,Мточкеz).у,ДФ'.=дФ'(дФ'отпроизводныеИмеем(х,z)у,в1~~даГЗдесь_д_Вэтой2ТипоПолучим2'формулегпервыйформулеТ'—интегралпреобразоватьОстроградского.можно—всферамидвумямежду93)Гаусса(рис.что?дхобластивнимание,вопринято93.Рис.ОбластьТГ—(заштрихована).1С"е.\\—-7—\4я —cosfn,т__т,ВсилукточкепредположенийМ•-г—)чимсоставлять1д2Ф'Ох4Я(n,подС4л:z)у,Jjdaj(п,ь)аа.cosrvis/2'стягиванииприI)Л0.=формулаверна154rtfllдвJг8Sд1,,ипроизводнуюинтеграла.знаком^?)^'vвторую1/гфункциюформулуcos(n,\cos4лровать(х,едФ'1дхlife_можноlfsпроизводнойЭФ'ТеперьЕ)оз—т—\—ь/.функциио1для\гчтополучим,hmПоэтомуJТакимпутемfe"rifтдифференциполу-я|274Гл.УчитываяVII .Гидромеханикаформулыаналогичныед2ф'/ду*дляд2Ф'/дг2,ипо-лучим^ggd^ldt.B5.17)тПокажем,ТТ'—Дляz).у,кB5.17)частьправаяприменимэтоготочноравнаГринаформулупервуюобластивфункциямдвум§ 12).(см.ПолучимеДгдечтотеперь,г(х,\)dx—пнормальперейдем\-f•Т'.Т—квнешняя—Учитывая,сферыстягиванииприпределукgradeкA/г)Дчто2'М.точке=Будемиметь1СlimS'_»Afтак5/ЗгекакныйS'\Jlim="nS'-vM—д/дг=Отсюдаугол.eд~7-д—cfa-2'2'сференаиflfoг2с?й,=йгде—телес-чтоследует,д—\gradeПоэтомуравенствоB5.17)образом,ТакимномуполяскоростейДФ*вничениях,наложенныхформулойC5.16).=4яе(М).z).у,первойобзадачиE,г\,е(|,?)прит),определепопространствеефункцию(х,е=безграничномнайт—даетрешениеполноеисточниковраспределениюgrad^.-n,);окончательноДФ=нии•?),указанныхпредставляетсязадан-огра-О,§ 25.ПостановкаобОпределениеДадимзадачиполяопределениипоdivt»ВектордавихряльнымТакжекакио>вектораставляющиеRЧ12 ++выполняетсяВекторныидетгдевекторный—координатнечающийсяАотнабольшогорадиусаvB5.19)A,rotбу-0=положитьесли=зависящийОчевидно,вместоеслиудапри-принуль,вdivвыполнено,пространства.изменится,примем,постоянные.потенциал,точексо-чтонесжимаемостиvА.разрыванормальныечтоподходящиеУсловиепотенциалSнеравенство—»глад-кусочнодостаточнонекоторогоС2»/с^>ОиО<Я-<1гдет»сУ|а=простоты,дляповерхностяхДалееобращается<вB5.19')являетсяпримем,векторначинаячем,B5.19')непрерывны.бесконечностьвсоленои-0.=примемсоНасSvзадаче,векторпространства.насо„ленииdivrotпотокасоответствиивбез-вB5.18)являетсякакпредыдущейточек<оИмеемопределениятаквихревогофункциейкой0,=вс-2ю.=за-пое.т.областивvсвоегосилуввектором,rotи—vжидкости.массе0задачивихрейраспределению=divo)чтоопределенииг2%источникамвторойскоростейполяграничнойвихрейраспределениюирешениеданномузаданномувихрямпотеперьogнесжимаемойскоростеижидкостискоростейполяАвектораполевзятьАвекторскоростейотли-ъфункции,скалярнойвектор-градиентотпроизвольночтот.е.положитьААг=гдег|зТакимполяобразом,неВоднозначно.AОпределениепотенциалавекторногоifДля(x,у,полученияданногодляэтимдляАвекторавB5.20)выборомобеспечитьвсегдаz).уравнений,векторныйпотенциал^щ^rotLс0.=можноусловияэтогофункциисвязиусловиеdivВыполнимостьB5.19)впотенциалдополнительноескалярнойi|),функция.векторныйопределяетсявыставимgrad-\-скалярнаяпроизвольная—определяющихА,подставивB5.19)получимrotA=2fi>.B5.21)276Гл.ПреобразуемVII .ду\дА*\!~ду~) )_дхОтсюдадАуПользуясь~fcдАг\этим,перепишемоснованииAравносильноеследующее=*АХ\_9видевB5.22)B5.22)АвекторадляB5.23)2со,Пуассона.уравнениямпервойдлязадачи,ЛвектораB5.23):уравненияполучим^kAdr.Изпредыдущих4- г/2jAa;2=ПроверимB5.24),лойИмеемB5.24)рассужденийг2+—>чтоследует,приимеемоотеперь,удовлетворяетимеем*•2о>.=из-скалярнымтремрешениемрешениеПользуясьА Ахось9—~дЫхПуассонаАА\~ЫГ)B5.21)—уравнениеdAz—\~дТ~B5.20)условиявекторное! _ (дА*уравнениеdivнапроекции/ЭЫХgradполучимВB5.21).уравнениеJLldLlAvdAvНаГидромеханикачтоА,векторусловиюформуB5.20).определенныйсоленоидальностиоотаккакныйсферойСогласноdiv^,, ,!;(^,<о20сцентромВозьмем0.=вначалеинтегралаопределениюможно?,)ч\,поиRo.Т^пространству—dx=[limdiv—dt[^-da.lim=равенствеповерхностныйB5.25)припоформулепреобразованииГауссаB5.25)ETвограниченрадиусомнаписатьdivВТо,шаркоординатвсемуобъемного—Остроградскогоинтеграланеоб-§ Й5.ходилоОпределениеввыделитьреннихразрывовпоразличнымпрерывностистороныповерхностныевнутренниходнакоповерхностейповерхностейвнут-интегралыразрывоввышеповерхностяхусловияразрыва.большихдостаточноRo|имеем277источникамисформулированногонаа>„обеfi>,вихрямпограницсторонамсилувПривидевекторасократятсясоскоростейполя|соо(/с/Да+Л),<не-по-этомуОтсюданесобойляющееB5.18).Всеуравнениеиную(x,vz)—B5.24)irot—х,у,v=gradФСц,02*,наповерхностью.1grad?,=условиенаписать—dtX(o=переменнойрассматриваемойот|,3)*,0,=со„вихревой\^-случаю,<оимеемможно1=иликточкиинточкеz.обзадачирешениеполявеисточниковраспределениюформуламивитсяB5.19)представ-B5.21)частномупространстваравенствубытьвеКторногопоранствеdx2*кприводитПолноезадачиВнедолжнакоординатами.общейкчастьпроведенныйтегрированиякоординатамиРешениеat—радиус-вектор,суравненийприменимыиС\-g—с„основных2*2*наоснованииггдезаписьудовлетворенноB5.22),и2*.а>„поверхностьу,ноконечнуюповерхностьюбудетпоэтомууравнениеB5.23),заполняютвихриограниченнуюнепрерывностипоэтомуНа0,=формулывыведенныекогдаАdivчтоследует,толькоопределениибезграничномивихрейпростпредста-совида+rotA=grad^—~411^ -^-dtj+rot(^°°B5.27)илиB5.28)2?8ОГл.ГидромеханикарассматриваемойрешенииЕслиограниченнойзадачи^воVII .о)ластитоусловияважныйдляностибесконечнозадачизадачиобфункцийДлянияво.найтитей,изаданныхо),удовлетворения25 добавочноевбезвихревоеПродолжениеесучетомпотребуется2скорос-полепродолжении2частности,в2иДляопределениязадачувектораПоложимфункцииgrad(х,областиусловиянепрерывностиДхш„дп=z)у,3)".тоизв31,можноформулы25',строить%.%выобласти2.области3)"в—насопкпо-черезоказатьсяможетиспользованияраспределенияНейманаизображенийслучаеДляесообсоответствую-инепрерывностьсодующуюплотностипространствообщемсо.внеразличные3)всенадополнительнойспособом.следующимfi>сзадатье=0чтозеркальныхвектораобеспечитьможнообластивесвязанныхпродолжении(методповерхностьразрываРаспределениепринять,при3)внепространствоиспользоватьвектораэтавдопущений,симметриейсп.).необходимоНепрерывные2продолжепространст-всеисточникам,поусловийограниченнойНавона3),вслучаяхпространствоверхностьповерхностьюB5.28)3),источ-попослеспособами.полезносвязанныеПриопираясьразличныхчастныхграничныхт.исодержит0.=заданныхи,многихражения,©скоростейпроизволомвсе0,=выполненияполябольшимВо3).щих3)потенциальноеразличнымипостроениемво<о,иосуществлятьможносопределен-поляусловийграничныхе3)БнакогдаДлякоторогодлявнесконструировать,векторногопространстве,областиможноопределениинеограниченномвевслучай,точку.вихрямиРассмот-областькогдазадачу,2,границуусловия.v.вектораvnиско-полекраевыеразнообразными.частныйвнешнююрешениеникамбытьмогутезаданынайтинекоторуюимеетгидродинамикисоставляющиеРешениекоторойвзадать2удаленнуютакойнаv,нанормальныерассмотримзаданытребуетсядополнительноКраевыерим3,которойростейнеобходимо2наобластьвисоп,этомприТак=сле-получимкак0.B5.29)получимB5.30)§ 26.гдеB5.30)образомизвестно,задано25',Притакраспределениеио>,через(x, у,продолженияvxB5.28)послепродолжитьвпродолжениипри25,взаданногосоображениявоказатьсямогутсимметрии.z)полученныйскорости,вектореfi>ивовсепопространство,положимvгдевзадаччастных<лоснованиитакимможно25*.некоторыхвектораполезными25внатоследовательно,и,юЕслизадано.2,наconst,==0виположивОбозначим=27д25области0ва>„векторараспределенияформулео>как%полейвихревыхчтополучимрешенииоченьпримерытак,B5.29)иобласть25"225наа>„областивВажныеv25искомый—векторсоответствующийскорости,распределениюДляеим.получимv*,-\-v±=следующуюНеймана.задачуv*div0,=заданномуобластиВrotv*иАфv*полявекторногоопределения25имеем0,=поэтомуv*На2поверхностиvn2наvnvln—=^"-^образом,ТакимеB5.28)дляимеющейиВажныеРассмотримиорованная(рис.94),туювихревуюкакстационарныйщийсоответствующеезамкнутаякоторуюнитьС.Такуюмагнитноекраевую(х,фобщейчтозадачуг).у,трубкавихреваякактакжеможнотокполеизоли-заданатонкаянитьобъе-неограниченномврассматриватьможноразвитойтеории,жидкостилинейныйзамкнутыйобласти,вполейнесжимаем0^бесконечнопределезадачирешитьфункцииПредположим,впро-решениякраевойприложениямеусловиюvx даютпослепутемиспользованияещенекоторыеиB5.33)послевихревыхавара—ипоvописанным25потребуетсягармоническойпараграфе.как0.решенияпримерыпредыдущемтакслучае,О&I LtOисчезания=внеокончательногоопределения§ 26.аконобластьграницы,дляввимеем—¦условияобщемвсоVt,!функция,бесконечностиB5.31)25Vr,==on(grad9)TOдолжения0.=областиизвестная—Взадана.фгранице—Vr,причемgrad=Н.inj/c,рассматриватьиндуцирую-замкну-I280VII .Гл.ДляиндуцированногоопределениясоответственноилимагнитногонаvформулыоснованииНполявихревойиндуцированногоскоростивектораГидромеханиканитьюB5.26)поляможнона-писатьvгдетонкой-h.\<^wLd^=распространенинтегралобъемнатрубкивихревойBбл)трубки.вихревойВдольимеем1dsгдевихревойсечениямальноготилюбомупоdaС,линииэлемент—малаятрубки,X,контурубесконечно—Гаплощадьциркуляция—охватывающемуодиннор-скоросвихревуюразM(x,tj,z)94.Рис-Замкнутаябезграничномвтрубку(см.0—*-и2и=da,Постоянноеоо—>кинематическойПереходяформулаопределяетГлинейноговетствующего(х,у,Элементарныйрматриваемойпределуциркуляцииприz)векторскоростейнаписатьможноточкеотвихревойсоот-от—\dv,видевdv(x,гдеу,z)B6.3)—-тg—•лdvможнотрактоватьэлементоминдуцируемуюBб2)напряженностиЬскорость,ктока.B6.2)ФормулуVхаракте-B6.1)dsxrраспределениемагнитнойраспределениеилилинииконечнойзначениеполучимГЭтавусловиипритрубкивдольосновнойтрубки.о)трубкавихреваяжидкости.объемеявляетсявихревойристикойdaГ94).рис.Гциркуляциитонкая(см.рис.94).какdsвихревойбесконечномалуюлинииврас-§ 26.ВекторноеB6.3)B6.2)индуцируемаялярнаЭлементарнаявихревойскоростьdsвекторамиформевds,линииопределяемойплощадке,записьегоинаяСавара.элементомкпоилиБио—закон281полейвихревыхпримерыравенствосоставляетdv,Важныеперпендикуг,ииравнавеличине,гдеаугол—Потенциалdsмеждуиндуцируемыхвихревойвихревой94).чтополескоростейпрост-гбезвихревоенитиэтой/\изоли--.„точек[Вы-потенциальное.изолированнойиндуцируемыхТакнитью.отвсемвонити*следовательно,и,замкнутойzooрис.внескоростей,потенциалIrf fsinotlвихревойранственитьючислим(см.шгОчевидно,рованной*скоростей,Г,,кактоиB6.2)формулепопоэтому„.^(l/ -),grad^,=~имеемB6.5)ПрименимктеперьСтоксаQdi\Rdt,+формулуфо]B6.5)интегралуконтурному=iгде2—поверхность,косинусыопределяетсяС, связанномуравляющиениекоторойконтуруложимA/v—=Р=0,О,Q =-§гнанатянутаяположительнойс\—~)R==а,2,кр,нап-у—направле-поинтегрированиянаправлениемнаправлением,С,контурнормали—0Г(—)По-<о.вихрявекторачт0Учитывая>'получимг—-г~4\а/dZdZ,\rаг~5d) dnN"ЗТ"ЗТ1282Гл.ТакVII .Гидромеханикакак~Щможното=\~r~Jt,=gradq>,вбезграничнойЭточторассматривать,тарныхмагнитовжидкости,можнорассматриватьраспределенияповерхности2,потенциал—поприменениикполе,магнитномунатяну-полюиндуцированноекакполепостояннойтоком,системыотплотности,элемен-распределенныхконтурнапоказы-замкнутыммагнитноенатянутойтока,т.пополемагнитноее.листка.магнитногоПоверхностныйположениемгеометрическойконтураиповерхностью,интерпре-такдетально"doэлемент1д5anNdax—^зB6.7)aточкипполучимидгИ),dadQМ.плоскость,нателесный—иdsidQугол,<0,-f r2=—о\пВозьмемИмеем95).Jr^dQ,,Ol3Bb.7)«ч\i/перпендикулярнуюdQ.ВеличинаB6.6).(рис.2r2 j—бытьсмысл/ос«iscostкоорди-можетС.геометрическийповерхности,от2формулевdnNпроекцияизмежду-2-д—ctr2 e==rт,радиусу-векторуdaвиден1,<рявляетсятолькоповерхностьконтурнаопределяетсяинтеграл¦,листка—этотзависиткакпотенциаламагнит-потенциалаонС,натянутойB6.5)2;поверхностиВыясним_Геометрическаяформулевихарактеристикой,МточкиинтегралМточкилюбойскоростей,вихревойполянити.в2,Bб.6)замкнутойинтенсивностиповерхностивании\_-^Ljj L-L*.=слоямагнитноеможноугол1потенциалмассевихревойконтурпредложениенавает,q>двойногопостояннойдиполейгде'индуцированныхпотенциалтойногоIСледовательно,нитьюкактациядСдгдеАмперанат\Т)окончательноилиот~дхнаписатьГТеорема~~когдапод>0,кэлементкоторыму <еслиу^>90°.90°На(уосно-—§ 26.где'рованнаяQРис.95.полный—телесныйв—д/дпвеличиныДляМгСогласнорывноБио(х,B6.6)z)у,Савара—1/i?2,Потенциалмагнитномц>Q_телесныйитерпятнойвихревуюZ'2,формулойпространстве,заv2i,vпоодинаковалинию,У% +гармониче-всемвоповерхностискоростиЦиркуляцияС.контуромохватывающим+1/i?3.определенныйрегулярнойфункциейWJисключениемпо-]Лг2—какявляетсяскойразрывRгдеф,B6.6),листкенепре-вихревойбесконечностивО,^>точкидляконтурабесконечностивС 0скоростейполечтокакисчезаетЙ0,96).Q1имеем^>исключениемследует,исчезаетскорости(рис.имеемQxпоэтомузаформулывеличинаМ30.Q2<пространстве,Изф90°,<СупоэтомуформулеС.тенциалимеемивсемвонитипотенциалугол90°,М1точкиточкиB6.6)da).A/r)Мгточкит>Дляориенти-Мточкидляформулевиднакоторым96.Рис.смыслподынтегральногоподрассматриваемойиз283полейвихревыхугол,2ГеометрическийвыраженияНапримерыповерхностьэлементааВажныеограниченконтурамравнаиГ.X,Изформулы\гдеф2ности2для2Б,углафповерхностьюслучаеизолированной—(см.фх=ГГ,сторонахявляетсяобразом,=constвихревойДОинити.=[Щ—фповерхностинавеличинповерхпотенциаладляразрываэтихповерхповерхностьюТаким96).рис.=разных2скачокпричемИмеемq>!—наповерхностьчтоявляетсяпостоянен.ср,=потенциаласледует,й,\=значения—ф2вdr¦потенциаларазрываностьифхиv4яB6.8)284Гл.Скачок2постояненф22,вдольВнепрерывно.ностиГидромеханикаVII .можнолюбуювзятьскоростейполепоэтомупримереирассматриваемомповерхность,С.нитиПритольколиниейскоростей,кСB6.2)векторстремитсяпоютполеной2*,поверхностискоростейсразрывомкасатель-ранстверавнеСпоходение,контурамравноесистемыпомощьюисоответствующийсуммвидапериоприраще-B6.1)полечтоясно,системойиндуцируемоебесконечногоилиоб-Приполучаетформулынечногонитей,выхсобщейскоростей,нитейвихревыхпотенциалГ.ИзПотенциалконтуявляет-ффункцией.5?циркуляцииособогонеоднозначнойгармоническойвидафункпрост-потенциалсярегулярнойдическоирегуляр-гармоническаяВ двусвязномция.2 *.вдольскоростипотенциалоднозначная—ленныепростпо2,наяраспредеиндуциру-Вразрезанномповерхностифнепрерывнокэтомприранстве,рас-скоростибесконечности.Вихри,конту-точкаминтегралходится,vприб-прилижениираСнитиособойявляется97.конечномконтурполякон-нанатянутуютурГРис.вдольповерх-качествевко-вихре-числапотенциалопределитьможноdsxr2яусловии,приС,нитивихревыхкоторойнитейэлементарнойоттакогосемейства2*,поверхностьконечнуюинтенсивностьюсивностьростейнасходятся.суммытеперьконтуромзамкнутыхкэтичтоРассмотримг3непрерывноснепрерывно(рис.вихревой97).ограниченнуюсемействораспределеноизменяющейсяОбозначимтрубкиCh.нитейвихревыхнитиотчерезПотенциалdTkинтенско-представитсяин-тегралом-зanгda.B6.9)26.§ВS*тиэтомслучаеиСклинии<рнепрерывен,Внормали.побудемполейвихревыхпримерыпотенциалконечен2*нииВажныенакаждойизнотерпитразрывлюбойточках285сторонповерхносприпересече-промежуточнойвихревойиметьTk.ВихреваяповерхностьповерхностьТак—разрываскоростейкасательныхтоСdsт.Cfeвуlsплоскости,const,=вдоль«/'скоростейполяВ направлениикасательнойнепрерывны.ложенной97),"<-sсоставляющиекасательныее.линии*asГк\ 10)B6.циркуляцияwvдифференцированииПри гполучим&CfcвдолькакB6.10)нанормалиповерхностиквихревойСц, распо2*(см.кпг^^^т.терпитраспределениемБ*на(см.Жлтипаскоростины.Следовательно,дТ/дщк2*жидкости.скоростищихС,контураобратитьсявГЕсли(N)(N)Здесьф2grads*черезфнаформулы2*вненаповерхностипри2*v*2—v'slплоскость,нажидкостиN2*,начто,еслиточкамтолинииВекторформулойgrada-Г=B6.12)(N).которыйпроектиру-Вектор2*.кнаправленэтомможетнитям.в2*кподходевихревымопределитсявектор,касательнуюскоростилиниямИзнавсоставляю-скоростьточекобозначенФgradвекторкасательнойслучаена=непрерыв-являетсякасательныхобщемgrada.фх—также2*толькообщемсоставляю-2*точкахповерхностьсконтурамВ2*.поверхность2*,нормальныенасоответствуютскоростисвязанзамкнутымпофункциякак2*касательнойетсявзятойскорос-B6.11)формулой2*,задананаgrada»рывавихревымкоторыйпересекающимнепрерывнавовнутреннихвихреваяразрываВсоставляющаяпхнаправленииограничивающегобесконечность.const=разрыварости97),поверхностьюслучаев<26Л1)разрыв,циркуляции,рис.еслислучае,щиевезде2*ккасательнаяе.тиГрис.имеемпораз-нормалик2*.B6.12)следует,потенциально,то2*долженразрывавекторобладатьжидкостидвижениекасательнойпотенциаломско-Г{N}286VII .Гл.ШлепоксвободнойпоРассмотримПЛОСкойрОйгоризонтальнойводыповерхностичивающейнесжимаемойжениявмоментудара,внижнем98).98.|Поплоскостиху2**2после0t=моментвДирихле.задачудей-(шлепок).давлениявнедви-возмущенногоимеемплощадкеимпульсивныествуютограни-покоящейсязанятоенепосредственнополупространствеРис.свободнойнаху,0,<Cследующийвремени,некото-по2*скоростейпотенциалаопределенияшлепок—плоскости(рис.жидкостьюДляударплощадкеzполупространствонижнееНаГидромеханикадавленияимпульсравеннулюипоэтомуНагде2*площадке(N)фхзначение=потенциалаB6.10)по2*Площадкукасательных—Фгвверхнее—ф(х,жидкостивдольплощадкиdy/dzскоростис2*.кГ=согласно2*поверхностьюОбозначаясверху,имеем=f= 0.какдср/дхсB6.15)подходе—2ф!=аналити-—z),у,массыф приусловиепродолживполупространство12)рассматриватьскоростиможнокомпонентсоставляющиеB6.15)иФ2ваz)у,скоростейпотенциалаиф§Учитывая2*.набесконечнойдвижениеилиB6.14)бесконечности(см.(х,поэтому-p<Pi(A0,функциюФB6.13)известен,функциясоотношенияф2—cpi0.=давлениявгармоническую=A=_РфимпульсвозмущенийпомощьюполучимразрывачерезФ2=известная—отсутствияческир(поверхностьразры-ду/ду,иB6.15)нормальныеприz=0оди-наковы.образом,ТакимкостивоввсемнижнемпространствепотенциальноеилиполупространствеможнонесжимаемойдвижениерассматриватьпродолженноежиддвижениекакиндуцированноеВажные§ 26.системойвихрей,этихний,которыйленвре(шлепке)распределенныхвихрейниебытьможетрезультатеdq/dzскоростивозмущенногопотенциалаБионииСавара.—распределения(N)напоследовательностьB6.9).вышениевзаимодействииозадачи(скользящегофоршлепкеоне-rтечениемсреше-глиссирующегоднищемпоскоростьюповременистроитьможнопутемводыбольшойсотыска-можношлепков,сТакимжидкости.границе(N)последовательностьперемещающихсясвободнойпомощьюобзадачуrрассмотретьиусложнитьJпрерывнуюшлепковс2<рх——уда-скоростейполезадачуГможно*определитьформулуРассмотреннуюопираясьГлиссированиекак2Математическуюциркуляциимулировать,обнормальныенаможноопреде-задачаизвестныц>гжидкостидвиженияформулыесли2*на12).значениямдавлеилиНеймана,чтотак,§(см.заданнымРаспределе-непосредственнозадачиставится2*.импульсараспределениемзаданрешения2*наПос287площадкепосвязанополейвихревыхПримерыводы)поверхностикатера.Прикогда99.Рис.Схемащенномвнешлепковх)ноголенияЛагранжадаетрые19фшлепкивесомостьюсвободнойна/ dt0=неилипроходили,тооусловиенаповерхностиф=Вconst.имееммалойквадратомиу2,жидкостивсемвотехфоснованииместах=0.движениеПоссдав-Кошиинтегралаплоскостиху,поверхабсолют-скоростиатмосферногопостоянстве*)условиекогдаполупространство.пространствеверхнеевпренебречьЕслидвиженияр0исохраняется,худвижениесво-жидкости.плоскостипродолжитьполучаетсяэтогопоконечногокрыламассеплоскостинаможножидкостилебесконечнойвглиссированииприневозму-надвиженииприиливодыгоризонтальнойуровне0=линийвихревыхповерхностиразмахаглиссиро-озадачиформулируютсяусловияграничныебоднойФлинеаризированнойрассмотрениивании,через—кото-ностьюиtсистемесоответствуетследто—оо,=ВихреваясистемавназадрованиивозмущенноговызванноголичиижидкостисредынаностьдипроисходитщемиВф2.крылаФхчаститриваемойсстипеленой,вихревой—СогласноТеоремаТомсонавихревойзованиепеленыостройбезвозможноисдвиженийобсужденвихревыхужехорошоотчастииногдаобтекаемымнеэффектповерхность,иТомсонавразрыва§ 7впол-вVIгл.т.смыслевопросвихревойсчетвязкостипояв-оI.появлениязаможэтомЭтотжидкости.объяснениеотвечаетговоритьможноидеальнойзаднейсхорошов жидкостиразрываповерхностьввозникать,могутжидкости,внутрьвихревуюкрыломпокоившей-стекающейдинамическийтеоремойидеальнойвповерхностискорости,крылаТакуюПриводимоезавозникновениеэтоткакрассматриватьпротиворечиялениибылжидкостиповерхностикромкидействительности.носяне-скорокрылом.движущимсяТомсонапервоначальновихрисоставляющейкасательнойнетеоременоидеальнойкасательнойзанесжимаемойобра-ивдвижениеобразующейсяразрыврассма-иобразом,ищсвободнойв—разрываповерхностьюдни-значенияпроисходят,Такимвозмущенноеимееммыжидкостиплощаиликрыломразрыванеужепостоянным.схемесжимаемойподвиж-этойнаразрывныеповерхностисохраняетсяфг—соответствуетмежду«удары»—поверх-днища;вырабатываютсяипелене»=пересекающимвзаимодействиесиловоеопределенииопределениераспределе-установлениюобластьрисункеглиссирующегонаиливчтоХц,2*.«вихревойдвижениясостоитктипаконтурамжидкостью,остальнойна-главнаяНаправлениеОчевидно,ху.сводитсяпоЗаштрихованнаяплощадиПривверх,задачирешениясистемыразрыванойнаправленнойплоскостинациркуляциинияконеч-крыластрелками.трудностьвихревойэтойглисси-жидкости,одинаковы.вниз.показаносистемымассывыбранногосилы,нейввозмущенногоприпостановкеотбрасывается99рис.Основнаявихревойбесконечнойподъемнойкрыламассанижнемприближеннойвдвиженияслучаедвижениясоответственнодвижениемразмаха,уноговопределенияполупространствевжидкостиивводитсядействительногосредыЗадачиразмаха.движениясхемасхематизациидвижешшконечногокрылаотконечнойсвихреваядлявидпродолжалосьбесконечности.дотакжеразмахаконечного,общийглиссирующейАналогичнаятеорииплоскостилиний,движениеповерхностью,запростираетсяскоростью,Еслиповерхностьповихревых99.рис.науказанкоторыхЭтаху.передвигающихсяследомсошлепковплоскостинасовпадаетхуГидромеханикапотенциаларазрываразрывакрылаVII .Гл.288пеленыжидкости,§ 26.вообщеговоря,вногоизменениянаЭтототобщейвмассевблизикостидаетправильнуювычислитьдолюиндуктивногоПодчеркнем,чтожидкостидвижениярасчетСдавленийможножидкостипомощьюпранайтиправильноиобусловленноговраспреде-жениясчетспомощьютеорииобщиедвижениякартиныкрылаконечногоСкости.теорииразмахаикрылавозмущенноголениикмногихтеипрямолиыейнойнити(водит,вообщемулам.Дажеваявполучающиесяносложны.ле,когдабесконечностиинитькоординату,х,(рис.zРассчитаем100).И.Седов,том2окружностью,довольвупрощаютсяосьюпредекстремитсяокружностивссовпадаетфорвихре-когдаформулы—при-громоздкимслучае,простопереходитТЛ.являетсянитиформулымощьюСсильноокружностьвихреваяктомB6.2)Савара—говоря,вскорое-поляполногоБиосводитьиндуцирующихинтегрированиявихревойрадиусПустьнитьрезультатерезультатыВсевихрей,формулеопреде-можножидкостирасчетпообзадачуслучаяхФактическийжид-линеаризированнойвсистемыскоростейвихревойпотенциалидеальнойСавара—другихотысканиискоростей.полеобщейдвиженииозадачинесжимаемойвБиодвиженияобзадачеискомоевослоя.схематизациипостановкеприсуммуопре-трения,основызаконапомощьюкакполучитьпограничногожидкостиидеальнойвсопротивлениякачественныеидви-возмущенногоэтогоможноивоз-давленийвыравниваниясопротивлениесопротивленияТаковысзадиостаетсяyz,энергиииндуктивноесопротивлениеПолноеиндуктивногоделенного(нетнарастанияполучаетсяжидкости.вплоскостижидкостизаидеальнойтеориибесконечностирамкахвпараллельныхдвижениескоростей),схемедвиженииплоскостях,мущенноеэтойвустановившемсявкрыла10жид-идеальнойдавлений.крыласопротивления,ока-недавления.лением"чтосилураз-движениетеорииподъемнуюэффектыэтираспределенияраспределенияобразомтакимвильноОднакоиивозмущенноерамкахвкартинунайденногодеформируетсяобъясняется,крыланазадкрыломзатянетсясильнонаЭтимкрыла.вблизижидкостислойразрыванепрерыв-слойпограничныйкрылавлияниявязкостиповерхностижидкости.существенного289влияниекрылеотонкийврасстоянияхзываютзадачевихревойскорости.далекихмываетсяиВпревращениискоростейкасательныхполейвихревыхпримерыневерно.проявляетсяПолеВажныеzполелинию.прямуюдекартовыхсистемыскоростейспо-Uгдеединичный—дающийнаправленныйвектор,осичтоМскоростикторуперпен-радиусу-векМточкиру)лежитихудикулярен(х,Очевидно,ху.векторстиМточкуплоскостивсовпа-иz.РассмотримплоскостивzосивдольточкахввихрявекторанаправлениемсГидромеханикаVII .Гл.290плоско-вху.Для~~пскоростивеличиныимеем+СОV100.Рис.Кревойпрямолинейнойрасположеннойнитью,Этотскоростей,полярасчетуиндуцируемогопоугол—кмеждуг,осиот'22Р2 +zира-направ-М.точкувИмеемdadzsinarfz\диусом-векторомz.вычислить.-ctga,=—оси?4я"леннымлегкоинтегралагдевих-Г_—р—sin2p* +asin2aпоэтомуvsin\j—-.—4ярdaa==—B6.16).2лроОтсюдаследует,осивнеzчтохСоответствующеежидкостисимметричнопараллельныхплоскостях,¦yгде=6костиОбозначимаху,такжеB6.17)grac^,фполярныйлюбойвточке—началопотенциалаплоскопараллельно,относительноосичерезсопряженнуюрдвижениеиzвсехвоодинаковоху.чтоwarctg-—(-хB6.18)у)спотенциаломифункциюу-6=плоскостивi|) (x,ГconstнеоднозначнуюкоординатфB6.17).B6.17)'2ярскоростейуголх—"'рследует,Г=собойхудлягL_^_плоскостиформул—представляетВ плоскоститочкойфункцию,2яополеИзплоскостивимеемдляху.гармоническуюу=+Потенциал=0ф.скоростейфункцию.особойявляетсяскоростивекторатокаB6.18)const,—Уравненияжид-гармоническуюКоши—§ 26.Важные291полейвихревыхпримерыРиманадг|)дф_ГхЭг|)и_дф_=Г;;дают,|5Соответствующая=X—inp•B6.19)¦[- const.функцияхарактеристическаятеченияимеетвидw(z)ф 4-=Ггг|зg—:—:((llnnpp=i8)-f-Гconst-|-p]nz=const.+pB6.20)Очевидно,чтокакчаетсякоторойбесконечновекторB6.20)Гэтомто2,имеетсместогдеz0Полеи+x0—черезху,iy0—которуюп—.In(zz0)—комплекснаяконечнойCrгдеB6.21).Полескоростейи=B6.21)нииiv,—•можноДлядополни-взявсуммыпроизводнуюНаоснова-имеемопределенияs0,выбиратьскорости.иметьB6.21)бесконечнойвычислить,вбудем^lnC»]tфункциейназываемуюшну-проходящихzok,сходимости2?-=пвихряz,можнообеспечиваниядляdw/dz+которыепостоянные,—тельнонить.системыточкичерез^B-2o»)плоскос-(вихревыхосихуввихреваяпараллельныхплоскостивихревыхслучаеэтомбесконечнойиливихрейРов)>вточкипрямолинейныхпрХ°олгаейнькеМЫлинийссовпадаетconst,прямолинейнаяпроходит(z)w4-прямоли-ненокоординатаДляпотенциалz,функцииw—тиЕслиосидляформулациркуляциячтозначение.параллельнаполу-тоz,того,учетомхарактеристическойформуладляосипротивотрицательноенитьнитьтрубки,вихревойнаправленсправедливойвихреваяосьююимеетслучаенейнаявихреваятонкойвихряостаетсявпрямолинейнаяеслипределнеобходимоi»=частицыскоростипоГ»VопределениюB6.22)ввоспользоватьсяточкерасположениясуммой10*292Гл.B6.22),которойвГидромеханикаVII .опущенодинГ.иВпотенциалскоростей«дорожки»вихрейzzps'-дляпериодическойвихрейсчастности,точечныхки.,-.1куляциямивплоскостиимеемzoliобъединенииприпрямойвдольхуплексным),членовлучается,сkl+z0=zOsточке12nlПолеотвечающийчлен,z^срасположенных/к<оо20(-к)ицир--J-,I,=кпериодом(—цепоч-одинаковыми(Iлегкобытьможетком-B6.22)Рядсо).+<суммируетсяипо-чтоg^B6.23)откудаюФормула=B6.24)дляwПользуясьможноB6.21)формуламиВцеЛоэтоскоростейскоростейние,непре-распределенияпрямолинейныхвихрейи=J_С2ilis—аргументэлемента)вдольSкривойrfI>)zдвиже-вихрейточечныхнепрерывнокоторойdz0ноплоским,плоскопараллельноесистемакогдапределена*?гдеримактольконеРассмотримрывногомноголистномвнеоб-кприводитьзадачам.пространственнымПолеокружности,Аналитическоеможетотноситсяучасткахчастейизображений.рассмотренияпространстве,—повомплоскихнаизграницыполякон-мож-случаяхинтересныхусловиямсквозьвразвитыемногихяеркальныхпотоковгравих-индуцируемогосоставленнойгранице,методапомощьюпря-имеетжидкостью,скоростей,соображения,наоперетьсяпродолжениежескоростей,поледвижущейсяграничнымходимостирядвихрей.поляпараграфа.наоднойрассматривалосьсистемойзанятаяилиграницы1=суммированияпериодическихитойпутемвдольпостроенииприпредыдущегоудовлетворитьноСкпрямых.выводахнеобходиморями,Принесколькихрасположенныхобласть,тоотразличныхзаданнойницы,B6.23),видапредыдущихиндуцируемоеЕслинепосредственноСк.скоростейполевдольиливывестиопределениивихрей,«дорожек»простогорезультатевможноB6.24)const.расходится.строитьмойсформулуподходящемпривz0) +—B6.23)изэтуB6.21)(zsin-у-следуетинтегрирования,изInY~i—_го2nl(s)dz0J_ГвJS.ху.dzoidszsкривойплоскостие—горасне-отрезка'ИмеемB6.25)к§ 26.Длягаи.СогласнофункцииВажныепримерыdwldzскоростиB6.25)разрезаннойкости,вихревойнепрерывноскоростииiv—унейногоda.(M)dadV=СогласноЕслиiv—Полевiv—z(М)у2оо=то(dzo/izo),^правой(М).полядля^_B6.27)частииноB6.27)координат,интег-тоВвычислить.легкосарадиусакруганачалележащихвыражениеплощадь—сходится2,точекдляподынтегральноеz0—вполярныхимеем¦-=(рц)Жокружности=¦-чтоплощадкепостоянна,fБ,Бцентромралкоординатах/,Вдоль'прямолималойполучим,площадипри3аВИХ"diHBо.v 2о),'г0—юввнекруглогоретности°СТ°ЯdaтЕслискоростейz21которыхбесконечность.дляобращается2оо=?_zточекдля2,внутри,)интегралчтовидеть,только2тформулуполучимЛегкорасполо-функциидля-L-i—\тг-.величина2mjzнетоэлементарногобесконечноdT2площадкескоростей=циркуляция—равенствунаразры-вихри2,площадисоответствующеговихря,(следSнаписатьможноигдеплос-линиейявляетсядвижениинекоторойпоКо-тинавсейвоотрезокху)плоскопараллельномприженыинтегралКриволинейныйскоростей.Если293регулярнаплоскостинакасательныхваS.вдольповерхностиполучилсяdwldzфункцияполейвихргпыхспостояннымимеемр„радиусомпоэтому}zo(zго)—jЕслиточкахzточкавнутреннийpeia=интегралвненаходится2ni,равенрадиусакругапоэтомувовнешнихтоа,квихрюимееми—iv—k-r2itiz=-о--2ni=—z—о—2ярге-*8.Bо.29)v,•/294ВГл.области,внешнейтакоеже,цилиндрическогоскийотвихрь,расположенногоимеющегоиимеем,точек(р0)ЗСинтегралечтонулю,изаменитьСледовательно,стьюинтенсивностиетсятакимнаПор.укакРис.Распределениеосиzвокругобоихчтоотскоростьювнескоростивихря.Направлениеоз.вх)—г'е~'°,скороуказы-перпендикулярносторонуквозрастания6.углаимеемвихряi=круглогонаправленГ>0твердогокакмножителемскоростиг;внутрискоростейполуча-жидкостиопределяетсяприплотно-свихряцилиндрическогораспределениевращенииугловойр,модуляB6.30)скоростейслучаяхвекторрадиусу-векторуДляс2а>=Г2сояа2,=B6.31)вихряB6.32)Этоцераспределениевихрянадалекихкакполемалогоскоростейскоростьототиопределенностикруглогочтоточечногочтош>полеможновихряконечнойвихря0.Наскоростейтрактоватьинтенсивностинаоборот.принимаем,101.рис.наОчевидно,расстоянияхрадиуса,х) Дляпостроенонепрерывна.скоростейаB6.28)формуле2nizпри101.р внутренпредел=внутриже,вающим,iv—^>верхнийпоэтомувнутреннийрр0найдемвцилиндриче-и<р0припри2ni,равенпо-прежнемуравенследуетточновнешнемтелацентревчтоже,туциркуляцию.интегралстискоростейполевихрю,вихря,точечноговнутреннихпоинтегралнийГидромеханикацилиндрическомуккаквихряДлявоVII .грани-27.§§ 27.ДинамическаяДинамическаяВсзанныевихрейвлияниемдвижениятрансформацииимениРассмотримвслучаевихрякруглогоцилиндрическогоматическоеполедвижениивсечастицыимеютпоv2lr.величинегдеркоторогоВок-концентрическимпозависящейУравненияоп-параграфе.оти,радиуса,ускорение,Эйлеравпроекциинанап-даютплотность—dpПолагаяжидкости.равнымоткине-центростремительноетолькорадиусадвижениежидкостипредыдущемv2стивре-вихря,движутсяскоростью,постояннойсружностямследовательно,равноеравлениезаконамитечениемскоростейвределеноэтомсустановившеесянесжимаемойидеальнойкруглогорадиусаконечногосвясиполявихревогодавленийРаспределениедавленийполежидкости.потокеввихревыхнаТеперьвихрей.движений,поляисвойствадинамическиерассмотримкинематиче-рассмотреныскоростейполясвязивихренбылипараграфепредыдущемвопросыскиецилиндрическихтеория295вихрейцилиндрическихтеорияр0,давлениебесконечно-вполучимг[^dr.Отсюдаследует,женииформулахбуквойдавлениечтокВнер,внешнейобласти,B6.31)Внутриквихря,плоскостидвиженият.вихрю,е.гприе.р<иза,приследующихиприг^>двиобозначаемхупараграфе.)предыдущемвплотностит.(В B7.1)вихря.былоэтокакпостояннойприцентруврадиус-вектораг,монотонноуменьшаетсябесконечностиизB7.1)B7.1)иза,иполучимB6.31)B7.1),иB6.32)по-лучимрМинимальноедавление=ро-ра*а*получаетсявРо—Нарадиусу.рис.102приведенСоответствующие^.+графикцентревихряB7.4)рш2а2.распределенияразреженияB7.3)давленияпропорциональныпо296Гл.соСлучай,когдажидкостьлегкоописывается.такжег,Дляквадратунаблюдаютсяразреженийчастояснить,Эффектывихря.вбольшихцент-втеченияхжидкос-объ-можнодвиженияхобразованиенапример,отразреженияразличныхпривихревых2(ояа2=зависитпоявлениехарактерноцентраГвихряплотностьивихрейвблизиПоявлениемти.циркуляциинеоднороднаинтенсивныхразреженийвихрейреГидромеханикасуммарнойквадратуилиVII .воронкообразнойуглублений/'P'Pt,-Po—2ггi—Po7\/Mрш2гг11=102.Рис.=_..давленийРаспределениеотформы1:круглогосвободнойнадвиженииприконечноговихряжидкостирадиуса.приповерхностивращательномдвижениижидкости.ХарактернымСмерчиразреженийизасасывалев,обратнообразуютсяпадалиВихриВвинтами.сзадеревь-лягушкамииисуществасвоеобразноговидедажепредметыдождя.иводянымивоздушнымитакжеслучаяхразрежениемсильнымссвязанныеслучаи,листьяиэтидругихмногихвозасасываю-срывалвсекрылом,завлияниемИзвестнырыбамизатемвземлюнаиэтихэффекты,сяисмер-Подтечения,мелкимисмонет,древнихизкладыявляютсяморе.напредметы.областиузкойввместеивозникаютразличныедругиесмерчводусушенасмерчейцентреводупроходящийкогдапроявляютвобластиза-потока.вихренногоВоднороднойидеальноймассовыхциальныхнесжимаемойчастицами,Есливскоростейтоременой,Гк=const.циркуляцияВкаждогокаждогобезграничнойсистемазаданатополянеустановившегосядвижениезнатьдостаточноТомсонаопределениявместелиниями.жидкимидвижениидляневихридвижутсяВихриявляютсялиниивихревыеплоскопараллельномпотен-приТомсонатеоремечастицам.повихрей,чечныхжидкостисогласносилахраспространятьсямогутснаблюдатьвпыль,щиедвиженийвихревыхпримеромможночи.массежидкостиПовихря.сохраняетсявихряпостоян-дляонределе-тео-§ния27.законаДинамическаятеориявихрей,движенияследующуюнений:«Ч.ldtгде2'означаетчениемкi~2швихрейправойвзаB7.5)ч\тинтегралы.Г8накакиндексам,уравненийJrичастипосуммируяисклю-всеs,допускаетУмножаяза/от(^7.5)получимfкsтакУ*1'0'У*10•zos-zokвсемпоурав-Г,,22j—dtмечательныесистемыточечных_**<>._dtСистемауравнениидвиженияиметьs.=„Интегралы*Уо,будемzok,координатдифференциальныхсуммированиечлена„е.т.обыкновенныхсистему297вихрейцилиндрическихчленыСле-сокращаются.попарнодовательно,2reiOsобразом,ТакимVrg=jb0,еслиB7.6)const.=системытяжести»«центртоsвихрейпервыйточечныхнаДругойГ32Озиостаетсяпочтоследует,Zn,—^=sкакправаявыводим,_Lyy'r,rчастьэтогоравенства-B7.7)..4sОтсюдаB7.5)умножимПолучимs.fcsvrТакеслиполучим,просуммируемsОтсюданеподвижным.интегралtчистомнимая,то/чтоB7.8)г\298Гл.Кромеэтого,B7.7)из2Г*Соотношениечто-dT-x°s-dr)У»«моментаГ*Ге-какпос-B7.9)аколичества»можноB7.9)уравнениевихрей,системыпостоянстваB7.5)2S'рассматриватьинерции»Уравнения-^=можно«моментауравнениеГидромеханикаследует,B7.8)тоянстваVII .как—движения.переписатьвидев?-%B7.10)¦'•OsгдеЕслиIфункциюввестиспомощьюКsтоB7.10)движенияуравненияформеНепосредственнойB7.11)проверкойдопускаеткоторыйПримерылегкокаквихрей.Дваперпендикулярной(рис.величинепоростиеслиостановить,поступательныйпотокдвижениявихрей.ноналожитьтечениеэтихпротивоположнойвих-этихпонаскоростью,попрямой,центрыпротивоположнымидвижущиесясодви-равнымивдольпоступательносбудетнеподвиж-103).знаку,соединяющемуотрезку,вихряциркуляциями,циркуляциямивихрейс(рис.подвижутсяДваизсовпадающимвихрейэтихк104).О,центромсвихрякаждыйпротивоположнымициркуляциямирейможноссдвачтовидеть,тяжести»вихрямодулюнымиЛегкоокружности«центромным0.дви-примерывихрей.точечныхВозьмемГ2 ^>«энер-постоянстваинтегралдвухвихрейпосистемаB7.12)простейшиежениягатьсявчтополучить,РассмотримдвиженияТх ^>записатьconst,=истолковатьможноиможноинтегралсистемы0вихрейсистемыНгии»равенствазнакупоступательно,двухирав-вихрейско-г27.§областьЗадачаДинамическаяобтеорияопределениивихрейдвижениядвиженияжидкости103.Рис.Дваповеслинапример,движутсяцентромсосложняется,ограничена,вихряокружностям299вихрейцилиндрическихтвердымиконцентрическимтяжести»«центресистемывихрей.104.Рис.Вихриспопротивоположнымиизнакуциркуляциямивеличинепоравнымидвижутсяпоступательно.стенкамиилисвободнымивлиянияграницсправапПрисоединенныеПредыдущаяr«^j—,вихригB7.5)теориявихрейэтомчлены.вихрейдвижения«г-свободныхпСкоростьвихрей.жидкостиотносительносчетзаслучаедобавочныепоявляютсядляразвитасвободныхдвиженияВповерхностями.вравнанулю.Приобеспечивающихностител,системЖуковского1мыкприходимвихрей,Жуковскимсвязанныхзаменыпомощьюобтеканиянанесвободныхрассмотрениюсвихриобтекаемымповерх-вихревыхназванныхтелом,вихрями.двигаютсявих-системамителусловияприсоединеннымиприсоединенныесжидкостьютребуемые—Е.задачобтекаемыхдругихилирей,Н.кинематическихрешениикрыльевВН.теориивместесЕ.обте-Гл.300каемымтеломростипродолженияобразом,заданныммысленнопотока,ихнескоростьпостроенноготелавнутрьвнеГидромеханикаVII .ско-равнааналитическогопутемвозмущенногожидкостидвижениятела.Н.ЖуковскийЕ.параллельныеразмахаскоростью.рассматривалцилиндрическогообтеканияПринонайтисциркуляцией,областиотличнойотпотокарешениеохватывающемуконтуру,многознач-оказываетсякинематическомобтекштияпаСтоксатеоремойспооб-продолжениивсювнутримож-крылапотенциалрассматриваемоговиинулябесконечногопостояннойпотенциальномоцилиндрическогопотенциальногоСоответствующийПринепрерывномкрыло.ным.задачижидкостьюдвусвязнойвспотокомплоскойрешениинесжимаемойтеканиикрыланабегающимпоступательнымплоско-установившиесяплоскостьвкрыласоответст-получаетсявихревоеточение.Длянавующейскрылациркуляцией,Н.8).§ЖуковскийЕ.ргдеплотность—потокаГифильСилакрыла.етсяциркуляцияЭтаформулассила,действующаяН.СпомощьюкбесконечнонасчетпотенциалаB7.13)обобщитьможноидвижениянеустановившиесято-(прямолинейныхдвижениеколичестваобъемунузазначение.Жуковскогопотоках),маломуравнанеоднозначностьпринципиальноевихрейуравненияполнаятело,возникающейсилы,присоединенныхплоскопараллельныхскоростикоторомужидкостилюбыеначечныхгосторонывобтеканиипотенциаломподъемнойбольшоеЕ.подъем-существеннасогласнообусловливающейраспространитьводнозначнымДаламбера,имелообтеканиятеорииприродуустановившемсясналичиярамкахполуча-направленияособеннонепрерывномсоОткрытиеТеоремувЖуковскогоЕ.парадоксместоциркуляции,скорости,припротиви«,§ 8).механическуюжидкостьюимеетлю.Н.чтотем,идеальнойтелпонятьпроvвекторуугол(см.крылажидкостьюТеоремасвязипрямойнапозволиласилы.охватывающемук&,набегающегоскорость—контуру,профиляидеальнойкрыльевнойv^vвокругциркуляцииB7.13)перпендикулярнавектораповоротомформулу:р^ооГ,=поАнаправ-следующуюжидкости,—дейст-силы,поперечномвЖу-Е.действующейподъемнойполучилАцилин-Н.нуля,силы,Дляпрофиляшириныединицуотподъемной(см.крыланалении,отличнойналичиеустановилпрофильобтеканияпотенциальногоустановившегосядрическогоковскийвихрейкоторыхдвижения,жидкости,векторзадано.примененновихряско-1ростиДинамическая27.§внутримынеделообъемажащейнеотсвободнымсонатолинии,концентрированнаядвиженияпослечаетсякнаXГдействоватьдолжнадлиныUскоростьпринадлеколичествауравненияконцентрированнойдляединицуеслижидкости,пределуесличто,е.вихревогополу-шнура,формула:следующаяциркуляция—выясняется,т.частицуИзсила.переходадействующейсилы,нуля,этувнешняя301вихрглвихрем,частицыскоростиравнавихревойгдецилиндрическихотличенкоторогоимеемэтоготеорияiY+=грдотнГ,-B7.14)вихревоговокругшнура,комплексныйавекторсобойпредставляетсительноскоростивектор«огнЕсли0;=--вто0,следовательно,и,концентрированнойсилы,Еслидействуетжидкостьзавихреннуюлойд^тнжидкость.завихреннуюнаB7.15)=внешнейнетслучаеэтомсила,фq0TBравнадействующаясожидкостинатовнешниенадвижениетела,шнуров,вихревых*)(X-Этасторонызаданное0,форму-определяемаяB7.14).Сила,обусловливающиеотно-шпураЯ"-«.=свободный,вихрьX-^iYдействующейвихревогоформулойопределяемыйжидкости,ipqmBV.=собойпредставляетсилаiY)+B7.16)обощениеН.силыЕ.Жуков-ского.Множительсила,iдвигатьсяпротиводействиекомплексныхготсянал/2,В рядедуB7.16)1936,двигаться70—75.дотнвкакпредназначеннымо+iY)ее#отн-вектору—(Xиизакону,прямолинейнымизаменятьшнурами,работечтопоказывает,заданномуотлича-\)2'можновыводовB7.16)кЛ.взаимодействиясилыобразом,И.способом».Седовас«ОСм.меж-жидкостью.исвязанныхсилах,кон-B7.14)силыпоэтомузаданнымсодержатсястр.едвижущимсяПодробностивихрями,вихрь=вихревымирассматриватьможнокрылом,*)ii—крыльяслучаевцентрированнымиповекторовкактакивихрьперпендикулярнонаправлены(АргументыиB7.14)формулахввынуждающаясиле,ПММ,присоединеннымивынуждающейI I,т.вып.1,302VII .Гц.§ 28.ДвижениесистемыидеальнойвнепрерывнодинамическогоуравнениеРассмотримгаза)движенияуравненияопределениядляГромекиrotFипроцесстонаввидеПрименивхэтомукv/(р),=рB8.1)следовательно,так,чтоB8.3)0s,B8.1)уравнение=гЛи,\=grad=B8.3)и2ю+~p—-|-gradB8.2)SPgradB8.2)основаниие.давления—(жидкости%т.функциюввестиможноv.потенциалgrad=-=-rot=средыpимеютбаротропный,средевgrad-силымассовыевнешниеидеальнойF=юЛемба:—Xvrвихрейполядвиженияуравнениеполучитьможновекторногоформев•^--fЕсливихрейраспределенныхжидкостиИзилиГидромеханиканаписатьможно(<U-&-2gradротации,операциюуравнениювекторномуполучим+~Заметим,гл.УравнениездесьчтоVI,1),т.дановкакданаосьх-^+да1ельмгольца.имеетвидддада^B8.4)уравнениеуравнениюд9шдаB8.4).уравнениемтеперьпроекцииG.4)уравнениявыводасПреобразуемB8.4)B8.4)0.=классическомуУравнениетакv)XповторениесовпадающегоГельмгольцаили,(юrot-j1+-^дада=diviю0,=dvguвидdw.дхдидидихудуzdz(см.к§28.z.ОтсюдаДвижениеАналогичноуипреобразуютсяу=-f-г-7г-B8.4)осинауравнение:-Ь iodiwЙ303жидкостиуравнениявекторноеЛидеальнойвпроекцииследует-J-гдевихрейнепрерывных(о-у)=B8.5)v,Р\j -f--3-Нак.¦%--основаниинераз-уравнениярывностиB8.5)уравнениюУравнениеможноB8.6)уравнениеположитьпространствевивоизученияосновувЭтоГельмгольца.уравнениемназываетсяможновихрейвидпридатьидеальнойдвижущейсяввременираспределениясреде.ИзсB8.6)уравненияпомощью1,т.VI,гл.Ввидуний.ихснова§ 7)фундаментальнойизлинии(хdx,-f-ревойулинии.как^наdyмалая-Ачерезdzи(х,z)у,навих-рассматриватьможноИмеемкоординат.осидекартовыпос-dsэлементаконециdx,dsэлементаегдерначалорассмотрими•_е=Обозначимdz)dy, z -fДифференциалы-f-проекциилиниювихревуюэлементтоянная.ВвыведемB8.6).ееЛИНИИ(см.движе-вихревыхсвойствэтихважностижидкиеB8.4)изсвойствауравнения-полученнойдинамическиеВозьмемВихревыераньшеустановленныевывестилегкоТомсона,теоремыравенстваdxdsdzdy__~~~~~сошгf l[ywxe__~pиdvr,Избесконечноdv,-,,четырехугольникамалогожидкийчтоследует,ds',dv,dsэлементdtвремяза\7J.5Z?'J.'(рис.переходитв105)элементпричемds'=ds4-vBdi—vAdt=er+lvV"di¦B8.7)и304Гл.Сдругой-f-tVII .стороны,dtбытьвихревойвихревойэлементds"элементвГидромеханикановойформулавернаФормулыB8.7)'B8.8)кинематическуюприродукогданияГельмгольцаслучае,извытекает,ревойэлементdtвремяввих-переходитивданныйНижемыпокажем,ds",и,следовательно,вязкойвотносительноперемещаютсятрубоквихревыхпостояннавовязкойжидкостичастицжидкости.втеперьвремениdtтрубкувихревуюсds'pdsdaИзB8.10)иB8.11)циркуляцияtструбкасплощадьюзавремяжидкостичастицамиИмеембесконечноравенства(О=Рсо'==03'<ве.моменттрубку7-еB8.10)p'ds'da'.B8.11)получимр dsт.линиимассысохранениязакончастипоэтомуивихревыевихреваяda'.сечениемправойвввместепереходитdsиЭтаda.сечениявих-жидки-член,вихревуютонкуюсобразом,являютсяжидкостиРассмотримИнтенсивностьtвремениТакимлинииже,совпадающаялиния,моментдополнительныйпоявляетсятаклиниями.вчтоB8.6)уравненияds'=fcжидкаялинией.мичтопоказывает,вихревыеds'.элементкакB8.9)движетсялинияревойзаB8.8)иds".=соотношениевихреваяdsГельмголь-B8.7)чтоЭтоЖидкийвокругp'ds'об-ввязкойсред.равенствds'линииаидлядругихуравненияслучаеB8.6)цауравне-B8.6),иВивернынапример,жидкостиРис.105.должна¦жидкости,щеммоментвds"ДляУ?имеютидеальнойдляd-f-—рB8.8)итольконеверные=перейдетлинии.(Оds"dsлинииидвижущейсяado=B8.12)со'da\вместесжидкостьюДиффузия29.§вихрейтрубкивихревойутверждениекаютвсевсеЕсливсправатациякоторыхН.силыДиффузиятеперьт0,гдеvB8.5)извслучаеэтомжидкостивихрейчастьправуюнеобходимотУчитываяввязкойдляиvAt;.членнесжимаемостиусловиенесжимаемой((o.v)«=уравнениядобавитьэтожидкостиполучимvAo),+B9.1)постоянныйпредположениюпо—возникаетраспространенияB8.1)§фициентро-жидкости.Ввихрей=силы,несжимаемойуравнениенесжимаемойvвязкойвдиффузииdivкинематическийкоэф-вязкости.ВекторноеB9.1)уравнениесистемыимееткоординат=жl°zB9.2)проекцияхточностьюснаписатьосинавхB9.3)виделопроводностиТакимобщейобразом,средычастицамлениюповвсемусобщейобъему.(см.вихрятенденциейдиффузиигл.илиV,взаконамравномерномувы-Втеле.поктеп-1).т.выравниваютсянагретомнеравномернорассеиваетсязавихренностьжидкости§ 7,аналогичнымзаконам,потемпературыравниваниявязкойуравнениемсредевекторапроекциижидкостимассеB9.3)ссовпадаетнеподвижнойву.по-5=vA<o2.уравнениеипервогомалыхдоможноB9-2)Лго~-'¦+v"згвполучаютсяуравнениерядкадекартовойzосьнадш+&»Tiдвижениймедленныхпроекциидш+ш*^уравненияаналогичныеДляввиддшtfwЭто1.т.свобод-распределенныесредеидеальнойвVIгл.среды.вихрейРассмотримУравнениеивыте-7массовыеимеютсяотносительнодоказаннуюкасались(непрерывнонулятовихрей§ 29.B8.1)от^ввыводыуравненииЖуковского),Е.Томсона,предложенийтеоремудоказанныхпредыдущиеотличнадвижениеB8.13)раньше,вихрей.ныхвремениconst.установленныечто305жидкостиво=собойИзспособом.другимследствия,Подчеркнем,вязкой2юД(т=выражаетраньшенесжимаемойпостояннойсохраняетсяГЭтовязкойвобъемуираспреде-по306Гл.ДляwДиффузия=B9.2)вязкойприобретаетпрямолинейногоконечнойвихряГидромеханикадвиженийплоскопараллельныхуравнение0VII .Рассмотриминтенсив-*При0=распределениечтоискомоерешениевеличинатиихуленаt,отагцентромспоэтомувготзависиттожеОчевидно,z,радиусаокружностямк0.^>tосиполярногоотжидкостискоростькасательнымпоплоскость.всюналюбыхотносительнотолькопривременивихрядлясимметричнозависитогГ,циркуляциеймоментыпоследующиедиффузиявихрейпроисходитьРассчитаемконечнойВz^кон-вихрьпрямолинейныйзаданнойсосиповихря,имеетсяжидкостивцентрированныйрасположенныйt ^>0 будетпридиффузииозадачукогдажидкостивидtиплоскосинаправ-началекоор-взятоевдольвдинат.Такdb>z/dsvкактока,линиит.0,—гдеsvdazтоблагодаряпревращаетсяроелинейноевdu>zvсвойствамуказаннымпосленаправление,—е.^симметриикпереходаB9.4)уравнениетеплопроводности,уравнениекото-записываетсякоординатамполярнымввидеРассмотримрадиусаГциркуляциюг(г,t),взятуюокружностипоПокоординат.началевцентромсСтоксатеоремеимеемГ(г,t)=.-.\ ^ со/20ВначальныйчислемоментскольдляначальноеИзпостановки$ га,4л=tпрималогоугодно(г,(г,t)B9.6)dr.0времениГТаковоdQdr0г,0)Г=0 для=любогог,ивимеемB9.7)const.=задачи.условиезадачиследует,искомоечтовид«г=«г{Г,t,V,Г).решениеимееттомДиффузия§ 29.ИзвихрейлинейностинесжимаемойB9.5)уравненияследует,вязкойвB9.7)условияначальногои307жидкостичто(DzИзпостановкиB9.8)задачи,комбинацияразмерная17(r,v,0.=B9.8)иП-теоремыизбез-чтоследует,Гзависетьможетт.переменнойбезразмернойоттолькое.=,ПодстановкаB9.9)формулыB9.5)нымивсуравнениечастнымиобыкновенномукприводитB9.9)У (?)•~производ-дифференциальномууравнению:послекоторогоинтегрированияполучим^¦фСПостоянная¦ф @)иИнтегрируя@)г]/равна4^ij/_f-искомогодлянулюС.=решения,вкоторомконечны.уравнениеd\b,,~Ж^'п=>найдемДляэто<bzдаетАПостояннуюопределимначальногоизY{r,t)=in-A[reB9.7).условияИмеемг>г*_гшdr(l8яАТ=—е4v*).B9.40)оОтсюданаоснованииB9.7)приимеемГ=8пАТ.t—0длялюбогог^>0.'508Гл.VII .ГидромеханикаСледовательно,АЭтаформулаискомоеB9.11)vа>,.скоростей(г,t)B9.10)4V(.дляраспределениеоснованиина^-еS.tvi="решениетеперьГтосо.иЬядаетОпределим4-=(r,2nrv=найдем(r,vТакt).t),формулу:окончательную?rПриt0=молинейногоВидеальнойt J>0.