Том 2 (Седов Л.И. - Механика сплошной среды), страница 10

.,=безграничнойвпредставляется(кабсо-движениинесжимаемойстепенямиUkтелом.ожидкостьишестьюсистемыобобщенныеителатвеРД0ГОучитыватьизадачлютнотелосистемужидкости,внутрижидкостьюрешении;можнотело,жидкостимеждужидкости1.телдвижениеПривдвижениемсвзаимодействиятеланажидкостимассерассматриватьсиловыежидкостибезграничнойвВидеальнойвоздействиядвижущеесянеобходимоГидромеханикаVII .воздействияжидкос-форму-воспользоватьсяламиА=гдеторой5Ш0сгda50?оителомопределеныЕдиничныйнеизменно.такотносительносилподвижнойфиксированнойже,какнеко-вформулеО,точкипвекториA6.1)dc,\.p(rxn)=гидродинамическихпроизвольнойленнойвектормомент—[рпA5.3).иВскреп-радиусприло-§ 16.женияхцентральнуюИнтегралыA6.1)ленийЭтотточкиОточкуилиможноспособпригоденлюбойданноймощьюформыТТпкомпонентыНестрогие,новерныедлябесконечноймассыжидкостиСоответствующие.вольнойрассмот-механическоиiформысистемыA.БесконечнуюQженияСуммыбесконечнуюбесконечности,вобсвязь,реакциибы,Вреакции.силТрудностивЭтиопределениидвиженияколичествамоментаположениясилывнешниесущественны,J ^массытакла,д pvфункцияимеетвообщеax,сходитсяинтегралэтоткакностиопределенноежидкости,интеграломподынтегральнаяпорядокВсамом0=невделе,A2.24)рассмотрим^предель-смысимеетиз-заусловноМпри1/R3.-беско-движенияСжидкостикак,так'количествонапример,нечнойколичествачтотого,вбесконеч-соотношениеноеlim\pvdx=3)пгдевисточникомстатьтакиебесконечнойдвижения2внешнююотсутствуют._,массырас-можнодополнительнуюговоря,вообщедействительностиУсловиеA6.1).бесконечностивнакладываемуюмоглакотораявнешнихфA5.3).покоящуюсяи—5Ш0—Аgradидействую-моментов,условиюповекторамфкакформуламижидкости,равныК,движениявнешнихисилвнешнихдви-количествомпараграфепотенциалабудетрассматриватьсуммарнымколичествамассуисчезаниисматриватьивсехположе-которыхможноспредыдущемнащихвосполь-двумямоментомвдвиже-видаеслижидкостисуммарнымопределеннымиB.,»ниже.массуипо-произ-теладлялюбогосправедливостьсистемумеханическуюсчерезвремени.иобоснованакак2,следующиминиями,длявыразитьнаписать,зоватьсявсеA6.1)формулылегкония,какпотенци-интегралыповерхностьюпо-движениедляможнопроизводныеихи2,Лагранжа—когдаслучаях,когдаизанимающейзадаваемойтела,Qтела.дав-чтоповерхностиКошиитвердоготочкутехв2,жидкости,кинтеграла„икромеЗамечательно,внешнеемассизвестно.несжимаемойпространство,201телоцентрдругуюраспределениекогдаграницы,движенийальныхбратькакую-либовычислить,рассмотрениядругиепотенциально.нежидкостинажидкостиможнотелаимеетренияидеальнойповерхностипожидкостьдопущениявоздействиякачествевтела,Силыи—область,конечная2П,поверхностьюбесконечность;взависимости\ pvdx,ограниченнаявсемиоттелаповерхностьюустремляющейсясвойствсвоимипоследовательноститочками2022Пэтотпределществует,количестватегралом\таккак(гдляОднакопритокаусловийиф)основаниимомента_^гдеdQ/dtинерциальнойпроизводнаяотношениюкd'Q/dtскрепленнойвзятанеткине-дляобоснование0.положенийзаРАсA5.3)ВиможноQA6.2)нажидкостиkikчерезвыражаетсятактело,попроизводнаякоординат,определяетсистемеФормулавоздействияQвекторааподвижннойкA6.2)Ох?,+отсчета,неизменно.вектор1?=изменениесистеметеломсилу^_=определяетотношениюпосуммарнуюно=делослучаебесконечностиизоохуже,написатьгидродинамическойсилы(gradНаформулытребуетсяслучаесу-иметьэтомвжидкостикиещеинтегралаэтомвонвектораин-необходимосходимостьюи0=1еслиДляобстоитделожидкости,энергииф«,3)расходится.соэнергии.счетопределяемогоспособасвязанныхотсутствияжидкости,энергиейзатруднений,тической2П.—>¦вообщерамкахвкинетическойсповерхностей3)пприинтегралдействияхтольковидаdx,pv)Xилисуществовать,неотдвиженияэтотПриГидромеханикавообщеможетзависиттомоментаОбщиеVII .Гл.каксоглас-U1ифор-помулеQ-4-da=P\ViU=Xэкгдеэ3=Для(точкаО)Кэ2г,=Обозначимещесил,Нарядудей-моментовточкуО.ОхточкуО1вПустьсоответ-жидкостиОчевидно,чтоКгмеждусвязь:следующаямическихО.и^',=сил,центрнеподвижнуюдвиженияОгточекчтото,точкиизколичествамоменты—имеетсяО.(э1моментВведемточка.Кхи2,напроведенныйотносительноКA6.3),3системевнимание—подвижнаяг,ственноиэопределяющегообратимтело,радиус-векториKhU6подвижнойвуравнения,получениянаК12jк).ствующихибазисавекторы—i=l,2fc=l,черездействующихсК=ЗКаи+5Ш0наравенствомгXA6.4)Q.моментысуммарныетело,A6.4),гидродина-Охточекотносительноимееточевидно,месторавенствотг•A6.5)гL§ 16.СилыУравнениемоментовжидкостис203телонадвиженияОхточкиотноси-жидкостиA6.4)учетомможнонаписатьвиде^^использованоследуетЭтаформула^=ОвыражениеегоподставитьможноA5.3)КФормулынальны1=1,2,вформулами/лоднучествакдвижения25емаприсоепропорцио-силы/лиQисA6.6),Кхсправедливостьс\вДлямоментеоколи-объ-бесконечногоизобъемуподвижнойA5.3)доказательстваииндивидуальномуan3)п,жидкости2поверхностьюА?3?!Fs-\-+d—?3?sn\,j gradcpoT:at=dС-г-nftp^=-т-at(rxxgrad(*dp\q>nda-\j<p)dx-г-at=Ш±имоментовдвижениявыделенномулформулами0^).точкуАкоторых—вычислениядляцентрапредпо-докажемповерхностьюиИмеем2„.—определенииобоснованияо\aмысленноконечномуограниченному—A6.1),аколичествеотеоремыобвсеиВинеподвижнуюжетуиприменимA6.2)качествевна—A6.8)задачапорядкеАvслучаях.Кдляр.ложенийопределеныобоихакоэффициентовkikТеперьформул(вбереммоментаформулуэтуA6.3),чтожидкостиJ^ВWffV.hi23Коэффициентысделанныхи.

.,6выяснениюкkik.плотностиОбоснование2=показывают,сводитсямассдиненныхda°ПA6.7)иA6.6)?0?овекторатело.извыражение°*L^силИзвыражение:\%игрA6.2)суммарныхдлянаследующее=drldt.=A6.7)действующихсил,A6.6)охх-М7-0хО.+искомоедаетоснованииU0равенствоформула:окончательнаягидродинамическихдля-frx^;очевидноездесьA6.5)-а»одопущенииидеальнойколичестванеподвижнойтельноввоздействиярС\jiA6.9)204VII .Гл.ЗдесьоснованиинанойГидромеханикаКошиинтеграласистемеЛагранжа—неподвиж-вкоординат3<рpv2Cftdiнаписатьможноед<р,)Ttndan=P+г,P)фndsТиA6.10)a,такинтегралыкак2Ппоотпостоянногоравныслагаемого/»0нулю.Далее,==lim~Wy'n'do'\\ -~nd<5рi-\A2)nгдеобъема—dxобъемdx=vn-?-1limgrad2ймеждуимеемиda\—dt.\фd-r2П,причемАналогичным=pdoф?г—\\-^ndaдля+p\t«;nэлементамалогополучимпутемформулу(rxxv)vnda.С помощьюQиэтихКхA5.3)преобразований,уравнениясA6.9)приведемA6.10)учетомкиопределенийвиду'A6.11)da,§ 16.ИнтегралывыбораЭто3)п.не2Пизследуетзависят2ПточекпервомибесконечностьвбесконечностьвA2.24)Мприв0=j=формулахэтихразясно,причтоподынтегральныеимеютчтоследует,2поверхности1/г4порядкилюбойдляэти„уда-величиныA6.11)Отсюдасоответственно.отобъемаасимптотическогоравенствахвторомзависятвыборачленыосновании205телонеотостальныеНапотенциалаформулахэтихвчто2П.нажидкостиследовательно,и,того,выбораотдлясяидеальной2Пповерхностилении1/г3воздействияповерхностиположениявСилыиудаляющейточноинтегралыравнынулю.ОбращениекградскогоскоростейобразомпотенциалТакимA6.6).жидкостисилнуляНаиВра"основаниидвижущеесявижныелвлdmнейdQ3.A6.2),уравненийпроекцийдлясилысторонысовращения,.,A6.7)наАипод-моментажидкостиполучаемлегкоГ71„„отбесконечности.издействующихпокоеоотличныхкоординатоситело,A5.14)жидко-условиевведениемэнергииформулШо,нассвязанорадвижемассычтопритоковA6.2)количествобесконечнойнесилы,тГ™оУЮ1ЦИекоторойопределенныекакустановлено,этимилиК,ирассматриватьбесконечноститеЛ°QдвиженияреакцииНапо-Остро-—вуравненийсправедливостьможносГидродинамическиеГаусса2П,поверхностивекторыколичествавкконечныемоментОдновременноформулыприменениемвнешнейсрегулярен.A5.3),исти.получитьасимптотическойоснованиинадоказанаПоэтомувенстваминиясиобласти,можноинтеграловвыкладокA2.24)формулыиэтихнульвформальныхмощью„1Г7.A6.12)A6.13)206Гл.ЭтиформулыидаютмоментовнащегоосивыражениестеладвижениихОуплоскостибудемUlUcos^=*гж50ги=U2a,~=V0,*=(ааугол—ееU"силытеориидвиженийосновныеважноемногихA6.2)уравненийтеорийисдвиженияпосто-любойтелатвердогонепосредственноA6.6)иЭтазначение.точныхприложениях.поступательногоскоростьюяннойграницразвитаявлияния,болеевоДляналичиемиимеютидеиосновуиспользуетсярагазовдобавочныедальнейшихвсиламискоростейполявнутридляидеаль-образомглавнымэтина2a.sinрассматриваемойразрывов_A6.14)гидродинамическиесжимаемостииизпо-лежащей0,возмущенныхНесмотрятеориякладетсяформыугол%X1)обусловленывлияниемДаламU,=—впоявлениемтел.теориянепосредственно(X22_определенныхОтличияжидкости,A6.12)при>потенциальныхдругихформулахчастности,хUsя,движенияхтрения,вышеС/sin=g»zсил,непрерывныхнойжидкости.вязкогоосьюцентр==~Z=ототличаютсяарадокссдействительныхПриВуг-Еслииметь=Xпроекциискоростьюсоставляющейиивто0.=постояннойслежа-оси.точкой,kzaположитьсилмоментов,подвижныенацентральнойснеобходимоступательномгидродинамическихцентравращения,осьювращениясовпадаетдрейфа),дляскоростисовпадающейх,A6.13)иГидромеханикапроекциискоростимоментоввявноечерезловойVII .выте-чтокает,A6.15)ПервоесоющаяступательноскоростьжидкостипарасилеслиQтрехсспостоянной59?0Ло,направлениймоментомколлинеарноглавныхПодчеркнем,чтодляздесьпотенциальных=(Uo—т.е.ВидеальнойтвердоеXQ).Этотобщемнесжимае-действуеттеломоментнулю,одногоравендвижетсятелоеслибесконечностипотенциально.вдвижущеесяскоростьюеслинулю,вжидкостьипо-наравнатело,твердоенепрерывнопоступательнонаслучаемойламбератечениеижидкостипостоянна,теладвиженияпокоитсянейвдвижущеесядейству-сила,несжимаемойидеальнойстороныДаламберапарадоксСуммарнаятечений.потенциальныхдляизравенствэтихизсоставляетвдольдвижения.мыналичиепоказалитечений,Да-парадоксаноонспра-ведлив§ 16.Силывомногих(см.такжеициальнывоздействиядругих§§ 8установившееся,ститольконойвеличиной,егонеотОтсюдачтоследует,жидкости,когдакакколичествсуммабыхсред,новившеесячтолюбыхжидкостей,внутрикоторыхобщемгазоввыводверенслучаедлявообщеидляинелю-произ-данноерассматриваетсятеладвижениеэтотвитомвопределенноепредставляетсячастиц,ножидкости,движений,тольконуляжидкости,Очевидно,идеальнойвольныхотееинтегралом.дляжидкостибесконечнойвнутридвижениярасходящимсятолькодвижениидвиженияслу-которойс1):нулюотличнымиколичествообщемвсиле,находящеесяполучитьсямогутслучае,тело,есликонеч-иустановившемсянапотен-жидко-являетсяПоэтомуравнапридействующиеоноравнаятело,нанетечениежидкости,есливремени.времени,подействуете.207телотеченияеслидвиженият.зависитнаделе,количествопроизводнаясилы,самомрассматривать,можножидкостьжидкостикогдаслучаях,В10).итоегочаеидеальнойуста-которыхдвижениеустановив-шееся.СдругойпрактическидвижущихсячислеиссвязанынимающаявселичествопространствонеОднаковбесконечностьствуетчестводвижениявнечности.ВеличинанаАбесконечностиобрешениипоявятсявоздействиясвязаныссферыобтеканиивнешниеввведениемвязкойсилыкакуста-конечномпридвиженияустановившиесянеустановившихсябесконечноесилеравняетсянезадачудвижениячтопределытеоретическипродолжавшихся*)тем,скакколи-которогодляжидкостидвижениисвязаноотсут-сопротивлениятела,количестваабсолютномтолькоНапример,возмущенномсилаобтеканиибесконечно.бесконечногоНакапливаниенежидкостисопротивления.жидкостижидкостисопротивленииполучаютсядляинопотенциальномоотносительномновившемсяко-движениязадачеидеальнойиза-бесконечноеотносительного,наличиемсвышедвижениидлясопрожидкости,имеетколичествасвязанарассмотреннойусловиярассмотримвующемтолькотомскоростей.поляобязательномассатела,внедвиженияабсолютногополучаетсякоторыхприсхемы(вгазовилибесконечнаячтотем,сВсенуля.отжидкостейволнами),ударнымитивление,отличносредах,идеальныхиливязкихпрител,сопротивлениедвиженияхустановившихсявразличныхдвижениядействительностивчтоизвестно,стороны,движений,время.жидкостинавнешнихсил.жидкостью,следствиеНижевусловийеслитело,мысоответствбеско-Гл.208ОсилахгидродинамическихприVII .наличииГидромеханикаПрипотенциальныхHogжидкостидвиженияхкприводиттакжеаимассовыечаяхбоднойтегралаКошимассовыхсил.Всвязиэтимсдвижениичаегоризонтальноговнутрилодки),возникаютколичествосилахвводетелазначительнойсиламиваетсясвойствомальнойжидкостиэтомженииподстановкивЛагранжа,неечтогидростатическойАрхимеда(см.будетравенмоментусилаЖправиламменту,случаеформуламиАрхимедасилеA6.2)иееформуламиАрхимеда,имомент.A6.6),вВA6.12)дви-отлична8).отпослеКоши—тольконулябудетиМоментA6.1)формулепобудетточноравнасилгидродинамическихАрхимеда,определенномудинамическомудобавочномупомо-A6.15).тонеустановившееся,Аиполныйсилателажидкости.формулыизформулепопо-вблизимасседавленияидвижениеполная§силыгидростатики,определенномуЕслизоватьсячаститакжеиде-теориисвободнойпоступательномскоростьювыраженногоАдавления,получим,счетсилеопостояннойсрамкахскоростейустановившемсяприлодкиввлияниебесконечнойвикакже,основанииЕслипотокевобусловли-ходапотенциалтомало.сопротивлениявозникновениемчтополеничтожноскоростяхпринять,такимсчитатьНасиводы.вязкостинесущественно,можнотеланаличиемалыхприсвонажидкости<5вблизитрениячтоболь-насуществованияслучаеэтомможноверхностизаповерхностивязкоговихрей,лодкивлияние«стеченииподводнойглубинескоростейВсвязаноэтихсила,установившемсядвижениибоднойглубинежидкостиВместа.подъемнаяиинтегралом.шойнаповерхно-имеетприслу-(подводнойповерхностижидкостирасходящимсядвижениисвободнойеенеПригидродинамическихпривпостояннойссопротивлениедвиженияпредставляетсяОповолновоеотвозникающемсвободнойДаламборапарадоксслучаяхин-зависящийдвижениявблизинеесво-возмущен-жидкости,(корабля)телатвердогоилиэтонапомощьюсчлен,поступательногоскоростьюстиНапример,потенциальномнепрерывномтяжелойприслу-условийграничныхсодержащегоидеальнойномаЛагранжа,—По-сил.формулируютсякоторыеповерхности,—важныхмногихскоростей.полесчетзасказатьсяможетмассовыхвонавлияютсилывлияниепотенциалчерезпричинам,другимпосилКошиинтегралегидростатическоговдобавочноговыражающегосяэтому,массовыхпоявлениюЛагранжадавления,идеаль-наличиетелаиA6.13)рассматриваемомбудутопределеныдобавитьнужносправакоторыхслучаев99?моментможновращениясдобавлениемсилувосполь-данных§ 16.ОтелсилахСилыобтеканииприидеальнойвоздействияВышеускореннымиНьютонадобавлениеЗадачуодвижениилентнойпотокомжидкостидвижениятела.щимстиРассмотримобщетеперьподвижныхВости.ниеммногихвилидвижениениесравнительнопотокахВзадачахстипотенциалвийнаогармоническоймыдинаттелал,движущуюся(t),тела,динатделенаскоростьможностьтеланатл.щенномчтовидеть,системыяСледовательно,построенный=—тажезадача,соответствующийдляраспределениякооропре-ТТаопределенииРассмотримвтелавоз-системызадачукоорди-системеяопред-A6.16)Ua-UB0Ot{t).жидкостибезграничнойвыше.Принесжимаемойдлядвижениисистемыкоторойточекскороститочекскоростинеинерциальнойотносительноформулойобозначимугодно,времениучитываем.UЛегкоскоростьюотносительноЕ7"пост.Относительныеставятсяпеременнойкаксистемы,телакоор-потока.вожидкостида-насистемуподвижную«неподвижной»самойжевремени,жидкостидвижетсяотносительнобеско-впопеременнаскотороепеременныевращениядвижениинулянабегающеготело,—иВозьмемразличныеопределенныетойжидкостискоростьпоступательноимеемVаявляетсядвижениемскоростиусло-краевыхбесконечности,впорывистымрасстояниях.равнойПустьчерезсделоототжидко-отнезависимоусловийПустьотличнаимеемлекихСпоетотфункцией.конечна,е.ителанеуста-сложныхнесжимаемойдвижениивсегда,поверхностивтел—движе-п.потенциальномскоростейнечностит.частицветретечений,водяныхт.иводыНапри-порывистомприналичиинебольшихновившихсяобстоятельтелом.даннымвоздухомприрасстоянияхвнешнимисдвиже-сделотелаотсвязаннымидирижаблейкораблейво-жидко-иметьобусловленномнеобтеканиеобтеканиинесжимаемойдалекихнадвижении,скоро-относительномпотокомкотораямеханическимер,обприходитсяжидкости,находитсяствами,противоположнойприложенияхвтелэквива-набегаю-теласкоростью,вопросускореннымтелсилах.назаменитьнеподвижногососкоиможнообтекании—постояннойдавленияжидкостивобско-Галилеясистемыраспределениителазадачейпостояннойпринципуточкамвсемнаобра-поступатель-стелаСогласнокосказываетсянеобвопросдвиженияростью.209телослучаевдвиженияногонарассмотрелимыщенииростижидкостимассызадачаподробномыкоторуюпотенциалскоростейвозму-оотносительножидкостиJJ,изучилискоростей,определенного210A6.16),формулойсистемахподобныеции,ческимисилопределеннымисилэтихвремениберетсясистемыкоординат.жидкостиидеальнойVгдескоростиальнойСделанныеобращенииприусловия,17.Движения11§Вскоростейгазавогоиде-ускоренияДаламбера.силгидродинамическихзасчеттеченияиАр-«силысохраняютсилусвоюдругихкогдасред,кинематическийимеютгазабыломассовыхмалымичтопоказано,(х,фвсслучаеуравненияу,малых2,t)силхарактервуравне-Прирассмотрениирешенияствующимволновогодополнительнымдругим.возмущениямиобзадачапотенциалаопределениибаротропноговозмущенноговозмущений*-?3иличтовиду,движения.ния§проти-вотсутствииприкаких-либодобавленияответра,бытьдвижениетолькосхемпоток,pVdUn0CT/dt,скоростииметьинерции,другихстороныможетнадопарадоксразличиисиламипотокежидко-—посилаэтапотоковускоренныхзависятнесонепрерывноеопопорывистомнегонеите-дпроизводнаяравнаяОднаковыводыдлявначтоместовызваннойслучаеопределяющиетяжестиинерциальнойнаправленажидкостиимеетвышехимеда»,общемсилаветра.рассматриваетсяпотокавнешнегоиЭтаслучаенесжимаемойданномвопределениисилыгдеАрхимеда,Очевидно,воположнаПрителотосилаускорению.егопослагаемыми,есличастности,неподвижно,тела.относительных«неподвижной»Всум-соответ-отдляdUUOCT/dt,относительнообъем—рольЕсличтоотличатьсяинерции.ускорения—действоватьбудетстичтовеличинаигратьЛагранжа.—определенных«гидростатическими»учесть,нужнобудетинерциигидростати-очевидным,будутсилинерпри-сКошизначениямпосилысилстанетмоменттолькодви-уравненияхэтихтомоментов,ивмассовыеинтегралеA6.1),A6.16),Uскоростейперьвчленасиламарнаяствующихчтотем,движенииосвязанногоформуламсуммарныйксисте-задачсоответствующего,давлениемпотенциалом,неинерциальныхприсутствоватьНаличиетяжести.силеобратитьсявбудутпоявлениюквтолькозадачсскоростей.соответствующихотинерциальныхпервыхсовпадатьабсолютныхдвиженииотличаютсяженияведетточностиотносительномотсчетаввдляраньшеобЗадачимахГидромеханикабудетрассмотреннымаVII .Гл.сводитсядвижениякволно-решению<"¦•>"озадачконкретныхуравнения,необходимонаходитьсоответ-удовлетворяющиеусловиям:краевым,начальным17.§решениегазасплоскимихиотA7.1)приобретаетЛегковидеть,(х,Фгдефункцииt)общееД (х=/х (|),/2 (ti)—соответственно.A7.3)будем0Отсюдах=A7.2)решениипричтображенный(ж),фрис.tпотенциалчтообластьвправонаностьюрешенияформыосновные,i.=(I)0потенциал/х (?)ифункциях0/i=В?0-=любойвозмущенвид,имеетfx (?)»A7.2).уравненияtе.т.т.aot)t) =fi(xt)е.отличнаизо-отнуляпоследующиймо-отaot<!aot.A7.2)уравнениясвойствоРассматриваемоетольконуля^а;-|-х0движения=Д (|)=отличенприхявляетсявозмущения.изнекоторыеr«о')—времениследовательно,0 до(х,х0,возмущенногорасстояниевозмущенияхкоторых«А (*77,(х,ф<:aot—видО^>ФиаотучасткевремениО <Сз:теперьурав-/2,иопределятьрешении=моментвнамент/хслучайфнаудовлетворяетнеобходимозадачЫгШ.+„движениядифференци-A7.3)чтосвойствадопустим,aoiрезультатефункцияхсначалатолько-fх=Йг=«о1ШУстановимволныРассмотримA7.3)(тО,+/2дифференцируемыевпроизвольныхконкретных_ногог)/"* (л),условий.Прогрессивныеrrивидно,приД (|)=видиметь+дополнительныхиaot—непосредственнонениюимеетдваждыДействительно,?(!)=форму:aot)+коор-уравнениеуравненияпроизвольныеаргументовIоднойволновоеэтого/2 (*+отслучаепростуюрешениеaot)-своихрованияэтомпотен-когдатолькоследующуючтодвиженийволнами,зависитфВt.временислучайПЛ0СКимипиал211возмущениямисначаласгазаcumxдинатымалымисРассмотримволновогоуравнениявилиДвиженияа0^переместитсяЯсно,Видно,поволнплоскихсохраненияввозмущенноеосихособен-существеннойчтодляпри78).(рис.малыхприxtплоскостидвижение212Гл.представляетсобойпрогрессивнуюволнуVII .Гидромеханикапоступательноперемещающуюся(см.виданеизменноготельнаявозмуще-вдольния(\t-oа0звука»(dp/dpHXgРис.77.Отсюдапокоя.ственновидно,потенциалазначениечтодви-какмалыевообщедеформируемыхАналогичносредах.решениесобой/t(!),78.Рис.случае,соОесли0^|^х0интервалеизойдетдельныестороны;суммураспространяетсяпроизвольныймоментзвукат)^нулях0,с79).толькотечениемпродвенавзаобщемвременираспространяющиесяпроизойдетВконечномнавозмущенияволны,/2 (г)),вторая,времени.(рис.а0отпервоначальногоразделениеаизоднаволн,прогрессивныхвправо,отличны0 ^решенийсумма+Шскоростью/2 (i\)иразделениепрогрессивныеэтосоиаа0,=вх/х (?)распространяю-скоростьюдвухВозмущениеосивдоль(л)волну,влевособойпредставляеткоторых,/.=прогрессивнуюпоступательно>влевоигазахжидкостях,вФпредставляетщуюсярассматриватьможновозмущениязвука»,звуковыечастности,вкак,«скорость—колебаниямеханическиесобойслабыхоправдываетсяэтима0такжения.айскоростьраспространенияназваниевозмущенногонепосред-представляетвозмущений,Начальноесо-невозмущенномвстояниискорость":равна«скорости—действительноbyбудетхосиу=Поступа-распростране-скоростьпервоначальногония.ft(?)вправо78).рис.конечноеот-разныевремяг17.§xjaa.tx=области,будетЭффектнатомвоонечнапоточки(плоскаяосисивныехотРешениеволновогоуравнениясослучае,вправоf(x,t)инасвободнаясферическимиволнамигУа=уравнениеческими+ \- г/2A7.1)волнами2тельноначала-f-ислучаевволны,ф(г,0гдесвоего/—произвольнаяаргумента+dot.обла-газасимметриейt.временивозмущенногоотноситофпотенциалзависитПокажем,тольковолновоечтодвижениясосфери-вида=/-^?^,дваждыграспростра-координат,решениеимеетп.),т.взаимодействоватьдвиженияотграничныетопрогрес-движениесферическойбеско-средаивозмущенноедаетz2о0.имеютсябудутвозмущенногоотскоростьюхосигранице«отраженные»среды.довол-сограницаквнутрьпрогрессивныепокоящаясяЕслиподходеЕслидвевлевовначалевлево.волнывремени,моментаб)когдаивозникнутьграницымогутинекотороговправоприняющиесясконечнойвпрогрессивныесторонывозмущение,стенка,волнынейНачальноеа)213возмущениямизаданногоразныеначиная79.малымивозмущения,враспространяющиесяны,сразделениясохраняться,=сrasaбегущиедвеРис.tДвиженияДействительно,A7.4)дифференцируемаяврезультатефункциядиффе-214Гл.A7.4),ренцированияzlr,=VII .такГидромеханикадг/дхкакх/r,=дг/дуу/г=drldzи=получимдфfxг*~~~д~хд*д>=_/_,_Отсюданепосредственноворяетr+волновомуГ?_>i4__т*5''У_,>*4выражениепри)«3''A7.4)любойA7.4)решения/"д32/'д2_у"^A7.1)исследованияf'x"г2"",чтовидно,уравнениюДляaot.З/г^v3flT*1"удовлет-/функциизапишемотврешениеэтовидеПримемвначале,своегоциядляНетрудноA7.5),ростейрассматриватьнесжимаемойвворяющегог,разложивQфглавныйчленскоростейнесжимаемойвчтотеперь,вт.временимениt имеетНуЛЯТОЛЬКОотличен0 sg.'ПрикаксоA7.5)течениягбудеттольковре-ототличенрасходотясно,чтоотличенприг>0иг>00 ^техг,воз-потенциалнулятолькоaottвременидляИзисточником.этимотпределахпораспространятьсяпосланныемоментнуля80,рис.будутвременемвпромежутокQ {aot)источникаТ.будетлежатьфиксированныйотэтоговозмущения,решенияимеетсямалыйнекоторый^предположимжидкостимассынаtО=этогосоответствую-средыбезграничнойизображенныйжидкости—0=расходавид,мущенногоособенностейдействуетЗависимостьПосмотрим,видаaotдыйгкоторыйисточник,объемуточкеграсходдвижениясимметричноготочкевQ (aot).основныхсферическищегопотенциаладляобъемныйфункциейхарактеристики(г;,выражениемрасположенногоПеременныйопределяетсяДляuсжидкости.источникаг4Йисточника,отмалыхвыражениеQ(aot)совпадаеткотороготеченияудовлет-приполучимQ (apt)Шг-отпотенциала(t)IAjir,—Q=Действительно,Тейлора,рядможноуравнению,фЛапласа.вско-потенциалчтожидкостиуравнениюфунк-аналитическая—усмотреть,волновомусоответствующегоудовлетворяющийкакобобщениеисточникаQчтопростоты,аргумента.^>которые—0когдатогда,г^а0т.Вкаж-ф будетпотенциалудовлетворяют17.§Движениямалымисгаза215возмущенияминеравенству«о*образом,Такимдетрасположенат)—r2=a0tи=областьУказанная#!фронтывозмущенияпораняютсяростьюс«о^вцентрамиВdr\dridtdt0=Оплоскимформакоторыхсохраняется,ссвязанообластьчто,взахватываютб^Решениесдвижениеточкиг0=Аналогичнымнами.воговтобластьдвижения.моментотжидкоститочникасрасходом,толькожутокис-времениэффекттакжеВозмущения,мгновенноинтересенпосланныераспространяютсясобойвксферическиебесконечности).волныДляинтенсив-возмущенийнарастаетприложениймногихсферическихиволнахсходящихсянаисточником,внаосо-Однаковолн.используетсявсюсхо-,волныДлявозмущенийусиления0сходящейсясимметрии.расходящихсяслучайваженвопросахцентруп=вностькподходеволно-бесконечностиизгмож-путем=(источникт.сферическимипредставляетточкепроме-отвидадЯЩИесяототличнымконечныйвкотороевременисобойвол-решениеФЗаштрихованауравне-представляетрасходящимисярассмотретьуравненияно81.пропорциоволновогоA7.5)нияобъемSt,ивозрастаетг2.нальноЭтоA7.5).формулесферамидвумямеждуоткоординат,возмущениякоторойРис.возмущенногодействую-началев1/гмножителяраспространяясь,пространствазависимостивремени.временемналичиютем,Примеристочника,приволнсоблагодаря80.расходащегоин-распространениипадаетРис.ихприсферическихихстигско-сопротивоположностьтенсивностьприбенноточкераспростжидкостираспространениинулярадиусовап:волнам,t>бу-теченияS2ивозмущенийS2 и заднийпереднийподвижна,+ггSiсферамидвумя0)(ф фвозмущенногомежду(t81).r1=a0(рис.областьвонесжимаемоймассумногихпрактике.жидкожидкости.216Гл.Внойсжимаемыхсоскоростью1) былот.причема0показано,ствующейскоростивозмущениявВышезвука(скачков)г(др/дрM,а=Возмущения,потен-Способыциалы.ированияqволно-волновогоявляетсягtz0,?0),—гдеобразом,кимф* (хЛ=zО,=называютсязапаз-можнотоt0z0,у0,х0,строить(х,ф(хфнекоторые—уt)z,у,х0,—у0,—произвольныеуравнения.волновогорешениемдругиееслиуравнения,Та-функциянапример,ивремя.<?\A7.5)Например,илибудеттакжег=?= 0 тольПоэтомугпотенциалами.волновогопостоянные,/лпA7.5)уравнения.решением—определенноеA7.4)решенийпомощьюрешенияконечна.точкиточкивидарешениядывающимиуравненияС3vраспросоответ-изнекоторойдоVIIгл.тоженопосланныедоходятконстру-решении(см.скоростьбольшесредахсжимаемыхвозмущенийконеч-распространяютсяyr(dp/dp)p=p,.=чтоконечныхсраспространяютсямалыезвукастраненияЗапаздывающиевоговозмущениясредахскоростью,ГидромеханикаVII .Q fa—(th)-У(х4rtY(x-xof-xof-B/+(y+-yof-ZT^5)(z+(z+y«?z0J-A7.6)будетрешениемсоответствуетисточнику,ствоватьвA7.1)точкеможноэтим,мощьюновыестроитьрешенийсложенияпринимаютточекt0мениA7.6),Сjf0.)сQtotзависетьмущений.(*о)>УоУодвиженияспомощью—Например,Ч=(*о))Чтонкогоснаряда,моментдействоватьпрохождениявсобойточкезадачвоз-малыхх0—некоторыйнеекаждойснарядамалыйх0{t0),траекториюдвижениевчерезэтойвоз-источниковразличныхтеориякривуювспыхивающихt0ука-параметраотугоднопредставляющуюимоделироватьисточников,вилирассмотретьможновре-действопеременнойаргумента,решенияприменимакогдател,t0z0,со-продолжаюттакихконструироватьтонкихаэродинамикиу0,моментыразныекакпотенциаловсложенияможнох0,по-рассматриватьпомимоещескоторыхМожновремяпостояннойисточникирешенийПользуясьуравненияв(Функцияможетпомощьюмущениякривой.уравнениесуммарешением.вкоторыхнекотороевидаQtвA7.6),в20,у0,иинтенсивностьюзанноговолновоговидах0,вспыхиваютразличноговатьрешениязначения.различныевокупностьего80,дей-начинаетпоэтомуявляетсяпририс.Волновоеz0.у0,решениеt0моментвуравнением,такжеуравненияЭтографикомопределенах0,с координатамилинейнымявляетсяволновогожающихQ (aot)которыйфункциячтоA7.1).уравненияволновогоусловии,снарядаэтойточкепродолпромежу-иг17.§ДвиженияВвремени.току0(t0)у0=иz0(to)движениявозбудителя—217возмущениямизаконтеладвижениязакономх0возмущений(?0),х0=можноПриисточника.подвижногосжимаемойдвижениявозмущенногопотенциалсредыформулойопределитьможномалымисслучаяхнекоторыхz0=сотождествитьэтомrasatФ$ tp-dt0,=огдеф*мыеввравенствомопределенокаждойточкеtмоментt0,=моментвмущениясферыностьг/о*гболееподробно«о.РассмотримщенийвозмущенийВесьмаUo.существеннобудетисточникасскоростьюа0)(?/0>РаспространениекущенийотдозвуковойЭффектДошшера82,этойв'негов^ог^>Мъдвинетсярасстояниех02.наскоординатойвмоментt01вМхобгонятиОтметимточкесферыповерхностикеотособенностиследующие(rtвозмущенийпрямойдозвуковойсщеннойсреде;самположений,товсяисредапередеслиих01).—картинывдольдвижетсяотпоисточникомвозму-ужеВо-вторых,егополо-предыдущихизпосланныеисточникзадодвижущегосявозмущенияизвозмущения,М2точ-вцентромвозмущена.источникомобгоняютвсегдасрассматриваемойисточникомпередпосланныежений,х02=онпро-точкувa0Во-первых,иjf01—распространятсяt01)источника,источник,средавозмущения,отскоростью.обгоняютточника>—времениt02находившегосяt01—(t02МХМ2=моментвременипопадетисточника,t02времяrtрадиусаввозмуще-всесосредоточеныдругойина-находитсях01,tol)Uo—источникраспространениядующихдолго,ВозмущениязаМх,{t02некоторыйтакженекоторыйпря-скоростьювкоординатойпромежутокзадозвуковойисточниквремениВозьмемИсточник^01-Пустьа).t01смоментМх.точкеже=этотдвижущегосявдольжидкостимоментполяизученииисточника,массе?/о<ао(рисдвижениясверхзвуковойсоипостояннойсчальныйотслучаяхнаотточкенияа0)бесконечнойвскоростью.распространенияв<постояннойскартинасначаламойвозму-прямойразличной(Uoточкевраспространенииочтоповерх-центромсвдольважно,воз-собойta)задачурас-такогокаждого—Остановимсяисточника,п^ГсСостоХой(tвозмущенийвоз-проходитt^>t0времениt0 представляета0=дозвуковойскоростью.возбуждаеснарядГраницадвижущегосяисточника,откоторую^>tрадиусаВозмущения,черезмоментыпространстве.временивпространяютсях0,вA7.6).z0,х0,у0,последующиедвигалсявозмущена.егобесконечнопосле-ис-218Гл.В-третьих,картинаисточника,движногоГидромеханикабольшуюрыйзав(см.нимисточниканаблюдательчтотом,ПоследнееРаспространениевзвука.Землиотисточникжающийсявниякороткимральныхлинийисточника,отвеличинупрянойсверхзвуковойвВозмущенияt01сферывмоментрадиусаМг,М2первомt01прямойдвиже-случае,находитсяа0>tot(jf02—A>i)cцентромМгточкевt02=какмоментвt01скоор-будет—*oi)-источник(t02врасположенноговремениско-Пусть,источниккоординатойxO2=xol-j-C/oмомент=движуще-сверхзвуковой83).(рис.а0tсраспространеисточника,со^>источника,вrtкартинувремениточкеотточкеввремениВх01.находитьсяUoискоростьюдинатойспект-скоростиотвдольростьюпостояннойстеперьгосявдольдвижущегосяболееотклонениявозмущенийниявоз-мущенийотклоне-даетЗемли.ИзучимРаспространениевеличинеопределитьможноприбли-каксветасоответствующейПоотносительнозвездыниясоответствующихвремятоспектра,частиволнам.световымудаляюотклоне-даетлиний,висточникфиолетовойсторонуподвижный,длины,подвижныйзвукуда-позадизвезда)спектральныхЗемлекАналогично(например,большейволнамслышитзвука,стоящийсветакрасныхсторонусветовымдвижу-скоростью.источниканаблюдатель//,чемисточникаляющегосяисточника,отдозвуковойподвижноготона,высокогониявозмущенийпостояннойсприближающегосящийсякото-впередиб)82.щегосяболееобстоя-Допплера,стоящий/,а)Рис.81),имеетзвук82, б).эффектназываемыйтакзаключаетсявпередирис.по-распрострарис.(см.источникачточемчастоту,объясняеттельствооткартиненеподвижногооточевидно,несимметрична;возмущенийраспространенияпротивоположностьввозмущенийненияVlH.моментповерхностидостигнутвточкеМх.Всилуг17.§ЧгВозмущения,t0183.Рис.источникомt02,РаспространениеповерхностейвозмущенийtOi<t<(см.83),рис.иотисточника,очевидно,движу-радиусовгМточках(х0)будутвозмущенияэтивседостигнут,скоростью.сфервцентрамисвременимоментыjf02сверхзвуковойсоответствующихt<M,времязавмоментвпостояннойсщегосяисточникомгх.меньшиеи219возмущениямипройденныйпуть,а0,малымиспосланныебольшиеt0,газабольшебудетЧъ—^>Uoчтотого,Движения(jf02=(х01to)ao,я02)—<<х0оставатьсяпозадиисточника.Такимсредаобразом,сверхзвуковойА, стоящий«неисточника,мущений;онТакимиJ.,МахауголJвременикотороговершинаностьгдеотt02.невозмущенной,ловинычинечточислаМахарастворагМаха.—равенДействительно,Пконуса,поверх-боковаяа=а0(toi1поУоМСинусобратнойt0),—областьвозмущеннуюМахаMMпроизвольныйврадиусовконусомU0/a0.источ-постояннойкруговогоМ2,точкесфер=сдавно,отделяющийконусаотдвигатьсявконус,Мсовозмущениявсевнутриназываетсяугларас-движущихсязаключеныогибающейЭтотмеждуисточников,начавшегонаходитсяявляетсяt0 <^источником.различиебесконечнобудутпосылае-скоростями.скоростьюjf02воз-сигналов,скоростьюотника,сверхзвуковоймоментскоростьюисточникзвуковыхвозмущенийидозвуковойОчевидно,сонаблюдательприближаетсянемусверхзвуковойфундаментальноеимеетсясверхзвуковойКонускслышатьсообразом,пространением„чтоможетнедвижущегосяисточника,невозмущенной;сосверхзвуковойдвижущегосязнает»,движущимсямыхвпередиостаетсяскоростью,впередиапо-—вели-220Гл.Этотуголt01,тоt02МахаXМх.На0,поверхностьповерхностьютеорииразрывыдавлениявообщенеподвижнойскоростиРаспространениеЕслисигналовнаскоростьюмущенийМ2,точкетольковМахадвижениесредыдвиженияизменятьсятольколежащихвнутрипоска-вершиэтимпередПараметрыUo.потокасверхзвуковоговвозникающихМахаконусаисневозмущен-возмущений,точкебудутапотоку,скоростьюповерхностирассматриваемойввоз-рас-Махапоступательноеточкеотисточникпотокеконусапостояннойпрост-источника,отвнизсах,сверхзвуковомпроизвольнойвсредымогутосиместоиметьвсесверхзвуковойпостояннойВозмущенияв83,рис.скоростей гзаполняющаясреда,расширяющегосябудетнаполеповерхностивнутриМг,точкеконусомповерхности,изображенноеспокоиться.взыватьсятои0,отрицательнойвдольконуегоктечение,двигатьсяположенногоках,Очевидно,постоянноеттбудетUoбудетранство,разрывам,производныечтоскоростьихзвука.—ноеслабымнонормальнаяналожитьпотокахсверхзвуковыхдругихко-невелики,характеристическогосреде,равнанавеличиннепрерывны,разрыв.терпятобщемрассмат-рамкахповерхностью,соответствуютфункцииискомыепонойиповерхноститочновбудетповерхностьХаракввсрасширяющегося18.РаспространениеконечнойповверхВниенымипредыдущемслабыхисводилисьволнплоских(волныамплитудыпараграфевозмущений.кволновомуРимана)Уравнениярассматривалосьдвиженияуравнению.распространебылиточ-вершинойпотоку.§t).z,у,являетсявозмущений;скорости,поверхноститакиепокоя,ф (х,различными=сМахаконусразрываэтарешенияхарактеристическимипроизводными.частными—распространениясадвафназываютсясцентромссостояниюрешенийсвойствамиуравненийрасполоконусаt01)—сопрягаютсясопряженияаналитическимипределекоторыхкоординатам(t02а0движения,поверхностириваемойторойбудутповерхности=МахаконусавозмущенногоПодобныеповерхностямитеристическаяслучаеrtмоментвисточникачастьюсоответствующиесостояниюиотрадиусауравнения,Ф=поSXповерхностиволновогонавозмущениясферысверх-например,ограниченнойчастьюесличтоначалось,области,иточкеВвсеЗаметим,Маха.угломмоментвГидромеханикаисточникавнутриженывназываетсяадвижениезвуковоеVII .линей-§ 18.РиманаРешениеба^™0Дд?и^ийплоскихВсистемыслучаеотосивдольвозмущений(алениетакжеволнеявляютсямогутбытьифункцияминошений,несодержащих(например,иВыпишем(р),и=рнелинейнуюидеальнойженийОнапроцессов.системуизсостоитследовательно,и,другад.).уравненийtвременидви-баротропныхЭйлерауравненияO,=дхрсоот-одномерныхслучаев'видевниA8.1)v''баротропностиусловияадиабатическихслучаевкотороеA8-3)/ (Р),=РвпроцессовгазесовершенномвидимеетрАСистемауравненийтеченияуравненийдлясимостистиA8.3)ногогазаA8.3)ротA8.3)решений,возможнымсобойвида/ (х +уравнений.плоскуюaot),частицсистемуволнукоторыедля]иллюстрациичастногопримера.игазаотэтойрешениеимеютх+aot,системы,обобщениемявляющеесяместодлязави-рас-зависимо-движенийтольковнижедвижениязависящихнайтиилюбойприкачествевуравненийдвухскоростиПроводимыеt.говоря,адиабатическихибаро-условиясобойрвременигаза.учетомрассматривать'далеесистемазываетсяляющееитольковыводовимеетA8.2)плотностиСлучайбудеммывсехспредставляетвообщеВыписаннаянеA8.1)хр.A8.4)полученныхA8.4)для—определениякоординатысправедливы,отсужденияApr,-=одинаковаяпостоянная,—тропностилинейныхдав-такойнеразрывностиуравнениянийaotжидкости*L+I^гдет.всехвкоординат,идхи+друг(р)сжимаемойдлядвижения)хнир=распространяютплотность,толькоявнобезкоторыеодинаковойфункциикаквыраженысоответство-чтоСкорость,а0.характеристикидругиезавися-aot,формыискоростьюрассмотреливолнам,своейпостояннойсх±хпрогрессивнымизменениясямыуравнения,тольковаловолнамиволнплоскихЩиегазаплоскими221волнволновогоРешенияидеальногосРаспространениеприближенныхсовершен-A8.1)—ноока-представреше-222VII .Гл.БудемA8.1)искатьтакиеA8.3),—толькоГидромеханикачастныедляплотностит.р,гдерA8.1)(х,A8.3)Вdudpdpdt¦doэтичтоI_du71\I,Idu1dppdp}_^_doXp-dp-)-di;rA8.7)нийвидаиТакими,и=образом,следовательно,ненийdp'согласовыватьсямеждуA8?\duвыполнятьсядолжно•того,дляреше-существованииопредположениевыполнялось.A8.7)согласноимеемфункциякакинайденаДляРи-волнслучаеинтегрированияскоростиотA8.2).—врнезависимоA8.1)движенияIdpp^скоростьбытьможетмана(р)I0-будутобязательновышеп'dx/-.1сделанноесистемуравенство«toРавенствочтобы\ \ dp*=уравнениявыполненоРимана.A8.5)видеdp,+двабудетI.*,-w+\uесливсоответ-волнамипредположенияпереписать^_^_Римана;называютсясделанногоуравненийсистемырешенийдвижениярешениямможноОчевидно,собой,решенияназваниерезультатеуравненийA8.5)и(р),=частныеносятэтимствующиеТакиеt).р—функциейявляетсяие.и=уравненийсистемырешенияскоростькоторых(р)иурав-будемиметьj—;^,A8.9)ДляплотностиопределенияA8.6),уравнениялинейномурвкоторыеЭтоуравнению.|1иможетпокаиспользованиябытьсилууравнение=%ввиде+(u-it)использоватьможносводятсякA8.10)аМр)изодного«)|Jне-одномуобозначенияпослетолькопереписано(х,A8.7)=O.решенийA8.9)A8.11)i§ 18.ВведемвРаспространениерассмотрениевеличинусимеет,котораяочевидно,A8.11)уравненияпространенияВсамомделе,A8.12)+а,и=размерностьбытьзначенийможетпостоянныхследующем223волнплоскихскоростикакплотностирас-скоростьр.A8.11)уравнениеоснованиинаиистолкованаможновпереписатьвиде:dp(x,t)dp_dtrdtdxdpdtdxn__гдеdx_dtАналогичноСогласноможноA8.10)искоростьвеличина(х,риа.—баротропныхдляплотностиплотностиопределенияравнуюс,сфункциейизвестнойявляетсяДляирассмотретьA8.9)цессов-c-прор.t)нелинейноеимеемуравнение%ПодсчитаемдвиженийсвеличинуИзгаза.Фс(р)ц=Отсюда+ачтофункциямихарактеразависимостипроизвольнойкак(р)-у^т]+скоростиа"Y—j-p(Y-1)/2P(y~1)/sяиотсрперемещаютсявозраисследованиердляпровестиможноA8.3).рплотностизначениявA8.14)const.монотонноплотностиотconst,+Аналогичноер.а+являютсясплотностипостоянныерсопространствескоростьюскоростиис,можночтонаписать,Отсюда1^Г±=зависимостиТаки—иПY~M=видно,стающимиадиабатическихслучаядляа,A8.13)0-=-fи=совершенногополучимA8.4)с(Р)-?+послеполучиминтегрированиях=U(р)+F(р),A8.15)224Гл.Fгде(р)VII .Гидромеханикафункцияпроизвольная—плотности,с(р)например,определяется,A8.15),ФормулыВВполученном]решенииидругиепараметрыотicxt-\-гдеиплотностьиСгВволну.Скоростьипочастицамразнымнийкакпростыми(свправоныйнатетточныеДва—а.дляволн,либознакараспростраположительном,вНайденныех.осивраспростра-илигазачастныенелинейныхрешенияуравнечастодвиженияназывают84,ития.Скоростьмырсрволнуубываетсслучай,газаскоторойтакх) ДляилиизменитьN2всехпоследующихвремени.движениюе.таростомсближаться,тепримем,выводов.возравсестановитсявсечастиубывает,чтолюбойпостояннаявко-кактаквпостояннойтовкруче,Римана,волныволныПрибавлениеРи-волныволныстановитсяе.убы-ирчастьраспространениираспространениинулю.течениемсрастетт.будутт.равнапрофильпоэтомур,ссжа-волнузначенийсменятьсясжатиярассужденийупрощенияположительнаимееммыотсправаадиабатическомур прииаихсжатия,волныразрежения,приплотностьбудетВолнаNtточкипрофильволнакакростомрас-рразрежения,скоростьплотностькакаплотностьопределенныхкогдар.изображен-вид,Мточкиподобныйх),распространяющейсяплотностируменьшениемввмо-РаспределенияимеетвеличиныплотностиРассмотримхотимеемотсовершенногоотрРиманараспространениязависитраспределенияПР°ФИЛЬ'Слеваа.плотностьплотностиволне]фиксированныйнекоторыйввРемениплотностиа)-\-и=хМможетскоростьрешениямПустьростомточкикороче,времяторыхвозмущенийи—а;равна-faментрис.сстает,построенноеперемещения=пространрешениеволнами.сРГти„мана,(фазо-всмыслесоответствующиедвижения;ваетэтомимеемкоторойвточка,передвигаетсячастицполученыфункциирзначениянаправленияхотрицательноме.т.аилисотносительнодвиженияне+с=следовательно,значенияфиксированныескоростью.двумсоответствуютанеявныекакпостоянные,—имеютравнавозмущенийвдобавоч-плотность,определенногосхсобойняющихсялибофункциейнекоторымнайденысостояния),представляетненияэтойудовлетворитькаждогохарактеристикас постояннойпространствеРимана.решениедаютпроизвольна,Риманас2,скоростьстве(р)теченияДляt.иваяA8.14).условиям.частным=FA8.16)A8.14)иираспорядитьсяможнонымхфункциярешенииэтомравенствомA8.16)функцияаи+о=A8.14)кс(р)§ 18.N'tточкиJVaиРаспространениеразрежениятическойточкиt2,сколькозначенийвкогданекотором(см.рволныСнаблюдатьсябудет84,рис.матемамоментатакогохместеплотностирис.наступлениевозможнозрениявремени(см.положевсепрофиль84, б).аудлиняется,раздвигаются,становится225волнплоскихв),не-физическичтонедопустимо.Ясно,ствующеетачтооднозначноеволнеРимана,t,времениа)профилькогдаРаспределениев фиксированныйвремениможет^отхвt9) Нарушениераспределениятолькооднозначностиt,моментмомен->tотрхjs(x)дозникноденияуплотненияМоментплотностидоплотностиб) Распределениемоментсоответ-решение,непрерывноесуществоватьраспределенияскачкаjo(oc)д)84.Рис.приобретает8Л.этогоКакСедов,том2волны(см.касательнуюопытРиманадолжносжатия.84,рис.итеория,бытьвзамененоНа-г).Риманарешениенепрерывноевремени,показываютрешениеИ.римановскойОпрокидываниемоментасилу.теряетнепрерывное""уплотнениявертикальнуюсчинаяСкачокэтомслучаеболее226VII .Гл.общимразрывнымОпрокидываниеГидромеханикарешениемсоволныскачкомсжатия84,(рис.уплотненияприводиткпоявлениюд).скачковуплотнения.Такимобразом,волныеслисжатия,будуттельнообразовываться,возрастаетпротяжении,приввозникатьвнепрерывномвыдвиганиимогутвозникать,Приссвязаныпослеволна^Риманардет,A8.8),отпостоянной,т.будемрA8.10)иметь7АВи—общедругойтакжекакпутемможнораметром,связаннымгазакасательнойкнокплоскимиоднимплотностью,во-Такимтакомволн.опрокидываниюРиманамоделяхсприможнопри-некоторыхвсилиадиабате.приближенно,волннекоторымрассматриватьможноопределенооднозначноссовершенногоA8.17')движенийсостояниеA8.17')УравнениесложныхДругихдлядеформированноеA8.17')простыхнепосредственноменятьA8Л7)°тенденцияТеориюРиманаволнахурав-процессадляважнаярдифференциальноеуравнениетеплатеряетсяоснованиина4-|-.=Уравнениепрямой,адиабатузадаватьбу-получает-зависимостивидапостоянные.какснайдемпроизвольныепритокомсреды.уравнениеприближении/(р)=рассматриватьподходящимэтомушA8.17)кото"опрокиТакРимана.скоростьслучаеопределенияпростоеуш+4интегрированияможноВотысканииПРИэффектсжатия0.=дляргдеdpвыводы/ (р).обместоеслинапример,следующеенение:Послеdelе.A8.12)ииметьволныдыванияминуснаправ-f (Р).=Рбудетне=задачузависимостиРоизнакомПредыдущиепоставитьТаК0Йпосту-сяста-измененияфункциивидомМожнопательно0сорешениясилу_перемещаетсяразреженияразреженияпротивоположное.нах_которой*газомскачкиволнывторогоосиапрофильсвоюсохраняютсущественнозаполненнойизмогут,какеевсемнавозникающейпологим.использованиивыводыленияволныпоршнятакболеевсемонотонноволны,уплотнениябудутнеРиманаволнеслучаевСкачкиобяза-Разрывыраспространениянапример,трубы.всевучасткисредыуплотнения.плотностьнаправленииимеются(невязкой)скачкикак,новитсяРиманарешенииидеальнойеслидлиннойневпотокесплошнойй средыволнами,когдапа-переменнымикогданапря-§ 18.жениенаплоскостискостииопределеноРаспространениеплоскихволныфазыдеформированным227волнэтойкперпендикулярносостоянием,т.плое.плот-ностью.маВчастности,внелинейнойтеорииперпендикулярнымиволнами,пользоватьэтихкаккогдаперемещенияпа-нетнеобходимостиис-величину,искомойкачествевсвязанныйвеличиныспособомизвестнымСоответствующиевидоизмененияКакилицентрированныеРиманаволныузнать,решенияИз(см.гл.VII,1)т.сзадачтеорииодвиженииавтомодельныхволнами,плоскимидвиженияхкогдааргу-переменныеx/t,комбинациивтолькоиско-автомодельностьвчтоможноразмерностиместовидеть,t входятипомощьюимеетЛегкохкон-присреды?когдаслучаи,ментывос-Риманарешениисзадачустановитьрешения.необходимогдерешением.постановкимогоикогдапользоватьсяструированиисплошнойе.т.имеюткогдаформулы!местои,(х\uof=будет[-jииСледовательно,такиеРимананамиFнакаждойвол-комбинациямирешенийсоответствуютнулю.равна(р)случаю,когдаСоответствующиеволнами,центрированнымиxtплоскостиявляютсядвиженияволныназываютсярешения,•(р).гладкимифункцияA8.15)формулеРх\(—JРоФ=автомодельныеавтомодельныеноРи=кусочноилиРимана,вплоскимиочевидны.Автомодельныевснеизвестнуювзятьпараметр,плотностью.Риманаосновнуюможнодругойх,приложенияхплотностьсосипримени-движенийдлякплотностилюбойнепосредственноупругостиВх.осираллельнывместоРиманаволнтеориятакпроходящейпрямой,черезкакначалокоординат,величиныиВтакжеопределяетличныхикоординат.Риманательнымирслучаепостоянны.припрямую,иОчевидно,чтопрямыепостоянныхнеявляютсяс(Поступательныепримерами(р)проходяттакойкаждойвдольA8.15)соотношениеFеслисемействасреды.простейшимиэтирнепрерывносклеиватьдвижениемиоднакоэтогор прямыеможноявляютсяобразом,иобщемconst,=—решенияхарактеристиками,покоемФ0,топчерезпрямойилиираз-началосрешениепоступа-движениятакжеРимана.)Такимирешения8»228РиманаможносдляРиманапостояннойгазвпокоились,вообще§ 19.разрешимостьскоростейциаладвижениеВНавьеточнойВчастности,по-потен-жидкостиСтокса—нелиней-уравненияиоПритрудна.ввяз-аналитиче-решенийпредположений.линеаризациейссвязанытеориинеразтеладвижениисоответствующихдополнительныхмногиеуравненийопределениянесжимаемойоченьполучениеидеоинтегрироватьзадачавведениемссвязановзадача.требуетсяматематическиисследованияхдателадвижениидлявязкойпостановкежидкостижидкостиусловиемлинейнаяуравненийсистемуоэтомдлянепотенциально,волнпростыхнесжимаемойПризадачахзадач,необходимообеспечиваетсяполучаетсяаналогичныхмноготеориюзадачижидкостидвижения.скихиликоторыхвязкойвнутринесжимаемойтенциальностиоченьрешениивышешараЭффективнаяальнойрывности.койОпоршеньадиабатичногазасуществуетрассмотреннуюДвижениеную0t «с;придвижениеприближенномилинаВза->tпризаполненнойтрубы,что0>приложенияхразличныхточномРимана.всег-движения.ПростейшимПриближеннаятела,скоростькинематическийСтокса,жениеd—когданелинейнымигаетсяВэтойчиселлыхп,уравненияхлинеари-о«•К=является—ттлСтоксама/ттUajvvразмер,НавьеоченьдляРеинольдсавязкости),==(Uц/р——приблипренебре-членами.конвективнымиприближеннойдвижениятольколинейныйхарактерныйкоэффициентвтакойпримеромпригоднойзации,Стоксапостановкановившегосяцилиндрическойtпомощьюавтомодельнойпредположении,призадачсбаротропно.Вприопиратьсяаслужатрядавыдвигаемымпоршнем,изгазом,совершеннымизаскоростьюРиманарешениепостроитьгазакоторыхрешениячастности,ВРимана.легкодвиженииодлярешенийконструированиярешенийиспользованиемрешенийрешения,характеристик.особенностивышеосновойдачитакиекакпрямолинейныхУказанныеглавнойГидромеханикаопределитьсемействоимеетсясVII .Гл.постановкевдекартовыхсистемакоординатахуравненийустаимеетвид19.§ПриДвижениеA9.1),ителастидля?оЙстортнТЙв™коГДлянечности.ческойформытерныйразмервсеd,которыйподобныхческиглобальныетолькоотСтоксапостановкевчтоA9.2))где|3а,следующихd,бесконечностииявляетсяА,действующейА1где¦—суммарнойнасилытело.подобияразмерностиииметьдолжныс\координат,токаслучаефор-местообходимонарешитьиДлятело.боковыепришаранетела.коллинеарны.воздействиясилыпо-с\постоянныхопределениянесоот-произвестиилиопытах.РассмотримраспределенииJJскоростии—формыотзадачувдекар-коэффициентыматематическуюизмеренияветствующиеАсиланаскоростипроекции—зависящиесилыподъемнаяA9.3)ixd,отвлеченные—тензора,векторыжидкостиР) U*UkaпостоянногоВ общемВозникаютдвиженииаддитивноопределении4 («,=силы,проекцииосикомпонентыдавлевиидавлениядляформыдавление—видатовыор0теориилюбойтеладляVIIгл.вотносительнотелапостояннаяжидкостиА1Задачарешениепривстороныизложеннойр0,ориентациювходитсочтор\а,чтонесущественнойИзследует,мулыU,Очевидно,—зависятцелом1):определяющиеуглы,—A9.1)уравненийвпотокапараметровпотока.вхаракгеометри-для(системахарактеристики\i,набегающегогеометричерезтел.Очевидно,иможетбеско-взаданнойтелаопределяютсябытьразличнымтеларазмерыскоростьюр0давлениизаданномприоб-набегающимзаданнойсжидкостиUзадач.теланеподвижногопотокомжидкостижидко-конкретныхобустановившемсярядзадачутеканииповерхностискоростейрешитьможносистемынаабсолютныхисчезаниисилы,рамкахприлипанияРассмотримФормулав(лусловий229жидкостивязкостиA9.2),обусловиябесконечностиввязкойьнутрикоэффициентепостоянномуравненийшараприближеннойвтеперьстановкеСтоксагрешениетеканиишаравязкойпо-обзадачиоб-„несжимаемойжидкостью.Изг)откоординат.A9.2)уравненийЗдесьидальшеисчитаем,A9.1)вытекает,чтоA9.4)0.Др=чтокоэффициентвязкостицнезависит230Гл.Следовательно,рсвойствавденномурешениюТак(х,рбесконечности.вскакрмгдешара,тогдаосевойследует,случаеU*p2произвольногоz)у,равенство:A9.5)функции,§ 14.—введеннымвсистемыаналогич-задачизцентрвкоординаткаждойсимметриинап-U*p3,+(х,р3най-кдостаточноследующеедекартовойначалоизиф3,Рассмотримобращаетсярр0.в+04=оочевидноz)ф2,р=прибавитьWPiу,фх,что<*>то=(х,р2потенциаламПоместимрпотокаz),у,предположении,линейная,задача(х,рхв0=Рныефункция.z)Приу,набегающегоравленияГидромеханикагармоническая—функциинульVII .для(х,ptz)у,чтоPi=Pi(x,Psсдругойв<рг,РзИзприводящие/ (x,zzУу1)+A4.18)формулекприменимытакжеслучаеэтом=A9.6)y*);+соображения,стороны,потенциаловдляp3(z,Yx*=даюти—;==•A9.7).равенствар.,следует,Уz1(уж2)+=/ (ж,]/=g(x,к2УУ2)+-У У3 +z2чтоYz*F(y,x*)+VV+z/2),A9.8)где^РаФункциональноетомВсамом(г)деле,Отсюда,полагая|образом,дляположено(I,gz/t\)(x,Pi=yr|ar\хжу,—функция0, a;@,F=г===Xf/~22A9.8)=некотораяпри—?гдеg=у'.+•можетудовлетворятьсякогдаслучае,FX/исоотношениевтолькогДе^""j/=z)'Ф' (г)-верны=(Ух*-|~I/2 +градиуса|Hz=ii=]Az2+.=Ух%у2-\--)-имеемif)+A9.9)z2),формулы=г/2,%(/Е2получимследующего-f П2)ТакимA9.9).вида:z2-19.§ТакДвижениекаклегкошарадавлениеудовлетворяетусмотреть,чтогдеЬиа1постоянные;—Дальше,тоо|з (г)общности,потокаслучаеобправойчастью(Ь~аv=~(I(1R~\а,1х'~+Тг,w.ишарааЛ2+"бит,"iпроизвестнойсv,u,обтекаемогорадиусполучимположимдф=~Ш1T\-?r—аПервые№(т»-тчленыдвижению—jxz-вформулахспотенциаломпотенциалДляскоростиRчерезТЭтоткомпонентдляОбозначимдавлениядляA9.2),Пуассонауравнениястые+A9.12)черезпотенциально-соответствуетопределеннымф,формулойПуассонауравнениюдобавочныхопределениячленовиv1uvA9.12),удовлетворяетобозначенныхэтомA9.11)х.уравнениявВVвыражениеA9.11)муН.+Ро=скоростьх.формулу:следующуюПодставляяопределениичтоосипараллельнаполучимрскоростейприписаныцпримем,бесконечностивдавлениядлямножительивыкладок.последующихограничиваяненабегающегоминусзнакупрощениядляполяЛапласа,функциейуравнениювозможнойединственно231жидкостифункцияявляетсяЗадачавязкойвнутриA9.12),формулахвA9.2)nowvследующиеимеемус-ловия:Дихт.ции.е.и%В(х,у,бесконечностиz),i?j(х,Дг7х=z)у,иДи?],=(х,ц>хz)у,основаниинаО,=A9.12)имеемусловия:и%=и,да»=и?»=функ-гармонические—0.следующиеA9.15)232Гл.Насфереусловия=и=0=v=О=w=wi.щихсяA9.16)Дирихлезадачичтосфереидляобращаю-wx,решения,имеютvl=Wlскороститож-A9.17)a/CR)веслиОбоимдлявзятьсференабесконечности.вудовлетворить,можно0.=обращаетсяигUзначениевиямиv1бесконечности,внулюКомпонентапостоянное=дают¦vx,равныедественнощоткудаоонанульA9.12)основаниина-ясно,вГидромеханикаприлипания0ОтсюдаVII .иимеетэтимусло-гармоническуюигфункцию:гдесНапостоянная.—сфереоткудаДляопределениядхТаккак^к++~-'dzсхдхОтсюдаA9.18)изиФормулыдляАфт0.=A9.19)ч^A9.14)основанииг3оси—образом,спредставитсях,WR—решениеполноеобтеканииустановившемсятокомпостояннойвпо-Т7,скоростьювидезадачишараформул:WRixxРо-l-U,vW3=¦4тит7RU'ах.с—Такимобскорости=удовлетворитьнайдемдавленияраллельной'наrsаиA9.18)—уиуравнениеэтотодаетвид-д-!ду--f=0,wxвиду=приводитсяимееткоторое—=использоватьосталосьаA9.1),уравнениесA9.16)условийизпервое(1(-=¦\ г3Л2\г5A9.20)—)Уxz.па-19.§ИзДвижениеA9.20)формулдвиженияследует,чтокВычислениеФормулыгсопротивленияи,Знаяры.сопротивления.A9.20)\сфере,шедиуса)2представитсясферыповерхность—0нормалинаправлениеСтоксаУравнениязаписатьвязкойвоздействияJ=Отсюдаследует,х2A9.21)у2-f-z2-\-выбираетсявA9.2)R2—(здесь^ЭтодвижениязамкнутойСтоксадвиже-непрерывногоформулавернатаккакустановившемсядвижениипоэтомудляdtобщемслучаепорядкаdQIdt0,=точноежидкостиприближенныхлюбыхприсравнениюпоНиже2*dQ/dt=fcсовнутреннихуравненийA9.22)движениянапряжениях,Стокса.малойявляетсяноскоростей2*поверхностьколичестваи0,величинамималымисоотношениепоэтомууравнениепренебрегатьизме-\ pvvndo.=выбираеммыииускорением,жидкости:движенияdQвторогожидкости.Стоксапостановкенеобходимообъемалюбогоколичестванениемприближеннойпренебрегаетсявколи-уравнениекакрассматриватьможнодвижения,A9.22)==О>dzду'2*,поверхностиобъемконечныйприближениивсоотношениечестваизра-видев~жениидаль-dzлюбойлюбойжидкости,Г"дудхкакивозрастаниясторонуустановившегосяуравнениядлядлячтоограничивающейВжид-Plld5,статическиекакдхвсилу.можнониявычислитьинтегралом:ЛгдеАсфе-поверхностилегкосилацлюбойвначастности,внашарвычислитьпозволяютjнапряженииПолнаянаперпен-yz,потока.jнапряжениякостихарактеристикплоскостираспределениепотокаточкераспределениенабегающегоскорости233жидкостиотносительнонесимметричнодикулярнойвязкойвнутришаратак,чтобырассматриватьможнодлярешенийопределяемыходви-234VII .Гл.Примем20сферы2,охватывающей2поверхностьчтотеперь,любойиГидромеханикавзятойповерхностиповерхностиизсостоитзамкнутойA9.22)Изсферу.*жидкостивследует,чтоA9.23)>nda.2SoВкачестведас2поверхностицентроммипараллельныхосииу(рис.zи85).26ах,A9.23)Формулавнапроекцииосьсвойствниинияосямнахоснова-реше-симметриих)даетPF=ребер,—ребер,размеры—параллельныразмерыпараллельных21Пустьплоскостям.координатнымпараллелепипе-поверхностьсосторонами,возьмемкоординатначалев\4=+A9.24)здесьSxчерезпередняялелепипеда,осикРис.85.объемВыделенныйкостиограниченжид-параллелепипе-домрис.сферой.и85).ВпоэтомувычисленияA9.20)отосновании=Р—2[A-S—-Гди1)dQJdtДляИз-заuvnds,симметрииинтегралыA9.20)гдетолько=наивыборетакомвернонапоточноеграниконтрольнойиA9.25).,осьхпоцентракаквсилуdQJdtпереднейрешениязаднейна2=0.имеемпараллелепипеда.обратитсягранямсферы—к=движенияколичестваповерхностибоковымвсемотvnA9.26)поверхностиравенство-т-9взяттак-Aj+Ро—проекциизнаком,передней=интегралинтегралравноудаленнымпоотличаютсяприpzxрешенияи*иA9.20)грани.=%„+2нуль,гранямвзаднейи(х)Следовательно,ддя—у,ДлянайдемсилдиЬхdw\,.изменения\=vn4.Стокса—иzимеемРххaповерхностныхНавьезаконапер-осяммножителемс(см.zсилыквзятгрань,—осиграням,четыремS3поинтеграловНархх.интегралS3симметриисилупендикулярнымодинаковы,парал-квсемпообозначеныграниперпендикулярныечерезах,перпендикулярнаяS2изадняяиирешения(—х),и§ 20.ВДвижениеформулахэтихчленыприперейдемследует,чторядокконечныхпоэтому—,гдет]членныекэтоприр2хполучим,оо—>-lim\Ь->ООVпригмалости.Изсо.A9.26)имеетоо->-по-чтоpzxd<s0.=A9.25),формулуиравенствопорядокЪ ->A9.24)изприполучимоовыйЬпределувеличинахприУчитывая=кСледующиечлены.высокийболееA9.24)вприглавныетолькоимеютг235трубахцилиндрическихйуказаныбольшихСначалаЪжидкости0иимеетчленыявнопределу1/Z2,порядокимеют/привкоординатыполярные—скобкахв1/Z4.порядок->Sx.плоскостиследующиенеПолагая=ZA.т]Пер-выписан-переходяинайдемоо,ооWтаккак1/3.ПридвижениикоэффициентыdВышенесжимаемойпри=с\с1.изДвижениеСистемащийВA9.3)сводятсяжидкостислучаеэтомIсферысЬ\,причемвязкойвнутридействи-Рейнольдсачислазначенияхформулынавязкойиочевидно,ксоответствуетприменимостиприведенного419,стр.A9.7)мож-1.т.жидкоститрубеВыберемосьплоскостьюхуБудемосибылаискатьичерезрешениявСчерезконтур,уравненийдлин-сечения.так,координатнаправленаОбозначимтрубы.86).zжидкостипоперечногопроизвольногодекартовычтобытрубы(рис.вязкойнесжимаемойдвижениеуравнений2нуля.равныравенсопро-соотзависиттрубахцилиндрическойсечение/->принерешениенесжимаемойцилиндрическихРассмотрим1Границыграфика,пределедвиженииомалыхпри<^усмотреть§ 20.нойзадачаЭтотолькоA9.27')несжимаемойвязкойформулежидкости.(URIv)=новрешенавA9.27')от6я.=былательностиA9.24)отличнымв6nu.RU,=ввшараRвинтегралполучилосьчто—^—членыопределенныйтивлениеR18ut/AtCвыписанныенеанулю,=по2поперечноеограничиваюдвижения,оси236говоря,иначеГидромеханикатокалиниичтопредполагая,z,VII .Гл.иv=О,=осипараллельные0.прямые,—чтопримем,w=f=УгРис.86.ПолнаяизКiвязкойкойтечениюжидкостиуравненийсистемауравненияНавьеуравненийэтомслучае=—-упрощаетсясильноиdwB0.1)иdpdpdxdy1dwB0.2)дРB0.1)B0.2)d"-w,=p=B0.3)„вытекает,непосредственноwwвид:следующийпринимаетП—Из0=Стокса—-?¦всостоящаяжидкости,движениянеразрывностиdiv-yицилиндричес-втрубе.(х,у,чтоB0.4)t)ИЯсно,чторавенствоB0.3)dp17дги>p(z,B0.5)t).можетместоиметьтолькотогда,когдаявляетсяновившихсяновившихсяфункциейдвиженийдвижений.толькоодногоиdwd2wпостояннойtвременивеличинойвнеуста-случаевслучаеуста-§ 20.РаспределениежидкостидавленийтрубыосивдольДвижениеdp/dzОбозначиврГдепостоянная=Такимнеустановившееся.лениеизменяетсяимеетоднозависимостивидикулярногожетоB0.6)вообщеобразом,дав-законуточках*=--5LсобойсенноекнияB0.6),Длядляизменениеопределениядавленийчениякаких-либовгДляопределениядвиженияусловии,чтоt)у,граничное=условиеw0ЕслиСбытьможетнекоторыеiB0.6)ипри•задан.имеемследует/ (х,у)Еслиосижидкостиi0соиввидезаданныеt0)функция.задачаобпостоянные,Reelслучаекон-Еслиtдви-t0=у),колеба-установившихсятрубе,цилиндрической=--трубы.общемопределениядляприf(x,=стенокподвижными.тоу,Взамкнутыхусловие(х,в0.=бытьмогутначальноеi—скоростьzw0несколькихизрассматриваетсявязкойнияхB0.9)тоизвестная—С:контур妫/„,=которыхзадатьB0.о)&w,—неустановившееся,wшениетрубадавленияB0.3)насоставленизжидкостижения+параллельнаянеподвижны,трубыдвижениегдеопределениивперепадприлипаниязаданная,—стенкиконтуртуров,гдеобжидкостиосновании—wгдетрубы.уравнение:-д—иназна-задатьзадачутеперьскорости(x,wследующеедостаточносеченияхдвухосивдольСх,иРассмотрим0ПРеДелешш»"^fскоростидавле-прямойтрубы,видадавленияiперепадаотне-перепадомопределенияполногохарактеризующейе.т.трубы,длиныназываетсяитрубы,осивдольдавлениятрубы.осиB0-7)изменениеединицевдольиперпен-сечения,трубы.[ Величинапредставляетеслитрубылинейномупоt,отвдольzиметьСх,+всехвобудемi,—зависитотзначениеосикizС1интегрированиядвижениечерез-237трубахцилиндрическихвкогда(ioeia"),тодляwможноискатьре-238Гл.Если0;=скоростьПуассонаустановившееся,(х,wу)правойпостояннойсГидромеханикажидкостидвижениеdw/dtVII .удовлетворятьусловиюграничномуобразомкимобзадачазаменой—(-w(x,сводитсякзадачеу)г|э (х,тельно,областиву)согласнои,i|)наОчевидно,Дирихле,w(х,ау)должнаw0контуромС.ПуассонаB0.10),Действи-ви-уравнениюB0.9)длячтополучим,и>,значения^ФB0.13)У*).+СконтурефункцияРешениеаризве-внутреннейобзадачиирешеназадачиопределениисечений,поперечныхограниченоскоростиконтуров,прямоугольного,труб,дляикомпонентамт.эл-поперечноесе-@,vскоростикомпонентыскоростейтензора0,дефор-мацийди.ди.нашемочевидно,случае,„е11=е22=еЗЗ—е12="iе131Эю~2"Зх"_==не-ид.векторавычислитьнапри-концентрическимидвумяокружностями,известнымлегкомногихдлятреугольного,круглого,концентрическимиВфунк-B0.12)известна.задачатрубкоторыхможноB0.11)?-о.++заданному*)+удовлетворятьусловиюналиптическогоПопростойединственно.длячениеу)гармоническойприниматьскоростьследовательно,(*2уравнениеу)граничномуС должнаПоставленнаямер,та-(x,wопределениив1|) (х,чтокогда±-ограниченнойУ^Щстна,у)об2,?функцияфункцииЦ (х,B0.11)функцияЛапласаПоставленнаяС.контуренаопределении=Дирихлеподставивчтодим,B0.9)B0.10)функцииискомойцииconst,=уравнениючастьюДм>=иiтодолжна'6%Z==1dw~2~~ду~'w)§ 20.ЗнаяДвижениежидкостиСтокса—Рцсматриваемойтпг22т33=Отсюдаясно,вязкихнапряженийобъемнесмотрянасовихрявекторРешениетрубыПустьне-длязадачиподвижнойкруглого/wсеченияпоперечногоС,круга(х,wгдетурегУх'2+=С,т.е.значение,у2.приравноеОчевидно,будетУ#2Поместив-\-будемУ)~-^г/2=а,кругкоординатначалоB0.13)условиюсобойпредставляетиметьг2.г|э (ж,функцияу)након-постоянноеприниматьдолжначтособойДирихле,такудовлетворяетнаПо=неподвижнойсечение$ (х,пря-формулеia2/i\i.представлятьдеть,виюгжидкоявляютсяdw.B0.И)=элемента.токапоdwа.у)сивы-движениетрубысогласнообразом,силамилиниипоперечноерадИуСацентрво)=/по-каждогоэтоговычислить1ивыде-уравновешиватьсячто.дви-0,любойТакимповерхностито,=границерассматриваемоеможно1будетнанаw.Каждыйz.dv/dtнулю.будутнавихревое,отзависитускоренияравнажидкости,чтотензорадействующихбудетдействующиеубедиться,мыми;неB0.14)скоростидвижениисил,действующимистирас-•градиентомбезНетрудно-^и-=компонентычтоустановившемсянапряжений,давления,иwвнешнихэлементаделенногоzТ33вызваныт23скоростью,жидкости,вязких-?-,\i=отипривсехВнапряжений.жидкостипостояннойсуммаt13зависятнет13жидкостисгатьсяэтомуленный0,движенияпомощьюиметь=тг;-сxihтензорат12=чтоСкоростьэлемент+Pgij—будемзадаче=-лы=компонентывычислитьлегкодеформаций,скоростейтензоракомпонентыНавьезакона239трубахцилиндрическихвокружностикаквеличинауравнения)иС,поставленнойрешениепостояннаяЛапласа,вышега2/4^,,икакграничномузадачилегкови-усло-240Гл.Определивпоwтрубыфункциюпоперечномуг|э,юсобойМаксимальнаяцилиндрическойЛ-(а*-г*).=B0.15)параболоидскоростейпредставляетраспределениядлякруглойсечениюформулуполучимПрофильГидромеханикаобразомтакимскоростиVII .B0.15)трубыкруглойсечениипоперечномввращения.достигаетсяскоростьтрубыосинаприг0,=причем^шахПодсчитаемобъемныйницуB0.16)Q,жидкостирасходпротекающейжидкости,^.=черезпоперечноетрубыИмеемвремени.Q[=w2nrdr-?- \=0Заметим,чтоQг2)зависитсильнорадиусуСредняя-drг^-=еди-вB0.17).ирасходпропорционален(а"-объеме.т.сечениетеченияскоростьрадиусаотчетвертойватрубыа,трубебудетонстепени.круглойвжидкостиравнаОбщиесвойствазадачипроизвольноговРассмотримрешениятрубыслучаеog„вязкоймаемойсеченияВсечением.этомфиксированнымнойвязкойгдеаПлотностьнертребуется,зятеориичениякактакравножидкостиствасистемувви,нулюИзнесущественны.B0.19)дляполучаются[iускорениесвой-инерционныеB0.19)параметровопределяющихтрубынапоэтомунельоснованиисе-поперечногопроизвольногоформулы:следующие?i—.включатьтеченииееследовательно,комбинации,размерностисечения.поперечногопараметровразмеропределяющихрассматриваемомбезразмернойсоставитьнеподвиж-i,линейныйхарактерный—тевбудуточевидно,|i,a,про-параметрамицеломвжидкоститрубе,цилиндрическойспоперечнымопределяющимислучаенесжимаемой-трубевжидкостиизвольнымчениянесжи-движении„поперечногозадачуаналогичнуютеперьустановившемсяJ<2=й2—,Jl^сР=/с3—-,(AB0.20)§ 20.кх,гдеia?/\i/с2,ш4/^иемногоходДвижениек3трубы—^;ТУбЫРУЛОГ°бынойдляжидкогослучаевкруг-сечения,как1-3—'8впоперечногоцилиндрарадиусаопытов.данныедействующуюнаКРУГЛОГОстороны,необ-случаяхдругихR,силужидкостироныилиборасчеты,надвиженияк3к2,кх,теоретическиедействующая'^ВычислимСила,к—"-а)^какраспро-имеемяк—постоянныхлибожеобъ-итрубыслучаев|хпоперечногорешения,iопределенияходимытаквышекиакруглогоприведенного"-1Дляi,искоростискорость,максимальнаяотсечения,Дляизвиднообразом,зависят241коэффициенты,размерностиТакимтрубы.лойбезразмерныесоответственноскоростьпоперечногоизвольноготрубахцилиндрическихвпостоянные—имеютрасхода.средняяижидкостисто-соIдлиныучастокСсечения.од-количествауравненияизтру-будемIдлиныиаиметьRгдеир1другар2—давлениятельноевычислитьможнотрубы,другойсокаса-стороны,жидкостистороныНавьезаконупо—отдруготстоящихС86).рис.действующеенапряжение,стенку,B0.21)р2)ла\-сеченияхв(см.Iрасстояниина(Pl=наСтоксаdwгB0.15)пооткудагприа=Tт.напряжениеRкасательноее.сопротивлениясилашениеикхарактернойнекоторойB0.22)t<>'=трубыстенкахипостоянно,равнаB0.23)2ла1г0.=КоэффициентомтренияиметьнабудетRКоэффициентбудем-f=orRсилыктренияскоростномус/называетсяотно-р«^р/2напоруSплощадиRЕслибы,занаSкоторуюпринятьплощадьрассчитываетсяучасткабоковойсопротивление,поверхноститрутовслучае242VII .Гл.трубыкруглойдляГидромеханикаB0.21)пос/2tociили,R(dwCXl)/(\x/p)=трубы.метрРассмотренноеПуазейлемтикемалыхниятечений§ 21.ОпытРейнольдса,трубахТурбулентныеследующийРассмотримИздействиемподИзжидкость.тораяструйкатонкаядаетвытекающейходргАворонкитойже,0текущуювытекаетнекопопа-Рас-жидкости.счетзаизменятьа.) Профильб) Профильприскоростейпри турбулент-Скоростейчерезжидкостьподкрашеннойно87)сечения>?>атм—вможножидкости(рис.поперечногокруглогодавленийперепадаклассическийбакабольшоготрубустекляннуюисследова-длякапиллярах.—жидкостиопыт.длиннуюпрактеченийслучаеважнодиаметрадвиженияРейнольдсаизученоНавособенноидиа-—впервыетолькомалого2а=столетия.прошлогоРейнольдсавбылосерединеdаосуществляетсяосновномB0.24)•Rжидкостивчислахприi=pawcpтечениеГагеномивоно^=число—формулекпридемс, 'гдеполучимiaР^срB0.18),помощьюсB0.23)иподнятиясреднихламинарномдвижениидвиженииномРатм87.Рис.опусканияилиОпределяявтрубе,мыувидим,изпочтоНаблюдаятрубе.прималыхсчеттрубызаскоростяхудлиненияi).давленийвычислитьочевидно,можно,заилиградиентвытекающейжидкоститечениябаке,изменяетсяэтомрасходтрубы,радиусwcp(притрубыРейнольдса.вжидкостиуровняосновнойОпытжидкостиисреднююскоростьжидкоститечениемтеченияwavзнаяпод-§ 21.крашеннаятечениеПуазейля.жидкостиУвеличиваяскоростьначнете.удикулярныемешиваниемвтоттрубешится,Повторивбольший,v^,/р,=первая,ченияжидкостичточемжезначениитрубы),RПрикостьбытьRKPбыстроДляСпокойныениясосновноготрубимеютещеназываютсяскорости,течениеВполневкачествеопределяющихнаправле-Беспоря-ламинарными.отпереходкоторыхпринаправ-среднегоосновного=припроисходиткакбезжидкости,отклоняющиесяичтоестественно,турбулентномуприкрити-поперекбеспорядочнотурбулентными.RRKpжид-условияхтечения,движения,размывсяперестаеттеченияназываютсяленноготак1200—1400.неустановившиесяламинарноеRKp>течениеобычныхслоистыескоростиса,е.ирадиус—неприпорядок(сРейнольдсаRперемешиваниядвижения(rжидкостивимеетr/vчисломавсеходномприwcp=т.кроменое.Rокрашивается,жидкости,неед.)т.струйканерегулярные,отитечение,круглыхрежимавосредамикритическимдочные,частицыопытете-позволя-различныминефтьюупорядоченныенерегулярногоинтенсивногонас-скоростинарушениепроисходиттеченияРейнольдсачисловязкоститрубевэкспериментовчтослоистоеслоистым.ческоеподобныхподкрашеннаятрубешср.имеющейсреднейслучае,RKp.имееммывкоэффициентжидкостиназывается<ижидкостискоростижидкости,Рейнольдсачерезваетсянару-неокрашеннойидругойУстановить,числакотороеобозначаетсятакжепотомперемешиваниевпервомэкспериментахмаслом,воздухом,томпере-первая,перепадаскоростяхмалыхприкинематическийслоистоготеченияводой,сперемешиваниеслучае,первомнатрубе.Серияетиперпен-вшср^еСвдТл^Гарныетурбулентныевтрубойбольшей,причтокотороеслучаечемзаметим,тупитичемv,чемокрашеннойпервойсиидиаметра,течение,меньшей,опытжид-окрасится,соответствующегоперемешиваниевовторомприначиная,жидкостибольшегоустановим,мыслоистоеОднако,жидкости.наступитвсейдвижениетрубу(значениеопытначнетсяичто,подкрашеннойтрубескоростивозникнетбакужесохраняется),будетопятьирешениюнаправлении.кпроведядавленийвсоставляющиетрубы;поперечномПодсоединивизаметим,струйкавотру-слоистымвышежидкостьосивсейпоспокойным,мыскорости,появятсякпротянетсябудетwcp,размываться,частиц243жидкостирассмотренномузначениякостиструйкойтрубевсоответствоватьхорошонекоторогот.движениятонкойжидкостьбе,будетсТурбулентныеВвышеописанномвпереходиттурбуленттеченияламинарногочислеопределенномпараметровкРейнольддвиженияв244Гл.вязкойцеломVII .Гидромеханикажидкоститрубевг.которыхизможнонациютечениятеченийвнабольшойдвижениямзвездахтеориялентномренноепоказывают,узкомрезкослоестенокпадаетустойчивостии(см.нулядотеченийв(ненебольшихнейбакактрубуRKp,иможнозатянуть,нарнымдобиться1400,бакекгладкиеибылотечениеРейнольдса,числахоченьвблизкихРейнольдса,ламинарногочтобыорганизуяизвходачувствительнытого,используяжидкостивнутренплавногочислачемвибраций,спокойствиее.сохраналичиишероховатостейвесьмабольших,привнешнихваят.теченияприСуществованиефакторов.родавозмущени-режимзначенияхтеченияламинарныетакогонетечениягтурбулентный)недостаточноПрит.д.вскорость-вибраций,трубы,толькозначительноламинарныенебольшимкввнешнихтрубыРейнольдса,RKD,КР'переходитповерхностивб).числахока-wиприлипанию,Ламинарныйям.няетсяста-обменускоростьсечению87,рис.тур-иперемешиваниюсредняячувствительнытрубеприскоростейблагодаряменыпихламинарныхтоичивоститрубы,Принеус-сечениютечениях;всемупоРассмот-параболикруглойспотрубыпоперекпостояннойтурбу-призакону.распределенияблагодарявдольижидкостискоростейвытянутым,околотакламинарныхпрофильпочтидавлениесреднеетечениепридвижениязываетсятурбу-облакахлинейномупотолькоменееколичествомразлич-кламинарном,распределениятеченияхновитсяприпараграфеместоимеетвкосмическихвчтокакпредыдущемпрофилемческимтрубыбулентныхповерхнопроявляетсяустройствах,—пог-вплазмытехническихраспределенодвижениивнавремядвижениямтрубынеподвижнойосиреках,—последнееводо-вводывд.общаяидвижениеводыастрофизикевт.иОпытВдвимашинахгазовыхмасштабовп.иатмосфере,витурбулентнымлабораторныхлентнымтурбулент-примерамигидравлическихт.Многиеприложениях,воздухабольшихитрубах.втрубах,телахкинтересродатолькоижидкости.техническихвдвижениекораблейсамолетов,ноговнефтепроводах,вслояхстигазовдвижениявязкойТипичнымиаэродинамическихвнефтираничныхОбидвижениеичастности,проводе,неприродеслужитькомбикомби-режимаместовжидкостейи,иимеютмогутжениеэтатеченийтурбулентными.являютсябезразмернуюбезразмернаяоднухарактеристикойвстречающиесяныхпараметры:м'ор,рассматриваемыхТурбулентныетечения,р,ПоэтомуосновнойподобиякритериемвзятьтолькоРейнольдса.являетсянацияМ-,составитьчисло—можнотрубы,оченьвлияниюрежималами-избегаяобеспечиплавныйТурбулентные§ 21.Еслитрубу.ввходламинарногорежим20порядкасаможной000.удаетсяТакимобразом,неустойчивоститойчивостиГагенатеченияТечениетрубах.щениявременитечениемсэтойвбезПуазейляссвязитем,R(добольшого20000)устройствами=специальнымисотрубахотбинацииконечнойусловийусловий,этихтрубе,пораспространяясьтрубысаОпытитеориядвижении(см.§ 22),взначительномаетсямножествованиюламинарногоразомбольшогоисследованийвыигрышагладкостиУвеличениесобствуеттурбулентномснижениюзатягиваниюобтеканиисопротивления.поверхностиламинарногоповышениеполучениясопротивления.теладорежимагладкостиЗатягиваниеэтимРей-числеслоепредпринимериснижениивтелажепограничномссвязислояпограничноготомиразработкидляхаракте-трения,поверхностинаодномламинарномВпритурбулентном.призначение.практическоеприменьшечемРейнольд-числатренияжидкости,тече-режимазначенийвязкоготелатрубы.концахкоэффициентчтоконцахнанабольшоеимеетсопротивлениепринольдсабольшихдопоказывают,ризующийквозмущенийламинарногонкячто,влияниюусловийЗатягиваниеком-итем,подвергаютсявзаимодействиеввидассвязиввозмущенияотражениепроисходитвозникаетиоттрубыначалевигораздоустойчивостивозмущенийзависитсущественноконцеввсе-выходномзадачобзависимостькаккоторыхПуазейля—такихтакнаибовизадачтрубах,трубедлинныхввремениработы,Гагенаисследованиеивсвязанноговходномисследованияипостановкитруднеебесконечноитрубу,втеусловийПостановкатрубы.ченияхтесновоможетдостаточновходатеченияучетомссуществованиеперспективны—трубыПоэтомутрубах.устойчивости,устойчивостьконечныхсущест-Гагенаконечнойплавноговидимо,и,интереснырассматриваетсялееоченьтеченияназапасаподробныйтрубыдлинныхуказываетопытчтовозму-этиболееОднакограницахнереальновозмущенияеслидлинанаусдлинныхмалыенеустойчивостиусловийвтолькопроявитьсяеслинеустойчивым,бесконечнаяРазвитиетеории.учетаинтерес-бесконечновнарастают.чтопоказывает,анализвеннаужеисследованиюПуазейляиЭтотболееновыепосвященозатухают,временикакизученияустойчивым,являетсятечениеммыс-киПуазейля.—появляются—идеедвиженияинтенсивногоработ-воз-отрубевГагенаобластиэтойвпорБольшинствоработы.ныеприходимтечениясихдоктурбулентногопредметомилет,Рейнольдчиселдомывозникновенияявляетсястазатянутьтечениянеустойчивостирезультатавопроспредосторожности,мерыэтиламинарногообъясненииоблисвсеприниматьтечения245жидкостидвиженияоб-такимзеркальнойобтекания;такжеламинарногозатяги-поспо-приприводиттеченияГл.246обеспечиватьможноизкостиспограничногоЭкспериментальножущуюсяпроцента)садок)втелаотсосателажид-специальныечерезщелиизменяетнеПоэтомустенок.теорияпроявитьсягутМожновенныописаниядля__движенииитем,тиц.ЖИДКости,каксплошнаялекул,'характеризу-котораяскоростейнеустановив-скоростейполеотдельныхТраекториитурбулентномтела.привысшейныеизмерениячтоизменениядвижениидляностисвременипространства.течениемделеннойточкенерегулярныедвиженияхродадвиженияопре-основноевна^большойкривыеслучаечастицжидкостиt.Наплотностиплавная—пунк-накладываютсяПодобныечастоты.наблюдатьсяизмене-некоторыхпритакогорегистрируютвтечениясложно,точкевременипиния)режимавесьмаданнойтечениемрисункеколебанийтурбулентногодляизмене-изменениераспространениидляхарактерноевсzсейсмографытелах,твердыхпригдетеченийтирнаятакжевид,88,рис.плотностиу,двиимеютвременидано(намогутвВх,пульсацииплотностинияниеплот-то,параметровтурбулентномпривотурбу-навсехтурбулентныхизменениевТоч-указываютпримераХарактерноежидкостиизвилисты.изображенийтечениймо-частицстепенижении88.rимеетявляетсятечениялентныхчас-рассматриваетсяrсреда-континуум,-Рис.мо-несущест-истинныххарактер,состояткоторыхизполехаотическоенапоминаетдвиженияхкоторыедвижениячтоютсяпульсационныйнерегулярныйшимсяска-движений.Турбулентныесплошноймоделяхпоропределенносреды,ламинарныхописаниядлясихнуждаетсятурбулентныхприможетдоСтоксавполнесвойстванекоторыенообтекаемыхпринятая—неламинарномвблизиНавьеобластяхнекоторыхвивРейнольдса,случаежидкостивидоизменениях.чтозать,этомввязкойсущественныхжидкостидвижениячтоясно,движениявязкостичиселзначенияхстен-количествахскороститурбулентногосвойстванавлиятьинамалыхраспределениималыхпридвижениитрениястольвплотностиназаметносказываетсяжидкостисопротивлениеприсадок(при-веществдвижениенауменьшитьидви-долейсотыхполимерныхповлиятьслоев(домалыхспециальныхДобавлениетрубы.введениемчтовесьмазначительнопристеночномвустановлено,жидкостьколичествфактическитурбулентных'JFвнутрьбыловблизиможнокахсредысоответствующегопомощьюслояпоры.илиОГидромеханикаVII .изучатьда,вообщеземнойкоре.истинныеговоря,и§ 21.неДлянужно.пическаяточкаПриностиТбуквамиДляосреднение).вконтинуума,системыристикдвиженияреннымразделамединогоподходаченияразличныхличныетеориивообщеспособысизу-3показы-движения,величин,систе-являютсяониэкспериментальныхпроведениеметодовглавиз-необ-которыхпредложеннойрезультатовтеорииданными.опытнымиспособыПустьt.АтурбулентногопространстваТогда-1[(х,осредненияу, z,истин-t)некото-—движения.можносреднеетLдляполнойноточкевременимоделеймгсоставленияхарактеристикапови„возможныефиксированнойАтеченийдвигателяхарактеристикдвижения.истиннаяреднениеравноразработанывремядвижениидлянекоторыехарактеристиклюбойраз-реактивногопостроениясравнениятурбулентностираяизу-предложенытурбулентныхтурбулентности,различныхУкажемдля*.сре;щихдляходимобытьможетзадач;турбулентныхразработкидлямеренийВспутнойрассмот-ненастоящеесреднихтеорийосновойныхВвведенияуравненийнойвидимо,и,жидкостинесущественныговоря,мыдвижения.ранеетеорииструечениячтоэксперимен-характеристикПрактикаvосреднениявает,характе-способовслучаях.другихмногихвогсоставленияпротивоположностьсобойввторич-среднихвсевозможныхтурбулентности.дви-среду,проблемыдвиженийатмосфере,сложноеопределениянетклассоввтеченийгидромеханики,исследованиюмеждутрубах,движе-задачи.изысканиявкобозначаютхарактеристикосредненныхразличающиесяСпособыпроблемы(чер-движениявозникаютдлясредплот-р,дискретнуютурбулентности,теориивводятпараграфеэтомвсреднем.давленияw,турбулентныхэтомизмерениятальногоv,среднихуравненийивобычноматематическиерешатьслучаемоделирующегоприиосредняетсянополнойдалеете-толькохарактеристикдругихииобразом,Такимжениеи,определенияставитьможноиздесьпод-макроско-турбулентныевопросахизучатьтеченийскороститемпературынадниямногихкомпонентр,точки_восовокупностиприменяетсяцелесообразнотурбулентныхисследованиизначенияниекакгазауспехомзрения,также247жидкостидвижениябольшимсжидкостичениядвиженияописаниямолекулвижныхВТурбулентныезначениепровестиос-Абудет248Гл.промежутокгдеVII .ТвременивременизаметногоизмененияСсреднихдругойстороны,Авеликипомал(осредненноеАмоментобъему,по=ковременикохарактеристикпровестиможноотношениюпоотношениюнестационарным).вопределенныйбытьможетнениедостаточнопульсацийотдельныхжениеГидромеханикадвиtвремениосред-тогдаA\г—d%,vобъемпричемусловиямVниеподолженвышеможноповесом,gпри(t)выборенекотораяV—4-ражениями,внонияимеющихсякакрядеиспользуютсяреднения,иматическоеслучаевсреднеевА'где—А'нулю,шТ.способывероятностныеА.оскакопределяетсячастозначениямате-АзначениеистинноеА;пульсацийзначениесреднееравно0.чтобыПотребуем,Свойствасообосредне-видепульсация=задачахразличныхVотАсреднегопредставляетсявоз-определя-результатА.введенияАразличнымизависящийнезначениеожиданиеПослеВфункция.руководствоватьсяприложенияхможнорассматриваетсяВобъемупозначение\заданнаяТиосредне-образом:=гдеивременисреднеекогдаследующимнапример,провестиодновременно.осредненияспроводитьется,Vобъемупоаналогичнымусловиям,МожноТ.времениивремениУказанныеудовлетворятьпромежутокнавсехосредненияосредненияоперацииобладалислучаяхвосвой-следующимиствами.чений1) Среднее2)тикиСреднеетурбулентногозначениезначениесуммыпроизводнойдвижениясуммеравняетсяотравняетсясреднихистиннойзна-характерис-производнойот§ 21.среднегоТурбулентныедвижения249жидкостизначенияЬАдА_дхСреднее3)которыхтурбулентныеиспытываетодинВсредних.нопроизведениючениепроизведенияпроизведениюсомножителей,двухпроизведениязначениетолькодхпульсации,А А'частности,рав-0.—Среднеевеличинпульсирующихдвухизнезна-равняетсясреднихИЗфАВ,апроизведениясуммеравняетсяэтихЗаметим,временипосвойстваздесьОбопределениипричтоилиПустьиспользованиииспособовразличныхосредненияп-\-=няетсяСреднеем2,величинуДляи2и%и-и'л—и1и1'макроскопическуюформулеслучаеэтом-\~и'1.+поврави:_=--например,значенийистинныхнезначениясреднегозначениемвведенную,скоростии2значениеквадратусреднимпомощьюприближенно.лишь_назватьсперечисленныеосреднениепроведенои'.и1МожнозначенийсреднихпространствуповыполняютсяосреднениясреднегоивеличинА'В'.+интегрированиявеличинсреднихпульсацийпроизведенийзначения—можнои2написатьн2",+причемг^Еслидлякостиследующегор, и,величинтоосредненногонымсохранениядляидвиженияТ,будутневмеханикед.ввестижид-средниеоб-такимоснов-удовлетворятьудовлетво-состояния,уравнениямесли,например,совершенногопримыгазаторL_т.идвиженияхарактеристикииdAE,движений.истинныхДействительно,ногоU,континуумазаконамряющимсявстречающихсяT,p,w,п^фО.норядаv,способом,одинаковымразом0,==^Rf=pRT+VT'R,изученииосреднимтурбулентрподобнор2E0иГл.VII .ГидромеханикаКлапейронауравнениевыполнятьсядлясохранитьиз-заспособ,другойтогдарВразличныхнаборадругихрялисьтак,импульса,юттурбулентныеПолнаядвижениявсистемеси-этоминеразрывностидекартовойвне-движенияжидкости.уравненииуравненияизкоторыепривязкойстемасостоитислучае,уравненийиме-координатвид?-0.гдевво-движений.истинных^маемойизвестно,акакРассмотримкакопределенногоосредненияосреднениячтобыудовлетвообычномопределе-put,способыр,соглашениюпофизики,дляможнордляр,способом,законывеличиносреднениятурбулентностинапримервводятсяосновныебудетудобнонеболеепричемодинаковымвеличинэтихр",величин,некоторымнам=+р=теорияхосновныхдятсяниир'+р=длячтобытак,рРижетоввестиp'T'RчленаЕслиКлапейрона,уравнениеизбратьналичиявеличин.среднихTjкойвязкойжидкостизависятГцдляец,НавьезаконупожидкостиотДлянапряжений.изотропнойвязкихтензоракомпоненты—B1.1)вяз-линейнойСтокса—B1.3)ДлястиxihдальнейшегоотвисетьотпроизводныхностиB1.1)уравненийичастьтолько,теоретическихчтоеар.dp/dtусловиеНавьеtПрификсироватьбудемнемызаметимеар,—Стокса—^дх"исследованияхИспользуя0,случаенеразрыв-dtчтопоказать,легкотурбулентныхдхклевуювнаписать^за-могутxikуравнениеможноJзависимо-законобщемввидеv•движений•'§ 21.исходятоистинногодлярешенийсреднимимеждудляуравненийосреднениязадачу.сложнуюсоотношенийОсреднивимеетB1.1),легкочтовид,иоснованииуравнениенераз-запишемчастьлевуюB1.4).видевB1.1).скоростейистинныхдляимпульса,уравненияварительнонаполучимвеличиносредненныхжевеличин,длядвижения.осреднениятотпутемB1.2)неразрывностиоперацииОсреднимполучаютсяB1.1),состояниеуравнениедлявеличинсреднихдвижениямгновенноеописывающихонотурбулентныхдляифункциональныхдвижениярывностиидви-величинами.Уравнениясвойствуравненийгромоздкуюразысканииоизвилистоститурбулентномприэтихсобойзадачадвиже-запутанности,жидкостипредставляетсяСтавитсяпульсирующегочастицполучениежениидвиженийB1.1),уравненийсправедливостикрайнейввидутраекторийсложности251жидкостинеустановившегосяОднакония.движенияпредпосылкиизB1.2)ТурбулентныеТакпред-которыхкакB1.6)(плотностьто,рсчитаетсяочевидно,постоянной,одинаковойследующиеуравнения:получим=(iназываютсякоторыеЕсличерезцотуравненийсчетвошедшихитоПоэтомуеар.заШестьconst,==l,2,(и,еа$черезРейнольдсаB1.2)импульсаеар)производныхвозможно,уравнениячленовдляистинныхтаке^р,B1.7)жедвиженийвеличинвуравненияРейнольдса,7называютсялинейкакотличаютсявидаразличных.„,3),выражаютсяTj-jjrРейнолъдса.уравнениями%1связьинаяafrf-pp^'*)dp_точках),всехвотурбулентнымитолько%i252VII .Гл.ГидромеханикаЗаметим,напряжениями.представляютсяВидкул.характеристикразличным.тулироватьчтотакогоистинныенапряжениячерезформуламиродажетурбулентныхзависимостивтеченияЭтинапряженийразличныхнаоснованиисреднихбытьможетзадачтребуетсяилиустанавливатьспециальныхгаземолеотклассахзависимостивхцскоростигипотезпос-опытныхилиданных.Такимобразом,движений,изученияуравненийнихможноосредненныхтолькоконовнагипотез,илиженийтурбулентномВирешитьипрос-турбулентныхнапря-градиентов,ихкоторыепозво-частныезадачиосновныетеоретическидвижении.настоящеезадачидвиженияхвообщепоаналогиинематематическойпо-турбулентныхосредненныхпроизвольныхоиобщейсуществуетневремястановкивыясненаформули-такойвозможностьзадачи.ровкиИногдасНавьезаконом—B1.3)Стоксапо-чтолагают,Tiit=гдеразличныхзависимостиоскоростейсреднихотпоставитьляютсправедливостигипотезвтурбулентныхисследованиюпоизучениюкестественныхитыхоработсводитсяза-бытьопыте.натолькомногихдвиженийвоз-можеткоторыхустановленаСодержаниетеоретиче-движенийдополнительныхсправедливостьсчетеконечномизученияполноенекоторыхоснованииод-дляПоэтомутурбулентныхнедостаточно.чис-матема-движенийдостаточныхдвижений,чемдлятурбулентныхосредненныхисследованиеистинныхбольшее,Следовательно,гидромеханики,истинныхскоеполучаеммынеизвестных.числотическогоуравненийосредненияихуравнений,лонелинейностиввидупослеМх-f-fi=которыйввязкости\хM,M—коэффициент—турбулентнойвязкости,молекулярнойкоэффициентупротивоположностьзависитотдвиженияпараметровпеременныхжид-кости.Отметим,олекатьтем,отражаютсясущественнымии,еар,чтокакобразом,свойстватакиевтурбулентных—Этогипо-некоторыепотоках.привоп-можновообщеСтокса,жидкости,огипотезсовсемСтокса.—НавьезакономвместовыдвигатьтакимНавьезаконтурбулентныхслучаенепосредственноотрассмотрениютакженевтакможноеа$т&зависимостикравдатьоказатьсяотт,-утезыСтокса—второстепенным,становитсязависимостиря,Навьезакончтодвиженийгово-могут§ 22.§ 22.УравненияУравненияУчетобъемадвижущейсявийтеламнияповерхностяхрассмотренииусловиенаПрикостьюповерхностикостиотносительнокостинасчеттеларавенствутеланажид-нормальныхтела.поверхностискоростейтелаидеальнойрамкахжидкостипроскальзываниеНетрудноскоростейусловий,граничныхввозможнотела.полексоставляющиепоэтомуинапряже-идеальнойтеликасательныеразличны,жидкостигазастенкамсред.жидкостителауслоилисилыобтеканиисводитсяскоростейповерхностивдользадвухобтеканиясоставляющихНатакихжидкостивектораобсграницахграничнымконтактасвязивпримерамикомпонентзадачиповышениюнаусловиянеподвижнымтрехкиприлипанияилинепрерывностиусловиеведетдвиженияТипичнымиполногоусловиеподвижнымгазовкраевыесреды.являютсяиуравненийдобавочныепоявляютсяслояжидкостейвязкости253слояпограничногодифференциальныхэтимипограничноголаминарногосвойствапорядкакламинарногожид-частицчтовидеть,влияниевяз-образомсущественнымпроявляетсязапрещаюткоторыепроскаль-такоезывание.Этообстоятельствозадачиодвиженииподробночтоизученныеприрешенияхвозникающиенесжимаемойтелтакно,костижидкостью,как\х Avжидкостие.т.совпадаютидеальнойОтсюдачтоясно,приотличиежидкостиполяскоростейполясвязкойусловиемжидкости.цы,слоеныхтонкомнепосредствен-очевиднонесжимаемойAvжид-B2.1)0,=несжимаемойдвиженийдвиженийНавьеуравненияЭйлерауравнениямиодинаковых—движе-дляслое,чтонаусловиеокутывающемвсооб-поверхностьваж-некоторыхсуще-ЖИдкостидвижениеотсутствияпроскальзы-самойвблизинепосредственнотольковыполнятьсядолжнотеоретическиеуказывают,случаяхсущественножидкостикачественныесоот-отжидкостикотороеителатвердогодвиженияхвязкойскоростейидеальнойоказываетжидкостив=такихдляражениявлияниественноеванияАфприлипания,пограничномоgradисОпытПонятиеЭтожидкости.ветствующеговСтокса.реше-точнымитакжепотенциальных0,=точносвязанообтеканиипотенциальномдвижений0=дляследовательно,вовидеть,давлений,иравенстваАфСтоксаскоростейявляютсяпотенциальныхдляверныниязадач—Легкожидкости.поляпримеренаиллюстрироватьраньшеНавьеуравненийниямихорошонесжимаемойвтелаобтекаемогогранитела.254Гл.ВэтимссвязириватькаквнутрикоторогоницеСущественноэтиотметитьтуретипичныхчтоклассахнозадач,ввыделитьэтакоторыхвмногихточканезрениятеориейсразъяснитьопределенноперестаеттеориягра-струк-овознакомствоболеепозволяетзадачи,насопрягаются.этаслучаевПодробноеслояпограничноготакоерядеслой,вязкая;непрерывнопредставлениеприемлеможидкостидействительности.рассмат-пограничныйкактечениясразу,вязкойскоростейотвечаеттонкийдвапринимается,можнорассматриваетсяслояслоякотороготеориикоторуюимеетсяжидкостьпограничногоэтойжидкости,ипограничноговнутрислоя,Впотокидеальную,полятонкого—вязкостью.основнойимеетсятонкоготеорияжидкостипренебрегатьнельзячтоГидромеханикавозниклавязкойграницахнаVII .идей-успешноствовать.ПредставлениепонажидкостиСтоксатонкомвУравненияслояпограничногоВпограничномслое,движенияжидкостейжимыными,вустановленыбытькакиуправдвижениемотличающимисяотдругпограничноголаминарноготеориюос-законы,турбулентнымрезкоре-ламинартечениярежимахразныхжидкоститрубе,втечениипримогутосредненнымрассмотримтеориибылигазовполучаютсяслое,мыпонятияосновныеикакилидвиженияНижеза-слоя.Прандтлем.жетакилипограничномдруга.Л.Прихарактеристикиламинарнымляющиевозможнымпттг.—пограничногослоятурбулентными.итакновныеоказалосьтеорииипограничноголппК1904НавьеуравненияслоеУравненияламинарногоиидеальнойдлясложныеуравнениямипростымижидкостиуравненийпограничномболееменитьВо-вторых,газа.ивозможностьвязкойдвижениярешенийизвестныхосновеплодотворнымпоявиласьтеориипостроениегазаоказалосьВо-первых,причинам.производитьвслоепограничномоглавнымдвумслоя.ДлясмотриммойвязкойВывод—Дляследующиениже.*)ПодоСтоксапренебреженииичлены.плоскопараллельногоуравнения*)членамипограничного^слоевпограничномразличныхпорядкеконечныетолькопостав-потокапоступательногодвижениягипотезах—рас-несжимае-перед89).(рис.уравненийоценкахНавьенеподвижнойнабегающегоскоростипоютсямодельнуюслояпограничногообобтеканиитонкойпластинки,теориизадачужидкостьюленнойпластинкой(толщинауравненийполученияосновнуючленами;малымидвижения^этихслоя).уравненийуказаныихнауравненияхсохраня-плоскостихувязкойдвиженияСправедливость^етихоснованвчленовимеемнесжимаемойпооценкиоценоквеличинеобсуждаетсябУравнения§ 22.пограничноголаминарного255слояжидкости:диdu,¦5Г-Г'1дуdv1~а7аР1ПустьIdv+Поосновномуот1ТB2.3)1характерныйдопущениючерезпримем,обтекаемойду~Q'д~УнекоторыйОбозначиммалидх1\B2.2)дЧ+81пластинки.ду*1Г d"-vv81аТнаv/ \1р—f '-u-f1,1-8д'и1»111/-L-Vрчтослоя.пограничногорасстояниина(пластинки)поверхностидли-напримерразмер,б «толщину»бнор-по«граница»имеетсяU(t)89.Рис.Пограничныйслойобтекаемойнапластинке.отношенииб или,Величинаточнее,малойосновнойвевопределяетсях=Ц,чтопредположим,иизменяютсявменнойиимеетуt),(z,д2и1дхгвнутрипринимаетсяуконечныхб.порядокB2.4)|,переменныеизмененияинтервалпримем,аДальшечтовременипоислояинаегоИзди1ди7Г~дг\аги_~производныеграницеду2=1дги"б^"drfUс_'иди/дх,равенств~ду~г\'хпере-величиныконечны.потокомкачест-впреобразованием:слоепограничномпределах,внекото-вусловием).у=ЬцпроизводныепограничногоихилиВоспользуемсявеличины.из-(практиче-процентномдополнительнымотношениеиизвнесовпадаютскоростейразностималостьдругомжидкостискоростипрактическислояпограничногоскаяромкоторойнаслоя,пограничногонутриосновным(t),256Гл.таккакииг\ГидромеханикаVII .изменяютсявконечныхпределах,il-1Далее,изчтоV.—уравненияследует,B2.5)B2.3)неразрывностиимеемsдодидудх'СдиJto,sу'd2vIdyiЬdv32i>s'дх'„с*^2B2.6)НаоснованииIUбытьжнооценокэтихB2.3)Первоеивеличины.B2.2)уравненийизбытьдолжноприкидочныеуравненийдидиdtдх0дуизB2.8)ВкоB2.3)чтоаUрииB2.8)ино(x,t),решениюсистемаизжидкости.учетакриволинейностинанеобщемвслучаедлинудугиквнешнейпограничномпринимается,профиля,вдольЗависимостьпрофилю.границепограничногосоответствующейрешенияПредложенытео-задачиуточненияобтекаемыхтоль-плоскойнаслоенормалипоскоростьзадающаяидеальнойсобойпредставляету измеряетсяслучаев.применяетсядвиженияВуравне-системаважныхрядепограничномисследованиядляСтоксавввизвестным.—этаопредерассчи-следовательно,считатьподдаетсяПоперекипотоке,жидкости,Навьенеразрыв-основномвможнопрофилях.хуравнениенелинейными.постояннымслояуравненийB2.8)t).идеальнойопределяетсядляр(х,=движениякоординатакоординатаслоя,д'-иду'добавитьдр/дхкриволинейныхнаdpдхрасчетахпластинке,слое1рграницеисследованиядлясохраследующиедусохраняетсячленотиполучаютсяостаютсядавлениетеорииотличиеB2.8)приближенныхПри11науравненииупрощенияПоследиB2.8)значениемтываемымдляслое.пограничномнеобходимослояний{'УравненияпограничноголяетсяосновойчленовИЛИуравнениямB2.3).долж-слоя:=этимвидеИГ-послужиливпограничногоностиУконечныхтолькоуравненияКиСтокса—B2.2)вненияконечныхприбезразмерномилиоценкиНавьечтовv-Т~-иГЭтипоказывает,v/б2,конечнымб'2B2.2)уравненийчленомкаждымподегопорядокуказанпрофилейуравненийидля§ 22.УравненияламинарногопространственныхисследованияматическиймулировкойсоответствующихВспособом.дующимуравненияхпеременных:преобразованиещеехB2.8)предположенийB2.2)уравненийвыводи=IUoиразмер1/dviмате-форсле-датьсделаемследую-h,Uovi="я—PU20pu=1дххdv\линейныйполучимд^и-R1dpiрдухB2.9)характерныепреобразование,это[JIT~R?=1+дххB2.3)и—Выполнивскорость.s—формальныйопределеннойможнопостоянныенекоторые—исиощ,=tгдеБолееболеезадач.257слояпограничногоd'-uiгдх\1г1у\„01дЧх.•1Ъх\f »ViRдугB2.10)Rгде=собойНавьеуравненияточныеЭтиРейнольдса.число—безразмерныхветствующихПредположимдексомпеременных.чтоприсохраняюттеперь,1B2.9)вкпереходаB2.10)иRприпределу•~т—изоо->-I-уравненияпредставляютСтокса,Rзаписанныевсе°°->¦ввеличиныдухсин-Послезначения.конечныеB2.10)соот-получимдххр1Рdpi<?2/iB2.11)dvxдххЭтиB2.9)каккогдаВVlB2.11)Л.И.t)IU0Седов,том2=0ухиформуUol/v=(условие=оосуравненийстремитсянаобразом,внекоторомНавьек—бесконечности.необходимопрофиле)навнешнейСтокса,си-решатьусловиями:граничнымиприлипания(условиепомощьюТакимB2.3).рассматриватьпрофилейобтеканииухприпреобразованияможноследующимисоприU(x,щ=90=RобзадачахстемуслояРейнольдсачислоB2.8)уравнениявпограничногопредельнуюуравнениясмыслеобратногопослеуравненияпереходятдухграницеих=0,ипогра-Гл.258слоя),ничногоотзависитпричемопределяетсяиухГидромеханикаVII .слояпограничноговнутриизрешения(х,р%задачиоt)необ-внешнемтекании.Задачаопервомпограничноготаккакбольших§ 23.ДадимпластинкеВрешение(поэтомуи\-V'дхниемр0.Наимеемграницеимеетду-о-г=ивиддуъB3.1)внешнийапотокспредстав-постояннымдавле-прилипанияO,i>O»=d=O,B3.2)слояприуТаккак=иоо=Uo.рассматриваемойгвлинейногохарактерногоразмерныхпоU'пограничногорешениястема_.—условиеjприАвтомодельноетьdvгкогдаприобретаютдвижениепластинке"¦V=дупоступательноевнешнейB2.3)89),дъиустановившееся,движениесобойнеподвижнойрис.направленаии-7г-,~д!установившемся~^> О (см.хдидикак=B2.8)-яобтонкойпостояннауравнениядиляетгладкой0,потокаслучаеиусазадачиабсолютнонаUo набегающегопластинке).скоростьнесжимаемойБля,Задачаполуплоскости—примно-дляхарактерныхобтеканииприполноеслоемалойоченьполучаетсяпластинки.теперь_R">o°'приРейнольдса,слойпограничномнаслоязадач.плоскойтакналичияучетапограничногор.слояПограничныйжидкостьюхг==-уг~*-°важныхпрактическиосижидкостьюбезтолщины1числазначенияхгихидеальнойрешенадляпограничноготолщинае.профиляимеемvт.бытьможетслоя,B2.7)пообтеканиивнешнемприближениивбезразмерныхB3.3)задаче„^нет"размера,си-тоопределяющихпараметроввидUv,х,уи-?-,?__.UoB3.4)слойПограничный§ 23.Поэтомуфункцииискомыеплоской(х,ибезразмерныечерезставитьобтеканииприу)иv/функции259пластинкиФи(х,у)можнопред-вида-IfуvxB3.5)ЕслиихтоB3.1)уравненияхвтеперьB3.3)1хи=увиграничныхB3.2)условияхпеременных:заменусовершить<23-6)=получимди\Уравненияvi (xi,B3.7)иУл)неdyiиприххаприг/х>0,=ооz/j0=MjI,Ух/,1Из-ш/Uщ(х%,z/j)исистемырешениепоэтомуполучим\У1Х\О,функцийB3.5)?/,=1.=дляI.отyj=?<!параметразависетьиB3.7)условияграничныесодержатдолжноне0='dxiXIfitB3.8)таккоторогоИзрешениеформулизводныминымуравнениямсодержитухаргументкакB3.7)неотзависит.B3.8)вытекает,однойуравнениячтоприводятсясZ,параметрвсданнойзадачепро-часанымикобыкновен-переменнойнезависимой=^.и0B3.9)260РешениеобщемВБлязиусазадачиГидромеханикаVII .Гл.случаенеразрыв-уравненияизностиdui,0=духследует,чтожидкостиплоскопараллельныхдля(см.существуеттакая,движенийVII,гл.1)т.несжимаемойфункцияtj> (хх,токаух)чтоStJ?Зг|э_~1~ldyiдхгПолагаянайдемТакимобразом,чим,вчтонащиvxнеразрывностичерезполуффункцию(|)виде«1образованийФ'(Е).=B3.10)Подставляяв)движения,уравнениеДляполучениядифференциальногонайтифункциющуюследующимпосле(?)B3.11)фвпростыхпре-ф@)одномствомПустьпосредственнойинтервалефункцииопределенияЭтутретьегоф'@)=решений(I)—необходимо|-<оо,удовлетворяю-0<1|<;интервалавытекающим=0ф(S)ф'(ов)и=требуетеясвестирешитькзадачеB3.12)1.Кошипроверкойрешениелегкоубедиться,/.|)краевуюсобщимследующимнекотороеооB3.7):изB3.11).уравненияф00 <воспользоватьсяесликонце,обыкновенногопорядкаконцахналегкозадачукраевуюB3.11)нелинейногоэтогоиО.=условиям,граничнымдачу.Ф"(Б)ФЙ)+решенияуравненияуравнениямДляB3.10)получим2Ф"(Е)науравнениявыражаютсяоснованиикомпонентыуравнениячтоза-даннымисвой-B3.11);функцияне-B3.13)§ 23.такжеПограничныйслойявляетсястоянномобтеканииприрешениемплоскойB3.11)уравнения261пластинкилюбомприпо-а.ОпределимзадачифункциютеперьКоши(?)<р0B3.11):уравнениядляследующейрешениекакB3.14)1.Спомощьюф0(?)дляОпределимчто(|)снаилиприКошизадачиния_СопротивлениеrтренияrповерхностиTпределтг-кг=B3.15)•постояннуютакимаB3.12)ф^ (т|)|при—>оо.=-^-B3.14).(|),формуламипредставляетсяляющуюПореше-численногоизтеперьсостав-касательнуюгНавье—натрениявязкогонапряжениязакону1=B3.16)определеннойВычислимпластинки.а'1зкположить0,332.=хфункциидлярешениядостаточнорешениеф0аЗД.=искомогоB3.13)полноеB3.13)limполученияаB3.10)B3.13)&Ч>—формулыB3.15)основаниии&3/гпричемусловиеф' (I)дляпомощьюСледовательно,определитьчтоследует,limффункциюметодамиможноформулевB3.14)численнымиудовлетворялосьИмеемОчевидно,данныхрасчета1,теперьчтобыОтсюдаданным=k=j=ф'(|)Кошиизвестнымирассчитать0.