Динамические процессы в ЖРД, страница 10

В третьейквадратной скобке записано выражение, отражающее снижениеэффекта стеснения по длине элемента. Следует иметь в виду, чтопроизводные в случае выгорания топлива в направлении соответствующих осей будут меньше нуля:(1. 149)Если изменением текущих значений площадей жидкости в элементе можно пренебречь, то уравнение (1. 149) упрощается и принимает следующий вид:(1Л50)Вычитая почленно (1.149) из (1.150), после преобразованийи интегрирования получим;(1.145)(1.146)(1. 151)Итак, выражение (1. 143) характеризует изменение массы, протекающей по элементу, а выражение (1.119)—изменение массыпродуктов сгорания, образующихся в элементе. В результате изменения массы жидкости будет наблюдаться изменение массы газав элементе.Уравнение (1. 150) показызвает, что площади граней и объемжидкости в элементе зависят от отношений расходов через элементк соответствующим скоростям. Если расход и скорость равны нулю,то объем жидкости в элементе может быть отличным от нуля(Фиг.

12).6667Заметим, что поскольку(1.152)то имеет место следующее равенство:(1. 153)Используя выражения (1.143), (1.119) и (1.147), напишемуравнение закона сохранения массы для газа в элементе горящегопотока, формулируя его так: изменение плотности и объема газав элементе за единицу времени равно изменению массы газа, движущегося через элемент, и массе газа, образующегося в течениетой же единицы времени за счет выгорания топлива, находящегосяв элементе.(1.157)5. Области применения уравнения (1. 157)Фиг. 12. Пояснения к уравнениям (1.152) и (1.153).Следовательно, рассматриваемое отношение характеризует гравиметрическую плотность.Выражение (1.147) перепишем так:Особенностью уравнения закона сохранения массы для горящего потока, отличающей его от аналогичного уравнения закона длягазового потока, является наличие функций, характеризующих и отражающих стеснение газового потока, и функции, определяющейподвод газа за счет выгорания топлива.Стеснение обусловлено наличием в потоке жидкой фазы, которая характеризуется удельными массовыми расходами qx, qr, qv'Поскольку величина массового потока изменяется в процессе движения жидкости, то учитываются производныехарактеризующиеинтенсивность вы-горания.

Стеснение учитывается двумя функциями.В наиболее общем случае, когда необходимо учесть изменениетекущих площадей жидкости в элементе (что особенно важно прибыстром протекании горения), при написании выражения (1.154)следует ориентироваться не на уравнение (1. 150), а на (1.151).В случае горения капель компонентов топлива(1.155)Первая из них выразится так:(1.158)В развернутом виде, согласно выражению (1. 151), первая функция запишется так:Вовремя подготовки топлива к горению x=const, следовательно,(1.156)68(1.

159)69•Если перехода жидкой фазы в газообразную не наблюдается, тосогласно выражению (1. 150) будем иметь:(1.165)(1.160)Если созданы условия, обеспечивающие поддержание g=const,то вместо уравнения (1. 165) будем иметь:(1.166)Выражение для второй функции удобно записать в виде суммы:Для одномерного потока получим:(1.167)После завершения всех химических преобразований приходимк общеизвестному уравнению, характеризующему движение газа:(1.168)(1.161)Первое слагаемое учитывает наличие жидкой фазы, а второе —ее изменение по осям координат.Уравнение (1. 157) может быть использовано для исследованияпроцессов в отдельных сечениях камеры сгорания.

В самой верхнейобласти камеры, около форсунок, происходит подготовка топливак горению. Здесь, если дж=сопз1, то§ 5. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ГОРЯЩЕГО ПОТОКА [16, 29, 34, 55]1. Вывод уравненияРассмотрим прежний элемент горящего потока. Масса газообразной фазы равна:(1.169)(1.162)Уравнение(1. 157)Масса жидкой фазы равна:запишется так:(1.170)Полная масса горящего потока(1.171)(1.163)В области горения, где имеется жидкая фаза, следует пользоваться уравнением (1.157).

Однако, если можно считать, что здесьпроцесс газообразования является главным, превалирующим надпроцессом протока, если эта область существенно стеснена жидкойфазой и в результате горения происходит повышение плотностигаза, то уравнение закона сохранения массы примет следующийвид:(1.164)После окончания газификации, но при горении газообразныхпродуктов, все функции, характеризующие стеснение, должны бытьотброшены, и уравнение примет такой вид:70Пусть суммарная сила, действующая на газовый поток, будет Р,а суммарная сила, приводящая в движение жидкость, будет Рш.В результате действия этих сил скорость газа W и скорость жидкости С могут быть различными.Для элементарной массы газа второй закон Ньютона можно записать так:(1.172)Дляпотокажидкихчастиц(1.173)71Произведя почленное сложение для всего элемента горящегопотока, получим:(1.174)Силы, приводящие горящий поток в движение, складываютсяиз массовых (объемных) и поверхностных.

В результате действиявнешних сил скорость движения массы газового потока будет изменяться во времени. Если ракета находится в движении, то дляопределения массовой силы будем иметь:Таким образом, е характеризует потенциальную энергию, запасаемую системой в процессе механического движения в направлении оси х.Под действием разности гидродинамического давления возникает поверхностная сила.В проекции на ось х будем иметь:(1.184)и, аналогично, в проекциях на другие оси получим:(1.

175)где g — ускорение силы тяжести;J — ускорение полета ракеты.В проекциях на оси системы координат,с ракетой, получим:(1.185)(1.186)движущейсявместеВследствие взаимодействия между газовым потоком и потокомжидкости возникают баллистические силы. Капля, находящаясяв рассматриваемом объеме, имеет некоторый характерный размер/?о- Вследствие горения этот размер меняется во времени.Баллистическая сила, действующая на одну каплю, будет равна:(1.187)Массовые силы являются потенциальными, если существует такая функция координат и времени &(х, г, ф, t ) , частные производныекоторой по координатам будут соответственно равны:(1. 179)(1.180)(1.181)Рассмотрим одномерный поток. Уравнение (1. 179) запишетсятак:(1.182)Интегрируя, получим:Баллистический коэффициент сх определяется условиями горения и зависит от формы капли, скоростей W и С, параметров и составов топлива и газа, качества распыла и перемешивания топлива,а также от многих других факторов. Часто величину баллистического коэффициента определяют в зависимости от числа РейнольдсаRe и параметра D, характеризующего деформацию капли.

В некоторых частных случаях принимаютВеличина баллистического коэффициента меняется во времени,поскольку она зависит от размера, формы и относительной скорости капли. Исследованию коэффициента сх посвящено много работ,и при выполнении расчетов необходимо вопрос об определении баллистического коэффициента рассмотреть отдельно [1, 27, 41, 55].Кроме баллистических сил, на каплю действуют силы вязкоготрения. Они создают спутные потоки, исследование которых применительно к турбулентному движению выходит за рамки даннойкниги.Площадь поперечного (лобового) сечения летящей капли(1.183)приведенный радиус миделевого сечения капли.7273Объем капли(1.190)гдерадиус шаровой капли;- коэффициент, согласующий размеры г и R\, причемУсловия движения газа в камере настолько сложны и своеобразны, что уравнения (1.

194)ч-(1. 199) оказываются пригодными лишьдля расчетов, проводимых в первых приближениях.Теперь можно написать выражения для суммарных элементарных сил в проекциях:(1.191)Число капель, отнесенное к рассматриваемому объему, будетравно:(1.192)Таким образом, баллистическая сила, приходящаяся на элементрассматриваемого объема, будет равна:(1.193)Ориентируясь на известные в гидромеханике зависимости и учитывая стеснение элементарного объема жидкостью, силы трениявязкой сжимаемой жидкости по координатам представим так [41]:(1.194)(1.195)(1.200)(1.201)(1.202)Перед проведением расчетов следует опытом' установить зависимость баллистической силы от разности скоростей для рассматриваемых условий распыла и горения топлива.Дифференциальные уравнения движения газа в проекциях насоответствующие оси запишутся так:(1.196)причем(1.197)(1.203)(1.198)(1.199)74(1.204)75Баллистические силы определяются по выражению (1.193), нов общее уравнение движения они войдут с обратным знаком, посравнению с тем случаем, когда они определяются по уравнениям(1.203), (1.204) и (1.205).Дифференциальные уравнения движения жидкой фазы в проекциях запишутся так:(1.205)2.

Расчетные уравнения(1.215)На некотором удалении от головки, где жидкая фаза отсутствует, уравнения движения примут общеизвестный вид:(1.216)(1.206)(1.217)(1.207)Следует иметь в виду, что расчет по этим уравнениям производится только до момента полного перехода жидкой фазы в газообразную.rd<fi •IV*A ч rr\ 3 rdy\ \ •••> ID t t/l-^ 1 •"V/OlРассмотрим поток жидкости. Элементарная массовая сила в проекциях составит:(1.209)(1.210)(1.211)Разность гидродинамических давлений в проекциях выразитсятак:(1.212)(1.213)(1.214)76§ 6. УРАВНЕНИЕ ЗАКОНА СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИОбщее (полное) уравнение закона сохранения энергии содержит слагаемые, характеризующие как механическую энергию, таки энергию тепловых процессов. Уравнение закона сохранения механической энергии получают из второго закона Ньютона при рассмотрении движения идеальной жидкости.

Уравнение закона сохранения энергии тепловых процессов получают из первого закона термодинамики. При сочетании этих двух уравнений получается общееуравнение закона сохранения энергии горящего потока.1. Уравнение закона сохранения механической энергииС целью уяснения смысла отдельных слагаемых уравнений закона сохранения механической энергии рассмотрим поток идеального газа, не содержащего жидких частиц. Дело в том, что приналичии сил вязкого трения часть механической энергии будет переходить в тепло.

Это явление называется диссипацией механиче-77ской энергии. Уравнения (1.206), (1.207), (1.208), которые принимаются за исходные, записываются так [34, 41]:Внешние массовые объемные силы, если они потенциальны (g"),в единицу времени произведут работу(1.224)(1.218)или(1.225)Умножим правые и левые части уравнений на соответствующиекомпоненты скоростей.