отчет Югов и др Сеточные методы расчена НИР (Раздаточные материалы), страница 5

поэтому для решения рассматриваемоЙ системы ураВнений применим м~тод прстонки. В соо~ветствии с зтим методом (2.27) Теперь наше иоходное уравнение (2.26) моино перепиоать следующим образом А~к - В~Р~„ + С (Р, 1Р + ~~) 1) + В~, (2.26) так как $1 1 - Р1 1Р5 + ~5 1 ° ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРОГОНСЧНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ Р~ И Я) ПОЛУЧИМ РЕ- куррентные ооотношения, которые следуют из уравйения (2.26), предстанленното в Виде (Аб - с Р) 1)У~ ю В У 1 + с Я 1 + ю Следовательно, Для решения системы уравнениЙ (2 26) нам необходимы начальные значения Р и ш, то есть величины Р и ц . 'мы будем начинать расчет, полагая Затем обратной нодстаноькой волучим: УМ2 РМ2" М1 "»М2' $' ~ Р $' .» М2 - Ч М2 - 1 М2 и 2- ! С ьычислнтельной точки зрения реиенная нами задача является одномерной: мы получаем зависимые переменные Ф для каждой данной ьеличины И.

2.3. Вычисление величин у и х Ф(г т (»~» ф ) ' б».о»» рих ау, (2.Я ) Следоьательно, ь случае (2 ° 34) Б случае ооесиммет ичной за чи (рис. 2.11): т г1 + у ООЭЮС ° (2.Я) из соотношения (2»м) следу(+К - ф~) бес ю рм(т + + у сова. ) ° Фу. Обозначим Рис . 2 .11 Если только величины и и р известны для каждой данной величины оО, можно вычислить ьеличины у и ~. йз оаределе ния Функции тока и величины ю следует, что г Ч - ~ ) УаоэЛри) ° О У 1 ~ „( (гГ + у совпис ) бу ~ г у + 0~5~У совм,. . а о х Откуда )/сова, ~в ( К~ + (г.ъв) (2 ° 39) где 2.4. Вэаимосьязи между переменными Мы будем решать дифференциальные ураьнения (их конечно-разностпые аппроксимации) последоьательно для каждой заьисимой переменной Ф.

Однако, каждая из рассматриьаемых заьисимых переменных может заьисеть от других заьискмых переменных, например, р или Г~ могут зависеть от т, концентрации и т.п., подъемная сила может заьисеть от т и т.д,, ь у само заьисит от у и и. Строго гоьоря, наше решение должно быть итератиьным. итерации должны поьторяться на каждом шаге ~хи корректируя коэДициенты ураьнений для ьсех Ф до тех пор„ пока заьисимые переменные Ф не перестанут изменяться (это очень нежно для эллиптических задач), Однако, ьследотьие того, что х яьляется односторонней координатой, значения заьисимых переменных Ф при ж жО яьляются хорошей оценкой этих ьеличин при ж - х .

Во ьояком случае, точность моленного решения можно проье- рить поьторными ьычпслеппями с малыын шагами с~х и АФй и Быбрать такие иаги, которые поэьолявт из6еиать итераций. 2.о. Граничные рслоьия С~щесть)йт три типа границ; 1. Стенка. 2, Сьободная граница. 3. Линия симметрии . На рис. 2.12 — 2 .17 предстаьлены приыеры течений с различныии границами.

Рис. 2,15 Рис, 2.17 Г ни а типа стенка Существует три ьида граничных услоьий: а) известна ьеличина Ф на границе; б) известен общий поток а~ и) общий поток задан ь виде ~ а - Ъ Ф например, ©" ~~х тграничн) ' где ы — козКициент теплоотдачи, т - изьестная температура окружающей среды. Величина Ф на свободной границе должна быть изьеотна или необходима какая-либо ин$ормация для определения Ф „„„„. Кроме того, на сьободной границе отсутствует ди4фузионййй йоток: оФ/Ьу О „ЗФ/Ью ° О. На линии симметрии отсутствуют коньектиьный и диффузионные потоки; Э~ау - о~ 3$~Ьое - о; ~ - о. 2.5 .1 . Моди$икация козффициентоь конечно-разностных ураьненик на границах Если внутренняя граница является границей типа "стенка" и задан общий поток а или общий поток задан ь ьиде ю а - е Ф , то 1Ф расчет производится следующим образом: Число Пекле на границе х ~рис, 2.18) в" т с'.ж ФФ (г.~о) ~~ ьх Г,/Зу Из уравнения (2.19) следует, что величина потока через границу Х может быть выражена через значения Ф в узлах 1 и 2: Х Х 1 1 Х д»х ~Хх * е Ф ° Ф ° (2.41) ехр(р.

) - 1 ехр(р ) - 1 Рассмотрим случаИ, когда задан Обдий поток ~е Тогда из (2.41): Ф (д х ~х+ а (1) Ф )/а (2), (2 42) а" х йх где а (1) ж ехр(Р ) - 1 ш".х Е~х ехр(Р ) а (2) ехр(р ) - 1 (а (2) а (1Д Ф ю О Ф + а (2)+Ф + ~ Ъ(2) + даат Ьх~е з (2)нов )нов Полное конечно-разностное уравнение для узла 2 ар(2)Ф2 а (2)Ф1 + а„(2)Ф~ + Ъ(2) с помоцьв уравнения (2.42) приводится к следующему виду Рассмотрим случаП, когда обциМ поток задан в виде Ф~ Тогда ах Сх+ а (1).Ф Ф 1 У вн(2) + Ъ~х' ~х. (2-4~) (2.44) (2.45) (2 4б) (2.47) Ф а (2)»(1 + Ъ т Ьи/а (2)Д Обозначим УАОХ 1 + ъ х с.х/а (2)..

(а (2) - а (1)/УАСХ) Ф О Ф + а (2)»Ф. + (Ъ(2) + + а»т,б,хФАСХ) Следовательно, ар(2)НОВФ2 ащ(2) Ф + аЗ(2)НОВФ + Ъ(2)НОВ ~2 4В) Гдз ар(2)КОВ а (2) - а (т)/уАСХ„ (2)ков„о Ъ(2) ~ Ъ(2) + а УХ О,й/$'АСХ ° Оба Рассмотренных случаи мойно Обьединить» Из Ооотношений (2,42) и (2.47) оледует: а (2)вУАСХ»Ф~ ак(1)»Ф2 + (2. 5И (2.М) где уАс1»* 1~ если задан»~1 аСХ 1 + Ъ г Ь /ак(2), ЕСЛИ а - а - Ъ Ф . Тогда ( )ноьФ „ ( ),Ф „ ( )новФ + ъ(2)ков где ( 2)нов ар( 2) а ( 1 )~рАсх (2)НОв ъ(2)нов ъ(2) + Г~ 1~ ьх/ТАсх.

После подстановки уравнении (2.47) ь полное конечно-разноотное ураьнение для узла 2 получим: После аналогичных преобразований можно получить следующее полное конечно-разностное уравнение на границе ж и соответотвувиие ему козДициенты: (м2)новф „ ( ) ~ (м2)нов,р ъ( )нов ( ГДЕ е (М2)НОВ (М2) - а (М1)/~РАСК (,2)нов „с Ъ(М2)НОВ Ъ(М2) + х ЛхФАСЕ, РАск 1, если задан д, РАСЕ » 1 + Ъ.х Ьх/а (М2), ЕСЛИ д а - Ъ Ф а" ех, й хеехр(Р ! ) (м1)- е (Р„,) - 1 (2 ° 60) (2.'61) (2 62) (2.63) (2.6е) (2-65) аЕ~е3'И Ьх РМ1 х) ~~ Г„~Яу,+ 2.5.2. Определение величин а" и а" С А 3 Рис.

2.19 Лля границы типа "линия симметрии" а" о. для границы типа "отенка" а" с, воли отенка непроницаема. для проницаемой отенки расход жидкости через стенку должен быть известен или его можно вычиолить. Определение величин а~ и а" на овободных границах предотавляет некоторые сложнооти. Прежде воего следует признать, что положение свободной границы есть нечто произвольное. Рассмотрим возможные расчетные про4или скорости в области пограничного слоя около твердой стенки (рис .

2 .19) . положение свободной границы А или 3 я может считаться удов- У ' летворительным. Уаа ! Положение С будет ! ! ! ! ! ! приводить к тому. что граничное значение ! ! скорости будет дооти- У гаться очень быстро и 0 это приведет к непра- ьильному реиениж. Положение в будет давать про: иль скорости с очень длинным "хвостом" и часть мамкиного ремени будет теряться на вычисление уже известных величин я и Предположим, что при расчете мы будем выдерживать условие ш" о.

Начиная с начальных величин у , как показано на рис. 2 .20, "хвост" будет постепенно уменьлаться по мере прод.. ли вижения вдоль координаты ж и в про4иле скорости будет развиватьоя скачок. Поэтому необходимо все время проверять про~+иль скорос ти е Проверяя профиль скоРис. 2.20 рости, можно корректиро- вать величину а": если появляется скачок, ~й следует увеличивать, если раэвиьается "хвост", ж„, следует уменьшать, Выведем ооновнув :)ормулу для ш". Из уравнения (1 ° 26) следует, что на границе пограничного слоя М/бж ~ 6. (2.67) Следовательно, внутри пограничного слоя, как раз на его гра- О с ОФ Ь Ьм ЬФ/Ь (2.аВ) т ш" Ь(с(ЬФ/Ьм))/Ъо а Ь(а(ЬФ/Ьсо)/ЬФ~ (2 69) '~'ж - Фх ЭФ/Ьм Соотношение (2,69) может бить аннрскоимировано оледуюиим конечно-разностннм выражением Предположим, что зависимость 4 от ~а параболическая, как показано на рис. 2.21.

Пуоть зта зависимость есть Ф= А(д + 3с«+ с. (2»71) Ксзф4ициентм Аэ 3 и с онределим из следующих ооотноиений: я=с«„Ф= Ф и ЬФ/Ьы О; я~жщ Ф~ Ф а Из зависимости (2.7~) следует, что ЬФ/Ье«а 2 Аю+ 3 ° Рис. 2.21 Следовательно, Кроме того, 2 Ф2= АЖ2+ Вы2+с А «.) +3~~«~+с в 2 Па внутренней границе ~ о«о. Следовательно, г а" (о(ЬФ/Ьь~)) - (с(ЬФ/Ьмэ))„ Ф -Ф Е Х Ф - Ф 2АЬ~1+ 3 О В -2АМ~ ЬФ/Ьсд 2 А ( сд - Ю~). (2.72) (2.7Ъ) откуда Ф " Ф1 ' А( м + ы )( сд - сО1) + 3( ь) - ~й1) А-И -Ф1)ЛМ, -М1). из последнего соотноиепия и выраиепия (2.75) получим 2(Ф - Ф) 2 1 (~~ (602 - Ы1)' Из (2.7О) следует, что (с(М~6Ы))2 - О 2с(Ф - Ф1)(О) " СО ) Фж Ф~ Ф2 Ф1 (Ф - Ф,)(Ы - ~О1) 2с/(со2 - Ы ) (2 75) Из определения величины о) следует ' - Ч' -+ иФ -Ф ) а из определения 4ункции тока: С учетом последних соотношений и ( 1»26с ) откуда следует стандартная )ормула (т щ'~) зв 24~ 1„/'(у у ) После аналотичных преобразований получим (2.76) Ф - Ф 2 (1 () 2 1 Аи+Ао3-2Аса А~и)-О3) 1 2 1 2 Следовательно, В программе применяется следуюшая моди~икация стандартной формулы где ря~ - желаемая величина ~а - я ~1 и — показатель степени (и > 1 — сильная модификация, ю < 1 — слабая моди~икация).

Выбирая показатель степени и соответствуюшим образом, можно избежать пульсаций толшины пограничного слоя. Этого можно достигнуть, выбирая маленькую величину а. Такого же з4$екта можно добиться, применяя релаксацию, например, где а~ р соответствует величине ш~ на прежнем шаге, „стар о< о~ с1. Величины т а" и х.в" должны вычисляться не только из распределения скорости, т.е козДициент ди4$узии Г в отандартиой формуле может быть и или любая другая Гт, соответствующая другой Ф, а не только а.