отчет Югов и др Сеточные методы расчена НИР (Раздаточные материалы), страница 4

Окончательный ьид ураьнений пограничного слоя: Ъи/Ъх Ъ (ихиро(эи/Ъф)) + — 1(В - 4Р/сх), (1 ° 17) Ьф ~0 Я Х Ъи/Ьх * — ( — х ря(ЪЬ/Ъф)) + В /(ря), Ъ А з Ъ( о и (1.1В) Ьш /дх — (Г х ри(Ьв)/Ьф)) + В)/(Р~) ° Ъ 2 Ьф (1 ° 19) (1.аО) коньектиь- диффузионный член истсчниконый член (поперечный поток) ьый член где Ф вЂ” заьисимая переменная, à — соотьетстьущий коэффициент диффузии„ зф — объемная скорость произьодотьа (объемный источник). Для каждой заьисимой переменной (Ф) Гф, ьф и гранич- ные услоьия должны быть определены. Б наш ьыьод не были ьключены более сложные законы переноса, дополнительные источникоьые члены и т,п.

Тем не менее, ураьнения пограничного слоя ьсегда могут быть предстаьлены ь указанной обпей форме. То есть, если дополнительные члены нельзя ьключить ь перьые дьа члена, они ьсегда могут быть добаьлены к третьему члену з,. Например„для турбулентных течений многие математические модели заменяют л на лэ..; = л + и „Х/с заменяют на 1 /с э44 лам ту рб ' р эфф Из ураьнений (1.17) - (1.19) следует, что они могут быть приьедепы к следующей обцей форме В этих случаях коэффициенты дие4узии Г~ превращаются в э4фективные коз„фициенты диффузии. Рассмотрим ураьнение энергии.

Пусть с = соаве, тогда с — т = — (х рцэр(ЗТ/Ъ()) + я,~(рц). РЬх ЗФ (1 ° 21 ) Если ц ~ соив1, тО 61 = сх/ц. Так как йф ~~ грц су, -ы.— = — (х рц)~(3т,/Ьу).— ).— + 3 Дрц) ° (1 ° 22) ът с 2 1 1 ц И оу хуи хуц ()кончательно (1.23) 1.5. Быбор координат В случае выбора системы координат х у (рис. 1.41) в начале пограничного слоя слишком мало узлоьых точек будет располагаться внутри него, †4 и машинное время будет расходоваться напрасно (на Вычисление известных ьеличин) Г 1 Если использоьать ко- 4- -~ ' — + — '' — — ординаты х- ф (рис, 1.42), — уравнения будут проще, но такие координаты не будут решением нашей проблемы: своьа слишком грубая сетка Так осуществляется сьязь между уравнениями пограничного слоя и одномерной нестационарной задачИ теплонроьодности. Коли ц то бе - сх. ь начале пограничного слоя и слишком подробная (мелкая) ь конце.

Мокко исцользоьать координаты х ~, лишенные недостатков, которые присущи предыдущим координатам, где к - ууу - попе- Я речная безразмернаи координата, а у - координата ьнешней границы пограничного слоя (рис, 1.43). Ыокно такие иопользозать систему координат х ~й в где Рис. 1.42 о Аьтоматически, незаьисимо от толщины пограничг - ьнутренняя граница погранич- ного слоя, на его ьнешней ного слоя„ и — внешняя граница пограничного слоя границе будет сЬ ~, в на Рис.

1,43 ьнутренней о) о. Хотя ~ и о5 имеют одинакоьые желаемые сьойстьа, координата |й дает ураьнения, которые проще, поэтому ь дальнейшем мы будем пользоьаться координатами х -~й . Физический смысл кос наты ь): например, Я 0,5 означает, что от поьерхности обтекаемого тьердсго тела до точки, где ь~ с,ч, ~р~~од~т полонина расхода *идкссти, обтекашщей раооматриьаемую поьерхность ь пограничном слое. ф и ф яьлявтся функциями к~ 6~1/ах = - т ш", 1 1' где а" - расход кидкссти через единицу площади поьерхности ь по- Рис. 1,4Ь (1 «26) бф /Ех Где а = - — = х' ш"~'(фи - ф ), ф ф Х Х и Х (1.26а) а(,(, -ф )~'й* ~ в - а ь.

Фн Фх Фе Ф~ с = х~у(,(Г~„~(~ - ф ) (1. 26Ъ) (1 ° 26с ) (1 ° 26о) ® + Ъь> — безразмерный псперечны3 расход кидкссти, отнесенный к единице длины продел( ной кос"'дн(("'~ты дскнтелвном направлении у на ьнутренней границе (рис. 1,44), - радиус внутренней Х границы (рис. 1.4$), дх " - расход кидкооти че- рез единицу площади поьерх- ф Х + (6 ~Х/бх)ех НОСтн Ь ПОЛОКИтЕЛЬНаМ Нах праьлении у на внешней Ф границе пограничного слон„ ,Х - радиус ьнеиней гра- Е Рис.

1 44 ницы пограничного олои (рис. 1.45). Е При переходе от координат х л-ф к координе, там х ы уравнение пограничпсго слоя (1.20) после Т неслокных преобразоьаний монет быть приьедено к следуюцему виду 2. ЧИСЛЕКНЙ1 МЕТОДА РЕИЕБЯ УРАБНЕИЛ НОГРАНКЧНОГО СЙОБ Для того, чтобы получить алгебраические уравнения, аппрокси.— иируюлие ди~4еренциальные уравнения пограничного слоя, проинтегри- руем их относительно контрольного объема, соответствующего точке Р (рис. 2.1), Алгебраические уравнения будут содержать Ф, Ф, Ф и Ф „.

Мы будем стремиться выполнить все законы сохранения для каждого контрольного объема. Аи~4еренциальные уравнения погранич- Аонтрольный объем ооот- ного слоя есть те же самые законы сох- ве ствуюдий узлу 1 КУ д и Р ~ ~ ~ л у ранения, но для бесконечно малого контрольного объема. Наши законы сохранения должны быть справедливы для конечного контрольного объема, Одна из возможностей построения Р6 р контрольных объемов около каждого узлэ - проведение контрольных новерхноотей через середину расотояний между узловыми точками (рис.

2.2); ь> сс ~с -а . и ю ю Другая возможнооть: узлы раополагаютоя в м-центрах контрольных объемов (рис . 2.3): Рис. 2.1 (Да-Я Я, Ы г а' Если узлы располагаются равномерно> обе возможности совпадают. Мы будем пользоваться второй возможностью. Рассмотрим возможные изменения зависимой переменной в контрольном объеме.(рис, 2.4). Рис. 2,2 Рис. 2 ° 3 Возможные изменения зависимой переменной Ф в контрольном об. Ф Фр ъеме Величина Фрп соответствует левой грани контрольного объема, расположенной вверх по потоку. Величина Фг соответствует правой грани, расположенной вниз по потоку. Явная конечноразностная схема позволяет получить простейшие алгебраические уравнения Ф = й~Фцп, Фцп,Фз,), однако ойа нв всегда являвтоя устойчивой.

Для задачи нестационарной теплопроводности явная коноустойчивой, когда ~у) /а, С2 1) 1 — явная конечзо-ревностная схема, 2 — схема Крзнка-Викольсона, 3 — неявная конечно-ревностная схема Рис, 2.4 вечно-разностная схема становится й$> О,Я Следовательно, явная конечно-разностная схема становится неустойчивой, когда Ьх>О 5 и (~у)/Др) (2. 2) Так как скорость может быть очень маленькой в области течения около стенки, почти невозможно выбрать шаг во оси * меньше, чем си, выбранный из условия устойчивости.

В то же время, область около стенки является областые, которая интересует нас больше всего и решения, которые могут оказаться неустойчивыми, удовлетворить нас не могут. где а — температуропроводяость. Для пограничного слоя ограничение становится более серьезным: л1.+ ьл4и .' и = Г/~0 ~2.2) З2 а,1.

ЯНТЕГРИРОЬОНИЕ Диа"ахеРЕНЦИНЛЬННХ УРаЬНЕНИИ представим ди~4еренциальное ураьнение (~.ьб) ь Оледуюцем (ЪФ~дх - ЪФ) + — ((а + ЬМФ - о(М/Ъд)) 6. ь Ода~ А Ь В умножим на (~ - ф ) каьдыИ член ураьнения (А, Б и Ь) и будем интегрироьать их ОтиооительнО х и ю по ьоому контрольному Объему, Член А. "в й хю / / ~,~д -,~, )~ — а - да~ах аи / /(~ф - ф )(да/дх + Ж„ ФО Ч 'в + а.аЦ - ~д Уах1ах.аи- / ~ — ~Ф1~х -ф ))ах.аиг Ь Ьх т х~~ (а.~) Ч'е - ФА"'оь Ч'ж 'М) ~а)~ - количестьа кидкооти, проходядие ооотьетотьенно через леон У ьую и праьую грани контрольно- го объема (рио. 2Д), Ыз определении ьеличины ОО следует„что ао- сЪК~(ф~ - ф ) хх Р~ бу/(фк - Ч~т), оледоьательно, М х Г ~ ь-~."'-.- Л« -~ ".-"- Ю х ц~ х хп м«~а Ьы)Ф - а~бф/Ью)~ ах ~ ~~ - ~ ) ~ - тГ(ЬФ/Ьу)Дф„- ф ) ~ бх = ~ ш"Ф - Г (И/Эу) .

1т ьх- - ~ш,Ф, - Г,ЛФгау),~ т, ~х - ~, „т„,ах - ~..т.- ьх, (и.6) где тш" т ш" +ее(т ж" - т ш ) г х ж-ж а ш Ф - Г(ЭФ/Ьу) - общий поток, ш"Ф - конвективная соетавляющая общего потока, Г(ЬФ/Ьу) - диКузионная составляющая общего потока, т о,х, т л х — ооответотвенно площади "северной" и южной" границ контрольного объема (рис. 2.5), "а" контрольного объема (рис. 2.6).

Пусть соае1 ОТ ТОЧКИ Р ДО ТОЧКИ Б КРО- ме того, будем предполагать„ что удельный расход жидкости «отнесенный к единице площади поверхности) также является постоянным, т.е. ш" ооие~. Ынутри контрольного объема, ооответстьующего точке Р, Г = Г а внутри контрольного объема, соответствующего точке Я, Г = ГВведем новую переменную от~ Рассмотрим границу Рис. 2.6 ую хп зт ° бу бх = Б(тьу) ~х = (5 + е Ф )(тьу)~о,х, (2.~) у х„ где (тг у) ьх - объем контрольного объема, в + в Ф - линеаризованный источниковый член. Члы Б.

~в Ъ "в / ьы - ф ) — ((в + 1н4Ф - о~ьФ/Вм)) аиах / ц~ - ц )и ь ы к "и умножим левую и правую части уравнения (2~7) на ехр( ш"м~) и получим: (2.8) с, Ф = — + С ехр(ш" Ч) 2 Следовательно, если а серег, зависимость Ф от у являетоя скорее експоненциальной, чем линейной.

Константы уравнения (2.9) определим из следующих граничных условий: Ъ 'Ь Ф= Фи В результате получим Ф, сг У ехр(ш" и ) - ехр(ш"~( ) (2.1о) (Ф - Ф„) ехр(ш„"г(,) с /ш! ж Ф ежр(шД ) - ехр(ш"1( ) (г.11) После подстановки уравнений (2.10), (2.11) и уравнение (2»9) и несложных преобразований получим искомое рещение в следующем безразмерном виде Ф - Ф ежр(ш"(1~ - ~( )) - 1 (2 ° 12) Ф Фр Ежр(ш"(Ч - 1( )) 1 * Следоват ельно, После интегрирования уравнения (2.8) выражение для зависимой переменной Ф может быть представлено в следующем виде фарш«ехр(щ«(~) ~) ) ) Фм « ехр(а" (Т~ - ~Г)) - 1 (г.ц) Из определения величины и следует, что (рис. 2.7) (ь| )„(лу') в~ - ~„- ~р - ~ <ау,т) - ~~ ~и (а.м) Слагаемые в праьой части последнего ураьнения представляют собой "диКузионные сопротивления" например, термические сопротиьления, Обозначим У отношение молярного переноса к молекулярному (отношение конвективного потока к диКузионному) Рис.

2.7 Рис, 2,8 Подставим ь выражение (з.1Ъ) величину г„: в«(Ф - Ф. ) ехр(г„)-- ~ Ф а"ехр(Р ) - Фим" ехр(Р ) - 1 Показанное на рис. 2.8 линейное распределение зависимой переменной мекду узловыми точками приемлемо только для задачи теплспроводности, Распределение зависимой переменной меиду узловыми точками ь заьисимости от числа Р могла шт ьх(Ф -Ф) д т г5х + (ш т ~х)Ф е (Р)-1 а (2.1б) Зычиолим ноток через в - "вжную" границу контрольного объе- Ф ехр(ш"~) ) - Ф ехр(ш"'1( ) ехр(шм~( ) ехр(ш~~~( ) Фее р(ш,"(1Р - 1),)) - ФР е е Р н Р 1 ехр(ж"(1(Р Ч )) " 1 (Ф «ФР)ехр(Р ) Я~ + Ф е р(Р ) - 1 ш"т д,х(ФН - Ф )ехр(Р ) т ьх ее н Р е +ш"т ~хФ. (2.1М евое В е е Р Б а (Ф - Ф ) - е (Ф - ФР) + (ш"т ~х - ш"т .Ьх)ФРе(2 ° 20) ш"т йх тде аи ~"' г ехр(Р ) - 1 6 В шет ЬХФехр(Р ) 6 ехр(Р ) " 1 (2.21) Полное конечно-разноотнов уранненив: ~(Фж - Ф~)МАФР - (~'в - Ф~) оФяД(~ "о)Р ' н(ФР - Фи»- Пооле аодотанозки уравнений (2»1б) и (2,19) ь (2.6) аолучим член Б ураьнения (2.5): Или (2.2Ъ) где е и а уже определены уравнениями (2.21) и (2.22), с( '-'у)~~" + агцфщ* а а + а - Б (~,",у),~х+ (,~~ - ~ ) (с,ос) ° в'т Ьх - и"г Ьх.

а а а ® (2.24) Как следует из рис. 2.9, е + Ъ ~ 1 + 2 Следовательно, а ю 1 + 2 Поэтому (2.25) аг ви + в + а - Я (т е~У) сас ° Рис. 2.9 2.2. Решение конечно-разностных уравнениИ Внутри обычных контрольных объемов располагается единственная узловая точка. для граничных контрольных объемов зто правило не соблюдается (рис .

2.1О). Этим контрольным объемам принадлежат две узловые точки. Величины Ф и Фм1 являхтся граничными: - они могут быть заданы; — и ныеь. распоряжении должна быть какая-либо инФормаиия для их определения, например, величины потоков на границах. далее мы будем предполагать, что граничные значения зависимых переменных нам известны. - азй -Ф ) + ~шт ьх - шт,сх)ф ($ + я~р )(с~у) ~ж. Представим полное конечно-рсзностное уравнение (2 2ъ) в следующем Виде А)У В~У) 1 + С)У 1 + В) (2.26) йоокольку 4 - 2,~~-.,М2, мы должны решать систему конечноразнсстных ураВнений, матрица ксторсЙ является трехдиатональной.