Гольденберг Л.М. и др. - Цифровая обработка сигналов (Справочник), страница 2

1.1.3. Связь между дискретными н цифровыми сигналами Олера[1ия квантования и кодирования (аналого-цифрового преобразованияу состоит в том, что по заданному дискретному сигналу х(пТ) строится цифровой кодированный сигнал хч(пТ), х(лТ)- хч(пТ) так, что х„(лТ) тх(пТ), л=0, 1,...

Операция цифро-аналогового преобразования состоит в том, что по заданному цифровому кодированному сигналу хч(пТ) строят дискретный сигнал х(пТ), х„(лТ)-+х(пТ) так, что х(иТ) =ха(пТ). Операции квантования и кодирования и цифро-аналогового преобразования ие являются точно взаимно обратными, поскольку квантование в общем случае выполняется с неустранимой погрешностью. Как правило, считают, что 'За~ Е [А[ аы йла ил А» [ю~р р, Е„[8, 6[ 8). аналого-цифровые преобразователи (ЛЦП) выполняют операции дискратяза.

ции, квантовании н кодирования, а цифро-аналоговые преобразователи (ЦАП) — операции цифро-аналогового преобразования и восстановления [1.71. Переход от дискретного сигнала к цифровому, т. е. операция квантования, осуществляется в общем случае неточно. Если для представления каждого отсчета используется достаточно большое число двоичных разрядов, то погрешность квантования оказывается малой и дискретный сигнал (и, следовательно, соответствующий аналоговый сигнал) мцжет быть заменен определенным цяф. ровым сигналом. Практически число разрядов, которое могут обеспечить со* временные АЦП прн необходимой частоте дискретизации, достаточно для по. лучения цифровых телевизионных сигналов, цифровых речевых сигналов в те.

лефонии и радиовещании. 1.1.4. Дискретная дельта-функцня Дискретная дельта-функция 6((п — т)Т) пределяется следующим образом (рнс. 1.2, т=З): (1 при п=т; 6 ((п — т) Т) = ~ ~0 при п~т. Используя дискретную дельта-функцию, любую последовательность (решетчатую функцию) (х(пТ)) можно представить как (х (пТ)) = ~~ х (т Т) 6 ((п — т) Т). (1.2) т=о Пример 1.1. Пусть х(0) =1, х(Т) = — 2„х(2Т) =2,5, х(пТ)=0 при п)З. Тогда из (1.2) (х (пТ)) =6 (пТ) — 26 ((и — 1) Т+2,56 ((п — 2) Т).

1.2. Я-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 1.2.1. Прямое Е-преобрааованне Прямое Е-преобразование Х(х) последовательности х(пТ) определяется фор. м улой Х (г) = Е (х (пТ)) = ~~ х (пТ) г ". (1.3) п=о Функцию Х(х) называют Я-образом последовательности х(пТ). Преобразование (1.3) имеет смысл для тех значений комплексной перемен. ной г, прн которых ряд (1.3) сходится.

Пример 1.2. Пусть х(0) =2, х(Т) — 1, х(2Т) =3, х(ЗТ) =1,5, х(пТ) =0 прн пъ4. Тогда из (1.3) Х(г) =2 — е ~+3« «+1,5г з. В табл. 1.2 приведены ряд последовательностей и соответствующие им Х-образы [1.81. С помощью Я-преобразования весьма удобно записывать различные фор. мы выражений для передаточных функций и тем самым получать различные Таблица 12 Х(х(пТ)) х (лТ' 1/(1 — г-д) 1Я1+ г-') ( — 1)" г д/(1 — г д) ~ (г-д+г-д)/(1 г-д)з г-д/(1 — аг-')' па»-д аг — ' здп т 1 — 2аг — ' соз я+адг — з а» здп пт 1 —,аг — д сов с а" соз пт 1 ол2 — !гозт 3 лд» 2 формы реализации цифровых фильтров (см. 2.2). Кроме того Л-преобразова- ние является основным способом расчета выходных сигналов дискретных н цифровых фильтров при сложных входных воздействиях.

1.2.2. Основные свойства прямого 2-преобразования Если хз(п Т) =сдхд(п Т)+саха(п Т), то Хз (г)=с, Хд (г)+се Х,(г) (1.4д Если хз (и Т) = хд ((и — т) Т), то Х, (г) = хд ( — т Т) + хд (( — т+ 1) Т) г ' + + +хд( — Т) г (™+г ~Хд(г). Прн хд ( — тТ) = хд (( — т+ 1) Т) =.. ° . = хд ( — Т) = 0 Хз(г) =г ~Хд(г) (теорема сдвига) Если хз (пТ) =хд (пТ) хз(пТ),' то 1 Хз (г) = †. ~>Хд (о) Ха'(г/о) о Ио, .2н(с Пусть хд(пТ), хз(пТ), хд(пТ) — последовательности; Хд(г), Хд(г), Хд(г)— Я-образы этих последовательностей; сь сд — константы. где С вЂ” замкнутый контур в комплексной о-плоскости, охватывающей все осо- бенности функции Х~(о)Хз(г/о)о-', лежащие в окружности с центром в точке 0 и с радиусом, равным )г( (теорема о комплексной свертке).

1.2.3. Обратное Л-преобразование Обратное Е-преобразование определяется формулой «(лТ) =2 ' (Х(г)) = —.$ Х(г)гл '4г, С! (1.7) 0 при л=О; (л Т)= 4.0,255 ~ (2" ~ — 1) при л>!. Пример 1.4. Пусть Х(г) =1!'(1+0,3г-' — 0,2г-з+0,1г-з-0,1г-'). Используя (1.9), получаем: х(О) =1; х(Т) = — 0,3; х(2Т) = — 0,11. 1.2.4, Преобразование Фурье Спектром последовательности х(лТ) называют комплексную функцию Х(е'ат): Х (е' ) = ~~~~ х (л Т) е а=о н7Т (л Т) ! Х (е~ ь1 т' е~ л в т 2л — и! т (1.10) Формулы (1.10) представляют собой пару преобразований Фурье. Из сравнения (!.3) и (1.10) видно, что спектр может быть получен путем подстановки г=еавт в Е-образ последовательности.

Поэтому из (1.4) и (1.5) пря- где С вЂ” замкнутый контур в г-плоскости, охватывающей все особенности функции Х(г)г"-'. Обратное г-преобразование может быть определено путем вычисления интеграла (1.7), если последний не является расходящимся !1.9, 1.10]: 4 " !! — (-"')''" Г( )1 х(л Т)= У, 1пп (1.8) Ы (4 — 1)! г ,!!а1 с„— ! где Е(г) =Х(г)г"-', гР~~, г,Ю, ..., ге~о — все не равные друг другу полюсы фуннцни Р(г); !» — кратность полюса гь(!в),причем О!=1 и альф(г)/Йгь ф(г). Существует второй способ вычисления (1.7) !1.9]: Формула (1.8) позволяет получить аналитическую зависимость х(лТ) от п и рассчитать х(лТ) для любого значения л; формула (!.9) позволяет рассчитать х(лТ), не вычисляя полюсов функции Х(г)г"-'. 17рамер 1.8.

Пусть Х(г)-г-з7((! — 05г-')(1 — 025г-з)). Используя (1.8) и учитывая, что при л=О полюсы Р(г) имеют значения г~ О, гз-05, гз=0,25, а при л~~! — г~=0,5, гз 0,25, получаем мо следуют соответствующие свойства спектров последовательностей. Прм х,(пТ) =х,(пТ)хе(пТ) из (1.6) следует соотношение Т Яlт Х (е! в т) ~ Х (а! 0 т) Х (е! !в — 6) 2"),1 0 2Я я/г Пусть у(пТ) =х(пТ)е'"вГ, тогда из (1.10) у'(е™ ~) Х (е! !в — вд) т) (1.12т т.

е. умножение последовательности х(пТ) на последовательность е'"в т соответствует сдвигу спектра последовательности х(пТ) вправо по оси частот. Из (1.10) следует соотношение Х (е™ ~) Х (е! !в+литл!Т) т) (1.13) т. е. спектр последовательности периодичен по частоте с периодом вд — — '2 п(Т. Для вещественных последовательностей нз (1.10) ~)Х (е в )] = [Х (е )1; агй [Х (е " )] = — агя [Х (е " )], (1.14) (1.13) т. е. модуль спектра вещественной последовательности является четной, а аргумент — нечетной функцией частоты. На рис. 1.3 показано условное нзображенпе модуля спектра вещественной последовательности.

Спектр у(е'вт) называют инверсным по отношению к спектру Х(е'вт) в том случае, если (а! в т) Х (е! !в вд1т)т) й ~1 ~3 ~5 (1 10) Пример 1.б. Пусть у(пТ) =е — 'и"х(пТ) ( — 1)"х(пТ), в!=!т/Т, тогда из (1.12) у ( е! в г) Х ( е! !в — п1т)т) т. е. умножение отсчетов сигнала х(пТ) на ( — 1)я позволяет получить сигнал у(пТ), спектр которого инверсен по отношению к спектру сигнала х(пТ).

!Х(е™) !! т~'т 2 Ут Рис. 1.3 10 Основным прямым спектром (прямой часть)о спектра) Х+(е'вт) называют часть спектра Х(е'вт) сигнала х(пТ), полученного в итоге дискретизации аналогового сигнала х,(1), расположенную в области нижних частот от 0 до вя12=я1Т (см. рнс. 1.3). Основным инверсным спектром (инверсной частью спектра) Х- (е'вт) на. зывают часть спектра Х(е!вт] сигнала х(пТ), полученного в итоге дискретизации аналогового сигнала х,(1) н расположенную в области частот от 0 дв аз[2= — я1Т (см. рис.

1.3). Сдвинутым прямым спектром (или просто прямым спектром) Х'ь(е'ат) называют часть спектра Х(е'ат); удовлетворяюбтую условию Х+(е~ат) Хп(е (В+Йод) т) (1.17) 0«са~п~Т; й — целое число. Сдвинутым инверсным спектром (или просто инверсным спектром) Х'ь(е'ат) называют часть спектра Х(е'~т), удовлетворяющую условию Х вЂ” (е! е т) Ха ( е! (а+а ал)т) (1.18) 0<а<и/Т; й — целое число. Рисунок 1.3 иллюстрирует (1.17) н (1.18).

На этом рисунке показаны мо. дули основных прямого и инверсного спектров, а также модули некоторых сдвинутых прямых и инверсных спектров. Соотношения (1.1О) — (1.18) играют весьма важную роль, поскольку основой решения почти всех задач цифровой обработки является спектральная теория. Так, формула (1.12) соответствует алгоритму сдвига (переноса) спектра дискретного сигнала х(пТ) из одной области частот в другую, который сводится к умножению отсчетов х(пТ) на отсчеты е'"а т (а~ — частота, на которую сдвигается спектр).

Из формул (1.13) — (!.15) следует, что изменение спектра сигнала прн а=а0 возможно лишь в том случае, если а«~а„/2. Формула (1.16) определяет понятие «инверсный спектр», а в примере 1.5 рассмотрен алгоритм получения инверсного спектра последовательности х(пТ). 1.3. ДИСКРЕТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ. АЛГОРИТМЫ БЫСТРОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ 1.3.1. Общие сведении Пара взаимно-однозначных преобразований: мю1 Х(й) — 'Я х(пТ)%' й — 0 ... И 1, (118 п=о Ф вЂ” ! х (и Т) = — У, Х (й) !р ,а", = О,..., й! — 1, (1.20) и Йо где х(пТ), ( =0,..., Ф вЂ” 1) — последовательность из Л! временнйх отсчетов с периодом Т; Х(й) (й=О, ..., У вЂ” 1) — последовательность из У частотных отсчетов; йт„=е-~'и/", 1= ~~ — Т, называется дискретным преобразованием Фурье (ДПФ) . Преобразование (1.19) называется прямым, а преобразование (1.20) — обратны ДПФ (ОДПФ). В матричной форме ДПФ имеет вид Х=%м х, (1.21) где Х и х — !Ч-мерные векторы: Х= [Х(0), Х(1), ..., Х(У вЂ” 1)]т; х= [х(0), х(Т),..., х(()т' — 1)Т)]т; %н — матрица размера )УКЖ с элементами д(п,й) =втн »=1ун ь<"'ан>, п,й=О,..., М вЂ” 1:]Обратное ДПФ записывается н виде х=%м~ Х, 11 где %-)п — матрица, обратная к матрице %п.