Панаиотти С.С. Лекции по гидромеханике. Часть 3 - Учебное пособие. - Калуга КФ МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2003 (Панаиотти С.С. Лекции по гидромеханике)

ГЛАВА 3. ГИДРОДИНАМИКА ВЯЗКОЙЖИДКОСТИ3.1. Закон вязкого трения НьютонаПри движении жидкости прямолинейными слоями, касательные напряжения, возникающие между слоями, пропорциональны градиенту скорости.Пусть жидкость движется параллельными слоями вдоль твердой стенки(рис. 3.1).Распределение скоростей показано на этом рисунке. В вязкой жидкостискорость на твердой стенке Ox равна нулю.

Частицы жидкости прилипают кстенке – это свойство называется условием прилипания. В слое, расположенном на расстоянии y от начала координат – скорость равна V . В соседнемслое скорость V + ∆V . Выберем на рис. 3.1 бесконечно малую частицу жидкости в виде прямоугольника abcd . За бесконечно малый промежуток времени ∆t частица жидкости переместится в новое положение и примет формупараллелограмма a′b′c′d ′.

В соответствии с законом Ньютона касательныенапряжения между слоями жидкости:τ=µ∂V,∂y(3.1)а касательная силаT = Sµ∂V,∂y(3.2)где S — площадь слоя жидкости, µ — динамическая вязкость.Рис. 3.1. К закону вязкого трения Ньютона1Отметим два отличия законов трения в жидкости от таковых для твердыхтел:1. Касательная сила T не зависит от нормального давления.2. Касательное напряжение в твердом теле в соответствии с законом Гукапропорционально деформации, а в жидкости оно пропорционально скоростидеформации.

Например, чем больше угол закручивания твердого стержня,тем больше напряжения. Покажем, что ∂V ∂y в уравнении — это скоростьдеформации.∆V ⋅ ∆t.∆y∂V∆V∆θ ∂θИз этого соотношения следует, что= lim= lim= . Т.е. про∂y ∆y →0 ∆y ∆t →0 ∆t ∂tизводная ∂V ∂y в (3.1) — это скорость скошения прямого угла или скоростьИз параллелограмма a′b′c′d ′ очевидно, что tg∆θ ≈ ∆θ =угловой деформации.3.2. Уравнения Навье-СтоксаПо сравнению с идеальной жидкостью в движущейся вязкой жидкости,появляются касательные силы T , которые отсутствуют в идеальной жидкости (рис.

3.2). Кроме этого имеются нормальные силы P. Условимся положительным нормальным напряжением считать напряжение, направленное всторону противоположную положительному направлению осей координат.Это же правило применяется и для касательных напряжений.Рассмотрим бесконечно малый объем движущейся жидкости в виде параллелепипеда (рис. 3.3а). Этот же параллелепипед изображен на плоскостина рис.

3.3б. Обозначим напряжения по граням параллелепипеда. В обозначениях нормальных и касательных напряжений, первый индекс обозначаетгрань, перпендикулярную некоторой оси; второй индекс обозначает проекцию на соответствующую ось. Вдоль каждой грани параллелепипеда дей-Рис.

3.2. Касательная и нормальная поверхностные силы2а)б)Рис. 3.3. Элементарный объем движущейся жидкостиствуют нормальные и касательные напряжения. Разложим последние по направлениям осей.Напряженное состояние в данной точке жидкости характеризуется девятью напряжениями:pxxτ xyτ xzτ yxp yyτ yzτ zxτ zypzz(3.3)Т.к. напряжения рассматриваются как непрерывные функции координат,то при изменении координат на бесконечно малые величины, нормальные икасательные напряжения получат бесконечно малые приращения∂τ xy∂p xxdx,dx и др., как показано на рис. 3.3б.∂x∂x3Мысленно остановим частицу и добавим к массовым силам силу инерции.Составим сумму моментов всех сил, действующих на эту частицу жидкости,относительно оси, проходящей через центр тяжести C параллелепипеда ипараллельную оси z . Приравняем сумму нулю.

Массовые силы приложены вцентре тяжести частицы и моментов не дают. Моменты от сил, обусловленных нормальными напряжениями, равны нулю. Следовательно,(τ xy +∂τ xydx)dydz dx 2 + τ xy dydz dx 2 − (τ yx +∂τ yx∂x−τ yx dxdz dy 2 = 0.∂ydy )dxdz dy 2 −После деления на dxdydz 2 , получимτ xy +∂τ xy2∂x⋅ dx − τ yx −∂τ yx2∂y⋅ dy = 0.Когда размеры параллелепипеда стремятся к нулю, т.е. dx, dy, dz → 0,τ xy = τ yx , τ yz = τ zy , τ zx = τ xz .(3.4)Уравнения показывают, что касательные напряжения, действующие на взаимно перпендикулярных площадках одинаковы. Поэтому напряженное состояние в данной точке определяется только шестью напряжениями, а не девятью, как в (3.3).Согласно второму закону Ньютона сумма проекций поверхностных имассовых сил на ось x равна произведению массы частицы на проекцию ускорения на эту же ось:∂τ yx∂p xx∂τdVdxdydz +dxdydz + zx dxdydz + X ρdxdydz = ρdxdydz x .∂x∂y∂zdtПосле сокращения на dxdydz , получим уравнение движения вязкой жидкости в напряжениях:∂τ yx ∂τ zx   ∂pdVx= ρX +  xx ++dt∂y∂z   ∂xdV y ∂p yy ∂τ yy ∂τ zy  ρ= ρY + ++dt∂y∂z   ∂x∂τ yz ∂τ zz   ∂pdVρ z = ρZ +  zz ++ dt∂y∂z   ∂xρ(3.5)Вторая и третья строки уравнений записаны по аналогии с первой.Далее вводятся гипотезы о напряжениях.

Под влиянием вязкости жидкости меняются нормальные напряжения и появляются касательные напряжения.4Нормальные напряжения. Ранее для идеальной невязкой жидкости всетри нормальных напряжения были одинаковыми pxx = p yy = pzz = − p , причем давление p называлось гидродинамическим давлением в идеальнойжидкости. В вязкой жидкости появляются добавочные нормальные напряже′ , так чтония p′xx , p′yy , pzz′ , p yy = − p + p′yy , pzz = − p + pzz′.pxx = − p + pxx(3.6)Вводятся предположения, что добавочные напряжения пропорциональныскоростям относительного удлинения частицы. Вдоль осей координат скорости относительного удлинения равны ∂Vx / ∂x, ∂V y / ∂y , ∂Vz / ∂z. Поэтому p′xx = 2µ∂Vy∂Vx∂V, p′yy = 2µ, p′zz = 2µ z∂x∂y∂zи∂Vx ∂x ∂V y p yy = − p + 2µ∂y ∂V p zz = − p + 2µ z ∂z p xx = − p + 2µ(3.7)Так как для несжимаемой жидкости∂Vx ∂Vy ∂Vz++= 0.∂x∂y∂z(3.8)то сумма трех нормальных напряжений, действующих по взаимно перпендикулярным площадкам:p xx + p yy + p zz = −3 p.В качестве гидродинамического давления в вязкой жидкости принимаетсясреднее арифметическое трех нормальный напряжений, действующих повзаимно перпендикулярным площадкам:p=−pxx + p yy + pzz3.(3.9)Если повернуть оси координат, как показано на рис.

3.4, то гидродинамическое давление не изменится. Другими словами оно — инвариант относительного поворота осей координат.5Рис. 3.4. Гидродинамическое давление не зависит от ориентировки осей координатРис. 3.5. Скорость скошения прямого углаКасательные напряжения. При движении жидкости только вдоль осиOx касательные напряжения определяются уравнением (3.1). Они пропорциональны скорости скошения прямого угла. В случае сложного движения(как вдоль оси Ox, так и Oy ) касательные напряжения также считаютсяпропорциональными скоростям скошения соответствующих прямых углов(рис.

3.5). Т.е. закон Ньютона (3.1) обобщается на случай сложного движениии предполагается, что∂V y  ∂Vτ xy = τ yx = µ  x +∂x  ∂y ∂V y ∂Vz τ yz = τ zy = µ +∂y  ∂z ∂V ∂V τ zx = τ xz = µ  z + x ∂z  ∂x(3.10)6Нормальные напряжения по уравнению (3.7) и касательные по (3.10) подставляем в уравнение (3.5) и получаем:ρ∂V y ∂Vz  ∂ 2VdVx∂ 2V∂ 2V ∂p∂  ∂V= ρX −+ µ  2x + 2x + 2x  + µ  x ++,dt∂x∂x  ∂x∂y∂z ∂y∂z  ∂x∂V y ∂Vz ∂  ∂V++µ  x +,dtyxyz∂∂∂∂∂V y ∂Vz  ∂ 2V ∂ 2V ∂ 2V ∂p∂  ∂VdVρ z = ρZ −+ µ  2z + 2z + 2z  + µ  x ++.∂z∂z  ∂x∂y∂z dt∂y∂z  ∂xρdV y= ρY − ∂ 2V y ∂ 2V y ∂ 2V y∂p+ µ 2 + 2 + 2 ∂x∂y∂y∂zТак как для несжимаемой жидкости выполняется условие (3.8), то последние слагаемые в полученных уравнениях обращаются в нуль. Окончательно уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости запишутся так: ∂ 2VdVx∂ 2V∂ 2V1 ∂p=X−+ ν  2x + 2x + 2x ∂xρ ∂xdt∂y∂z ∂ 2Vy ∂ 2V y ∂ 2V y 1 ∂p=Y −+ ν 2 ++ 2  ∂xρ ∂ydt∂y 2∂z  ∂ 2V ∂ 2V ∂ 2V dVz1 ∂p=Z−+ ν  2z + 2z + 2z  , ∂xdtρ ∂z∂y∂z (3.11)dVyгде ν = µ ρ — кинематическая вязкость жидкости.Эти уравнения были выведены французским ученым Навье в 1822 г.

и независимо от него английским ученым Стоксом в 1845 г. и называются уравнениями Навье-Стокса. Уравнения (3.11) есть уравнения в частных производных второго порядка. В этих уравнениях известны плотность ρ , вязкостьν и проекции внешних массовых сил X , Y , Z . Неизвестные величины: давление p и три проекции скорости Vx , Vy , Vz — всего четыре неизвестных.Число неизвестных превышает число уравнений. Система уравнений незамкнута. К этой системе добавляется еще одно уравнение — уравнение неразрывности (3.8).

Если задать граничные условия, то система уравнений (3.10)и (3.8) будет иметь единственное решение. Для неподвижной твердой поверхности граничное условие будет:Vx = Vy = Vz = 0.Выше это условие названо условием прилипания.В частных случаях удается получить точные решения этих уравнений.Пренебрегая теми или иными членами в этих уравнениях, получаем прибли7женные решения. В связи с широким распространением ЭВМ, возможно численное решение уравнений движения вязкой жидкости. Большое число решенных задач приведено в работе [13].3.3. Пример точного решенияуравнений Навье-СтоксаРассмотрим поступательное плоское установившиеся течение тяжелойнесжимаемой жидкости в канале с параллельными стенками в поле силы тяжести.Найти потери напора на участке канала между сечениями 1-2 на расстоянии l.

∆p = ρghп т = p1 − p2 .Уравнения Навье-Стокса для плоского движения:  ∂ 2Vz ∂ 2Vz  ∂Vz∂Vz∂Vz1 ∂p(3.12)=Z−+ ν 2 + 2  Vx +Vz + ∂x∂x∂z∂tρ ∂z∂zГраничные условия:при z = ± h, Vx = 0∂Vx ∂Vz∂V== 0, X = 0, Z = g , Vz = 0, x = 0 и сисПо условию задачи∂t∂t∂x ∂ 2V∂Vx∂V∂V∂ 2V1 ∂pVx + x Vz + x = X −+ ν  2x + 2x ∂x∂x∂z∂tρ ∂x∂zтема уравнений (3.12) существенно упрощаетсяРис. 3.6. Плоское установившиеся движения жидкости в канале8∂ 2V 1 ∂p+ ν 2x ρ ∂x∂z 1 ∂p0=g−(3.13)ρ ∂zПри z = ± h,Vx = 0Давление p = p ( x, z ) , скорость Vx = Vx ( z ) , Vx ≠ Vx ( x ) .

Интегрируемвторое уравнение системы (3.13) по переменной z :p = ρgz + f ( x ) ,(3.14)0=−где f ( x ) — функция интегрирования, зависит только от x. Если дифференцировать уравнение (3.14) по z, то получим второе уравнение системы(3.13). Следовательно, несмотря на движение жидкости, давление в данномсечении x = const подчиняется гидростатическому закону: оно увеличивается пропорционально первой степени z.Дважды интегрируя первое уравнение системы (3.13). В этом уравнении∂p= f ′ ( x ) — функция x и Vx = Vx ( z ) . Частные производные можно за∂xменить на обыкновенные. Тогда получим∂Vx 1 dp1 dp 2=z + C1 , Vx =z + C1 z + C2 ,∂z µ dx2µ dxгде µ = νρ, а постоянные интегрирования C1 и C2 находим из граничногоусловия1 dp 2h + C1h + C22µ dx1 dp 20=h − C1h + C22µ dx1 dp 2Поэтому C1 = 0, C2 = −z − h2 и2µ dx1 dp 2Vx = V =z − h2(3.15)2µ dxРаспределение скоростей в данном сечении x = const подчиняется параболическому закону. На стенках Vx = 0, максимум скорости0=()()91 dp 2h2µ dxв середине канала.